Алгебраическая топология

ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга представляет собой изложение основных идей алге­браической топологии. Она предназначается для использования как в качестве учебника, так и для ссылок. Особое внимание обра­щается на идею естественности, так что эту книгу можно было бы назвать «Функториальная топология». От читателя не требуется никаких предварительных знаний по алгебраической топологии, однако предполагается, что он знаком с элементами общей топо­логии и алгебры и достаточно искушен в математике. Необходимые предварительные сведения кратко изложены во введении.

Так как эта книга — учебник, изложение в начальных главах гораздо подробнее, чем в последних. Предполагается, что по мере изучения предмета читатель приобретет определенную свободу обращения с излагаемым материалом и в связи с этим возьмет на себя (и чем дальше, тем в большей степени) восполнение деталей доказательств. Поскольку мы имели в виду и использование этой книги для ссылок, была сделана попытка включить в нее основ­ные понятия независимо от того, используются ли они в книге или нет. В результате в ней охвачен больший материал, чем обычно в курсах алгебраической топологии.

Собранный в книге материал можно разбить на три основные части, каждая из которых состоит из трех глав. Глава делится на несколько параграфов, в которых с той или иной степенью подроб­ности разрабатываются отдельные темы и которые являются связ­ными частями текста. Основная тема первых трех глав — фунда­ментальная группа. В главе 1 дается ее определение, в главе 2 она применяется при изучении накрывающих пространств и в главе 3 (где вводятся полиэдры) описывается в терминах образующих и соотношений. В этой части книги особое внимание уделяется по­нятию функтора и его применениям с тем, чтобы возбудить интерес к другим функторам алгебраической топологии.

Главы 4, 5 и 6 посвящены теории гомологий. Глава 4 содержит первоначальные определения этой теории, глава 5 — дальнейшие алгебраические понятия, такие, как когомологии, ^-произведение, когомологические операции, а в главе 6 изучаются топологические многообразия. Вместе с каждым новым понятием указываются при­ложения, иллюстрирующие его полезность.

В последующих трех главах изучается теория гомотопий. В гла­ве 7 рассмотрены основные факты о гомотопических группах, в главе 8 содержится их приложение к теории препятствий и, нако­нец, в главе 9 вычисляются некоторые гомотопические группы сфер. Главное внимание мы уделяем приложениям введенного ра­нее алгебраического аппарата к геометрии.

В книге содержится, вероятно, больше материала, чем можно изложить в годовом курсе. Основой первоначального курса алге­браической топологии может служить глава 4. Она содержит эле­ментарные сведения о гомологиях и некоторые наиболее важные их применения. Неплохой односеместровый курс можно построить на базе первых четырех глав, опуская (или ограничиваясь беглым обзором) § 5 и 6 гл. 1, § 7 и 8 гл. 2, § 8 гл. 3 и, наконец, § 8 гл. 4. Второй односеместровый курс можно построить на гл. 5—8 или гл. 5, 7—9. Для студентов, уже знакомых с теорией гомологий и связанными с ней алгебраическими понятиями, вполне доступен курс теории гомотопий, основанный на последних трех главах.

Все главы заканчиваются упражнениями. Они объединены в группы, каждая из которых посвящена одной или нескольким близ­ким темам. За несколькими исключениями мы не ссылаемся ни на какие упражнения ни в основном тексте, ни в последующих упраж­нениях. Имеется несколько типов упражнений. В некоторых из них даются примеры, иллюстрирующие общую теорию, развитую ранее, в других разобраны частные случаи, в полной общности обсуждае­мые позднее, а некоторые посвящены темам, вообще не предста­вленным в основном тексте. Среди упражнений есть как шаблон­ные, так и более трудные; последние часто снабжены указаниями. Иногда тема, связанная с основным текстом, развивается в серии упражнений, ей посвященной.

Примеры в тексте обычно приведены либо без пояснений, либо с краткими описаниями нужных свойств. Это относится как к при­мерам, иллюстрирующим новые понятия, так и к контрпримерам.