Оригинално заглавие:

ALGEBRAIC METHODS IN STATISTICAL MECHANICS AND QUANTUM FIELD THEORY
Gerard G. Emch

University of Rochester
WILEY-INTERSCIENCE, A DIVISION OF JOHN WILEY & SONS, INC.
NEW YORK • LONDON • SYDNEY • TORONTO
1972

*

Аннотация

Книга представляет собой первую в мировой литературе мо­нографию по основаниям физики, посвященную применению алгеб­раических методов чистой математики при построении новейших теорий современной физики.

Книга рассчитана на физиков-теоретиков — научных работни­ков, аспирантов и студентов старших курсов университетов. Она представляет интерес также для математиков — алгебраистов, то­пологов и аналитиков.

*

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Предлагаемая советскому читателю монография крупного специалиста по математическим методам теоретической физики Жерара Эмха посвящена раз­работке алгебраического подхода к теории квантовомеханических систем.

Обычный подход, основы которого заложены в работах Дирака, Гейзен-берга, Борна и других и который получил детальное математическое развитие в монографии фон Неймана¹), заключается в том, что квантовомеханическим наблюдаемым сопоставляются эрмитовы операторы в гильбертовом простран­стве квантовомеханических состояний. Однако уже инвариантность теории квантовомеханических систем с конечным числом степеней свободы относи­тельно унитарных преобразований в гильбертовом пространстве свидетель­ствует о том, что квантовую теорию можно переформулировать на чисто алге­браическом языке, инвариантном по отношению к выбору представления алгебры наблюдаемых. В дальнейшем стало ясно, что алгебраическая форму­лировка квантовой и статистической механики обладает большими преимуще­ствами как в методическом отношении, так и в отношении выяснения путей нового подхода к нерешенным проблемам и лучшего понимания физических основ теории.

Сущность алгебраического подхода к теории физических систем заклю­чается в следующем. Всякой физической системе сопоставляется алгебра на­блюдаемых. Во-первых, эта алгебра является бесконечномерным векторным пространством над полем действительных чисел, и, во-вторых, в ней опреде­лены алгебраические операции, позволяющие любым двум наблюдаемым, взя­тым в определенном порядке, однозначно сопоставлять третью наблюдаемую. Одна из таких алгебраических операций — йорданово произведение наблюдае­мых, которое при обычной формулировке квантовой механики равно полу­сумме двух произведений (эрмитовых операторов, соответствующих двум на­блюдаемым), различающихся порядком сомножителей. Центральным понятием алгебраической теории систем служит, далее, понятие состояния, которое опре­деляется как элемент векторного пространства, дуального по отношению к ал­гебре наблюдаемых (чтобы не путать его с плохо согласованными между со­бой старыми определениями состояния, встречающимися в различных физиче­ских теориях, в советской литературе его называют также алгебраическим состоянием '). Действительное число, определяемое как произведение вектора из дуального векторного пространства состояний на вектор из алгебры наблю­даемых, физически интерпретируется как среднее значение абстрактной наблю­даемой в данном алгебраическом состоянии. Обычные методы описания физи­ческих систем, например основанные на использовании волновых функций или матрицы плотности, получаются из рассмотренной общей схемы в качестве весьма частных случаев.

Как видим, идеи алгебраического подхода очень просты. Однако для того, чтобы алгебраические методы получили в квантовой физике более широкое распространение и признание как среди физиков, так и математиков, необхо­дима математически строгая итоговая монография того же типа, какой в свое время по отношению к обычной схеме квантовой механики была монография фон Неймана. До настоящего времени на русском языке такой монографии не было, хотя общие алгебраические идеи формулировались, например, в упо­мянутой выше работе Зайцева и в дополнении к написанному на высоком математическом уровне трактату Боголюбова, Логунова и Тодорова^[1]). Книга Эмха, содержащая обширный обзор литературы и ряд важных математиче­ских результатов, полученных в данной области, возможно, будет играть роль подобного рода монографии. Автор книги строго показал, что алгебраический подход это не просто другое оформление известных результатов и что с ним по существу связаны основы новой физической теории. В самом деле, в ряде случаев алгебраические состояния невозможно описывать с помощью матрицы плотности или волновой функции и в квантовых теориях с бесконечным числом степеней свободы, вообще говоря, оказывается невозможным применение еди­ного гильбертова пространства. Таким образом, можно с полным правом гово­рить о законности специального термина «алгебраическая физика» в примене­нии к классическим и квантовым теориям, последовательно перестроенным на основе систематического использования алгебраических понятий и алгебраиче­ских методов.

Пока что именно недостаточное знакомство с алгебраическим аппаратом мешало многим физикам, работающим в области квантовых теорий, перехо­дить от старого, ограниченного и даже внутренне противоречивого математи­ческого аппарата к обработке получаемых результатов на более глубоком и последовательном языке алгебраической физики. Слабой стороной монографии Эмха является то, что в ней мало физических примеров, иллюстрирующих физическое значение различных тонких алгебраических результатов. Однако квалифицированному читателю она даст тот необходимый ему аппарат, который требуется для дальнейшей алгебраической перестройки современной квантовой теории поля и статистической механики.

') Фон Нейман И., Математические основы квантовой механики, перевод с немецкого, М., 1964,

Зайцев Г. А., Алгебраические проблемы математической и теоретиче­ской физики, М., 1974.

^[1]) Боголюбов Н. Н., Логунов А. Н., Тодоров И. Т., Основы аксиоматиче­ского подхода в квантовой теории поля, М., 1969,