Книгата съдържа традиционния материал от аналитичната геометрия, разглеждана като метод за изследване на геометричните обекти. Дадени са : векторната алгебра и приложението й за изграждане на аналитичния апарат, с който се третират основните въпроси относно точките, правите и равнините; хомогенните афинни координати като основа за въвеждането на проективните; аналитичното представяне на линиите и повърхнините и във връзка с това въвеждането на комплексните геометрични елементи; проективните координати; теорията на кривите и повърхнините от втора степен, изложена едновременно; проективностите между основни едноизмерими фигури и колинеации между две равнини. Аксиоматически е изградена теорията на n-мерното афинио пространство и върху тази основа после се въвежда л-мерното Евклидово и проективно пространство.
Книгата е предназначена за студенти по математика, но може да се използува въобще от всички студенти във висши учебни заведения, където се изучава аналитична геометрия, както и от преподавателите по математика в средните училища.
**
СЪДЪРЖАНИЕ
Глава I ВЕКТОРИ И КООРДИНАТИ
§ 1. Отсечки и ъгли
1. Отсечка. Насочена отсечка (свързан вектор) 11
2. Ос и алгебрична мярка на насочена отсечка върху ос 13
3. Ъгъл в смисъла на елементарната геометрия 16
4. Ъгъл на наредена двойка лъчи в ориентиран сноп лъчи 20
5. Ъгъл на наредена двойка прави в ориентиран сноп прави 27
§ 2. Афинни операции с векторите
6. Равенство на свързани вектори. Свободен вектор 30
7. Умножаване на вектор с число 33
8. Събиране на вектори . . . 38
9. Изваждане на вектори 44
10. Линейна зависимост и независимост на вектори - 46
§ 3. Координатни системи и координати
11. Координати на вектори и точки върху права 52
12. Координати на вектори и точки в равнина 55
13. Координати на вектори и точки в пространството 61
14. Координати на линейни комбинации на вектори 69
15. Условие за колинеарност на два вектора. Колинеарност на три точки 72
16. Условие за компланарност на три вектора. Компланарност на 4 точки .... 76
§ 4. Проекции на вектори
17. Проекции на вектор върху права, ос и равнина 78
18. Формули за ортогоналната алгебрична проекция на вектор върху ос 87
§ 5. Метрични операции с векторите
19. Скаларно произведение на два вектора 90
20. Дължина на вектор и разстояние между две точки 96
21. Директории косинуси на посока; директории параметри и ъглов коефициент на права 99
22. Векторно произведение на два вектора 105
23. Формули за ъглите 114
24. Смесено произведение на три вектора 121
25. Лице на триъгълник и многоъгълник и обем на тетраедър 127
26. Двойно векторно произведение .138
27. Четворни произведения . . . . 141
§ 6. Смяна на координатната система. Други координатни системи
28. Смяна на координатната система върху права 143
29. Смяна на координатната система в равнина 144
30. Движение в равнина 151
31. Смяна на координатната система в пространството 158
32. Движение в пространството 166
33. Полярна координатна система в равнината 183
34. Полярна и цилиндрична координатна система в пространството 186
Глава II УРАВНЕНИЯ НА ПРАВА И РАВНИНА
§ 7. Параметрични уравнения на права и равнина
35. Параметрични уравнения на права 190
36. Параметрични уравнения на равнина 195
§ 8. Уравнения на права в равнината
37. Общо уравнение на права 199
38. Обикновено уравнение на права 208
39. Права през 1 и 2 точки. Отрезово уравненир-на права 210
40. Нормално уравнение на права. Разстояние от точка до права 213
41. Просто отношение на 3 точки . . . 218
42. Взаимно положение на две прави . 222
43. Сноп прави 225
44. Три прави 2^0
45. Знак на тричлена их+уу+г 233
§ 9. Уравнения на равнина и права в пространството
46. Общо уравнение на равнина 235
47. Равнина през 1 и 3 точки. Отрезово уравнение на равнина . 242
48. Нормално уравнение на равнина. Разстояние от точка до равнина 244
49. Взаимно положение на две равнини. Ъгъл между две равнини 247
50. Сноп равнини 252
51. Представяне на права с уравненията на две равнини през нея 256
52. Три равнини. Права и равнина. Четири равнини. Две прави 265
53. Разстояние от точка до права в пространството. Ос на две кръстосани прави . 275
54. я-мерно афинно пространство 282
55. я-мерно Евклидово пространство 309
Глава III БЕЗКРАЙНИ ЕЛЕМЕНТИ. ХОМОГЕННИ КООРДИНАТИ
§ 10. Безкратни елементи
56. Дефиниция на безкрайните елементи 320
57. Инцидентност и неинцидентност в разширеното Евклидово пространство . . . 323
§ 11, Хомогенни афинни координати на точките, равнините и правите
58. Дефиниция на хомогенните афинни координати на точките в пространството . . 327
59. Уравнение и координати на равнина! Уравнение на точка . 332
60. Параметрично представяне на р д точки и сноп равнини 339
61. Параметрично представяне на поле точки и звезда равнини 351
62. Параметрично представяне на точковото и равнинното пространство 356
63. Трансформация на хомогенните точкови и равнинни координати в пространството 359
64. Дефиниция на хомогенните афинни координати на точките в крайна равнина . 363
65. Уравнение и координати на права. Уравнение на точка 364
66. Параметрично представяне на ред точки и сноп прави 369
67. Параметрично представяне на полето точки и полето прави 374
68. Теорема на Дезарг за перспективните триъгълници. Теорема на Папус . . . 376
69. Трансформация на хомогенните точкови и линейни координати в крайна равнина 379
70. Хомогенни афинни координати на точките върху крайна права 380
71. Хомогенни афинни координати на точките и правите в безкрайната равнина . 383
72. Безкрайни елементи и хомогенни координати в я-мерното пространство . . . 387
Глава IV АНАЛИТИЧНО ПРЕДСТАВЯНЕ НА КРИВИТЕ И ПОВЪРХНИНИТЕ. КОМПЛЕКСНИ ЕЛЕМЕНТИ
§ 12. Аналитично представяне на кривите и повърхнините
73. Уравнения на окръжност 405
74. Степен на точка спрямо окръжност. Снопове окръжности . 412
75. Инверсия спрямо окръжност 420
76. Уравнения на линия в равнината 428
77. Уравнения на сфера 436
78. Уравнения на повърхнини и линии в пространството 441
79. Цилиндрични, конични и ротационни повърхнини 448
§ 13. Комплексни елементи
80. Комплексни точки, прави и равнини 453
81. Крайни комплексни елементи. Комплексни вектори и комплексни афинни координатни системи 468
82. Метрични понятия при комплексните елементи. Изотропни елементи ...... 475
§ 14. Алгебрични криви и повърхнини
83. Алгебрични равнинни криви 486
84. Алгебрични повърхнини в пространството 496
Глава V ДВОЙНО ОТНОШЕНИЕ. ПРОЕКТИВНИ КООРДИНАТИ
§ 15. Двойно отношение
85. Дефиниция на двойното отношение на 4 точки и 4 равнини 500
86. Свойства на двойното отношение 506
87. Изразяване на двойното отношение със сегменти и ъгли 509
88. Теорема на Папус за двойното ошошение 512
89. Двойно отношение на четири прави 515
90. Хармонични групи 517
§ 16. Проективни координати върху права и в равнина
91. Проективни координати на точките върху права 524
92. Линейни трансформации 531
93. Проективни координати на точките в равнина 535
94. Връзка между проективните и афинните координати 540
95. Смяна на проективната координатна система 544
96. Параметрично представяне на ред точки, сноп прави, полето точки, полето прави 550
97. Други представяния на проективните точкови и линейни координати 553
§ 17. Проективни координати в пространството
98. Проективни координати на точките и равнините в пространството 557
99. Параметрично представяне на ред точки, сноп равнини и поле точки в проективни координати . 568
100. Двойно отношение и проективни координати в га-мерното пространство . . . 572
Глава VI КРИВИ И ПОВЪРХНИНИ ОТ ВТОРА СТЕПЕН
§ 18. Проективни свойства на кривите и повърхнините от втора степен
101. Дефиниция на фигурите от втора степен. Означения 576
102. Общи точки на фигура от 2. ст. и права 582
103. Допирателна права в точка на крива от 2. ст. и допирателна равнина в точка на повърхнина от 2. ст 584
104. Особени точки на фигурите от 2. ст. и класификация на фигурите според тях 589
105. Сечение на повърхнина от 2. ст. с равнина 600
106. Тангенциално уравнение на фигурите от 2. ст 603
107. Определяне на крива от 2. ст. с точки и тангенти 609
108. Сноп криви от 2. ст 616
109. Теорема на Паскал 626
110. Тангенти от външна точка към фигура от 2. ст 632
111. Полярност спрямо фигура от 2. ст. . . . : 638
112. Полярен триъгълник и полярен тетраедър. Проективни канонични уравнения на фигурите от 2. ст 648
113. Прави върху неособените 7?-повърхнини от 2. ст 659
§ 19. Афинни свойства на кривите и повърхнините от втора степен
114. Безкрайни точки на фигурите от 2. ст 661
115. Център и централно уравнение на фигурите от 2 ст 677
116. Асимптоти на фигура от 2. ст. Асимптотичен конус на повърхнина от 2. ст . 677
117. Диаметри на кривите от 2. ст 682
118. Диаметрални равнини и диаметри на повърхнините от 2. ст 685
§ 20. Метрични канонични уравнения на фигурите от втора степен
119. Главни направления на кривите от 2. ст 690
120. Метрични канонични уравнения на кривите от 2. ст., които имат поне един краен център 695
121. Канонични уравнения на кривите от 2. ст., които или нямат краен център, или имат безбройно много крайни центрове 704
122. Елипса, хипербола, парабола . . 708
123. Главни направления на повърхнините от 2. ст 719
124. Канонични уравнения на повърхнина от 2. ст., която има поне един краси център 727
125. Канонично уравнение на повърхнина от 2. ст., чието характеристично уравнение има прост корен 0 735
126. Канонично уравнение на повърхнина от 2. ст., чието характеристично уравнение има двоен корен 738
127. Елипсоид, хиперболоиди, параболоиди 740
128. Фокуси и директриси на кривите от 2 ст 750
129. Фокални свойства на кривите от 2. ст 756
130. Реалните неизродени криви от 2. ст. като равнинни сечения на реален ротационен конус от 2. ст > 765
Глава VII ПРОЕКТИВНИ ТРАНСФОРМАЦИИ
§ 21. Проективности между основни едноизмерими фигури
131. Съответствия между съвкупности 770
132- Перспективност и проективност между основни едноизмерими фигури. . . 775
133. Аналитично представяне на проективността 780
134. Съответствия, запазващи двойните отношения 783
135. Проективно образуване на кривите от 2. ст 792
136. Конлокална проективност 797
137. Инволюция .801
138. Подобност и еднаквост между два крайни реда точки 807
139. Еднаквост между два снопа прави с крайни центрове 811
§ 22. Колинеации между две равнини
140. Колинеация между две равнини 816
141. Колинеация в една равнина 822
142. Хомология в една равнина 830
143. Афинитет между две крайни равнини . 834
144. Проективности в n-мерно проективно пространство 839
