В тази книга се разглеждат основните гранични задачи за трите класически уравнения на математическата физика: вълновото уравнение, уравнението на Лаплас и уравнението на топлопроводността. Особено внимание е отделено на въпросите за съществуване и единственост. Изчерпателно са изследвани различните интегрални формули, които дават решение на граничните задачи. За пръв път в учебната литература задачата на Дирихле за уравнението на топлопроводността е изследвана с метода на Перон при най-общи предположения.
Макар че е предназначена за студентите по математика, книгата може да бъде полезна за всички, които се интересуват от тези въпроси.
Предговор 7
ПЪРВА ГЛАВА. ПОСТАНОВКА НА ЗАДАЧИТЕ НА МАТЕМАТИЧЕСКАТА ФИЗИКА
§ 1. Увод 9
§ 2. Дефиниции и формулировки 11
§ 3. Физически процеси, които водят до основните уравнения и задачи на математическата физика 16
§ 4. Класификация на линейните уравнения от втори ред с n независими променливи 29
§ 5. Обща постановка на задачата на Коши. Характеристики 37
§ 6. Коректност на задачата на Коши 47
§ 7. Привеждане на линейните уравнения с две независими променливи в каноничен вид 51
§ 8. Спретнат оператор на даден диференциален оператор. Обща формула на Грийн 57
ВТОРА ГЛАВА. ХИПЕРБОЛИЧНИ УРАВНЕНИЯ
§ 1. Задача на Коши за един клас хиперболични уравнения с две независими променливи 60
§ 2. Някои специални решения на вълновото уравнение 74
§ 3. Задача на Коши за уравнението на струната 77
§ 4. Задача на Коши за вълновото уравнение с три пространствени про- менливи. Извод на формулата на Кирхоф 85
§ 5. Проверка на формулата на Кирхоф. Двустранна задача на Коши . . 89
§ 6. Формула на Поасон. Теорема за единственост 92
§ 7. Качествени следствия от формулите на Кирхоф, Поасон и Даламбер 99
§ 8. Коректност на задачата на Коши. Метод на Дюамел 103
§ 9. Смесена задача за уравнението на струната 107
ТРЕТА ГЛАВА. СВОЙСТВА НА ХАРМОНИЧНИТЕ ФУНКЦИИ
§ 1. Формули на Грийн и непосредствени следствия от тях 122
§ 2. Интегрално представяне на двукратно гладките функции в дадена област. Теорема за средното аритметично. Принцип за максимума на хармоничните функции 126
§ 3. Функция на Грийн. Основни свойства 131
§ 4. Задача на Дирихле за кълбото. Интеграл на Поасон 137
§ 5. Следствия от интеграла на Поасон 145
§ 6. Редици от хармонични функции. Теореми на Харнак 149
§ 7. Свойства на обемния потенциал 155
§ 8. Решение на задачата на Дирихле за области, притежаващи функция на Грийн 174
ЧЕТВЪРТА ГЛАВА. ЗАДАЧА НА ДИРИХЛЕ. ОБЩА ТЕОРЕМА ЗА СЪ¬ЩЕСТВУВАНЕ
§ 1. Метод на Поанкаре—Перон 181
§ 2. Обобщен принцип за максимума, критерий на Заремба 191
§ 3. Външна задача на Дирихле. Теореми за съществуване и единственост 199
§ 4. Външна задача на Нойман. Лема на Хопф—Жиро 206
ПЕТА ГЛАВА. ПОТЕНЦИАЛИ ОТ ПРОСТ И ДВОЕН СЛОЙ
§ 1. Сведения за двукратно гладките затворени повърхнини 211
§ 2. Интеграл на Гаус 219
§ 3. Свойства на потенциала от двоен слой 229
§ 4. Свойства на потенциала от прост слой 233
§ 5. Свеждане на граничните задачи към интегрални уравнения. Алтернатива на Фредхолм 239
§ 6. Изследване на интегралните уравнения на граничните задачи .... 244
§ 7. Коректност на външната и вътрешната задача на Нойман 249
ШЕСТА ГЛАВА. ЕЛЕМЕНТИ ОТ ТЕОРИЯТА НА ИНТЕГРАЛНИТЕ УРАВ¬НЕНИЯ
§ 1. Хилбертови пространства. Примери 252
§ 2. Линейни оператори. Примери 255
§ 3. Компактни оператори 263
§ 4. Алтернатива на Фредхолм 271
§ 5. Непрекъснатост на решенията на интегралните уравнения със слаба особеност 283
СЕДМА ГЛАВА. УРАВНЕНИЕ НА ТОПЛОПРОВОДНОСТТА
§ 1. Принцип за максимума. Постановка на задачата на Дирихле. Теорема за единственост 288
§ 2. Изследване на задачата на Дирихле с метода на Фурие 291
§ 3. Задача на Коши 295
§ 4. Функция на Грийн. Изследване на задачата на Дирихле в правоъгълник 300
§ 5. Силен принцип за максимума. Следствия от основното интегрално представяне 317
§ 6. Метод на Перон за уравнението на топлопроводността 325
