Оригинално заглавие:
Numbers: Rational and Irrational by Ivan Niven (1961)
*
От редактора
Эта книга рассчитана в первую очередь на учащихся старших классов средней школы; ее можно также рекомендовать всем любителям математики, заинтересованным в уточнении понятия «число», и особенно тем читателям, которые призваны — в настоящем или будущем — удовлетворять математическую любознательность школьников-старшеклассников: учителям средних школ и студентам педагогических институтов.
Большинство начинающих математиков стремятся главным образом к конкретным знаниям; их интересуют новые теоремы, неизвестные им ранее задачи, неожиданные математические факты. Но есть среди наших школьников и люди другого склада, интерес которых к математике направлен, так сказать, не вширь, а вглубь: их не удовлетворяют те знания, которыми они как будто уже владеют, им хочется получить точные ответы на принципиальные вопросы, которые курс средней школы тщательно обходит. Что такое число, линия, функция? Какие бывают числа, линии, функции? Какие свойства числа, линии, функции должны доказываться, а какие входят в определения этих объектов? Для этой последней категории учащихся и написана настоящая книга,
Основным предметом изучения здесь является число. Понятие числа является не только одним из самых важных в математике, но и одним из самых сложных; можно без всякого преувеличения сказать, что вся математика —и арифметика, и алгебра, и геометрия, и анализ —уже содержится, как в зародыше, в связанном с понятием числа круге проблем. Разумеется, это«маленькая книга и не претендует на то, чтобы дать ответ на все возникающие здесь вопросы—ее цель скорее состоит в том, чтобы заставить читателя задуматься над некоторыми из возникающих в этой связи задач. После смерти замечательного французского математика Анри Пуанкаре о нем было сказано, что плодом его деятельности явилось увеличение —а не уменьшение — числа нерешенных вопросов: Пуанкаре больше поставил новых, в его время неразрешимых задач, чем решил тех, которые были поставлены до него. Точно так же и прочитавший эту книгу школьник может быть решит, что теперь он знает математику хуже, чем до чтения этой книги. Но ведь не задумываться над вопросом—это вовсе не то же самое, что знать на него ответ, — и нам кажется, что польза от вдумчивого чтения этой книги будет очень большой.
В конце книги имеется составленный редактором небольшой список литературы, дополняющей содержание настоящей книги; надо только иметь в виду, что большая часть указанных в этом списке книг и статей несколько труднее книги А. Нивена.
Многие из доказанных в книге теорем покажутся читателю совсем простыми, но простота эта часто является обманчивой. Мы очень рекомендуем читателю не пренебрегать таким хорошим способом самоконтроля, как решение имеющихся в книге задач. Вообще каждую книгу по математике — в частности, и настоящую — следует читать с карандашом в руке: на быстрое чтение математическая литература не рассчитана. Последние главы этой книги являются несколько более сложными, чем первые, но за эту сложность читатель будет компенсирован теми глубокими, иногда неожиданными результатами, которые содержатся в последних главах. Желание увеличить число полученных в книге конкретных результатов побудило редактора к написанию приложения Г, содержащего доказательство некоторых результатов, упомянутых в гл. V; это приложение, пожалуй, несколько труднее первых трех приложений, составленных автором книги.
Ссылка в тексте книги на § 3 или на теорему 4 означает, что речь идет о параграфе или о теореме той же главы; в том случае, когда ссылка относится к материалу другой главы, это каждый раз специально оговаривается.
Автор этой книги Айвен Нивен является известным американским математиком, специализирующимся в области теории чисел. Он проявляет большой интерес к проблемам преподавания математики и является автором ряда научно-популярных книг и статей. А. Нивен — профессор Университета штата Орегон; одновременно он является редактором замечательного журнала «Американский математический ежемесячник» (American Mathematical Monthly), рассчитанного на учителей американских школ и на широкие круги любителей математики, а также председателем Издательского комитета высокоавторитетной «Исследовательской группы по школьной математике» (School Mathematics Study Group) Американского математического общества, издающей, в частности, серию книг для школьников «Новая математическая библиотека» (New Mathematical Library), первым выпуском которой явилась настоящая книга. Вышедшие ранее книги популярной серии «Современная математика»: О. Оре «Графы и их применение»; Э. Бекенбах и Р. Беллман «Введение в неравенства»— также первоначально были изданы в серии «Новая математическая библиотека».
И. М. Яглом
**
Оглавление
От редактора 5
Введение 9
ГЛАВА I. Натуральные и целые числа 17
§ 1. Простые числа 19
Упражнения 19
§ 2. Единственность разложения на простые множители 20
§ 3. Целые числа 23
Упражнения 26
§ 4. Четные и нечетные целые числа 26
Упражнения 28
§ 5. Свойства замкнутости 29
§ 6. Замечания о природе доказательства .... 30
Упражнения 31
ГЛАВА II. Рациональные числа 33
§ 1. Определение рациональных чисел 33
Упражнения 35
§ 2. Конечные и бесконечные десятичные дроби . . 36
Упражнение 39
§ 3. Различные способы формулировки и доказательства предложений . 39
Упражнения 45
§ 4. Периодические десятичные дроби 45
Упражнение 50
§ 5. Всякую конечную десятичную дробь можно представить в виде периодической десятичной дроби 50
Упражнения 52
§ 6. Краткие выводы 53
ГЛАВА III. Действительные числа 54
§ 1. Геометрическая точка зрения 54
§ 2. Десятичные представления 56
§ 3. Иррациональность числа У 2 . 59
§ 4. Иррациональность числа Уз 60
§ 5. Иррациональность чисел 1^6 и У2-\- ^3 ... 61
Упражнения 63
§ 6. Слова, которыми мы пользуемся 63
§ 7. Приложение к геометрии 65
§ 8. Краткие выводы 70
ГЛАВА IV. Иррациональные числа 72
§ 1. Свойства замкнутости 72
Упражнения 75
§ 2. Алгебраические уравнения 76
Упражнения . . 79
§ 3. Рациональные корни алгебраических уравнений 79
Упражнения . . . 85
§ 4. Дальнейшие примеры 86
Упражнения 88
§ 5. Краткие выводы 88
ГЛАВА V. Значения тригонометрических и логарифмической функций 90
§ 1. Иррациональные значения тригонометрических функций 90
Упражнения 93
§ 2. Одно общее правило 93
Упражнения . 95
§ 3. Иррациональные значения десятичных логарифмов 95
Упражнения 97
§ 4. Трансцендентные числа 97
Упражнения 101
§ 5. Три знаменитые задачи на построение 101
Упражнения 108
§ 6. Дальнейший анализ числа у 2 108
Упражнения 109
§ 78 Краткие выводы 109
ГЛАВА VI. Приближение иррациональных чисел рациональными
§ 1. Неравенства
Упражнения
§ 2. Приближение целыми числами
Упражнения
§ 3. Приближение рациональными числами
Упражнения
§ 4. Лучшие приближения
Упражнения
§ 5. Приближения с точностью до 1/n2
Упражнения
§ 6. Ограничения точности приближений
Упражнения
§ 7. Краткие выводы
ГЛАВА VII. Существование трансцендентных чисел
§ 1. Предварительные сведения из алгебры
Упражнения
§ 2. Один способ приближения числа α
§ 3. План доказательства
Упражнения
§ 4. Свойства многочленов
§ 5. Трансцендентность числа α
§ 6. Краткие выводы
ПРИЛОЖЕНИЕ А. Доказательство бесконечности числа простых чисел
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Доказательство основной теоремы арифметики
ПРИЛОЖЕНИЕ В. Доказательство Кантора существования трансцендентных чисел. Упражнения
ПРИЛОЖЕНИЕ Г. И. М. Яглом. Доказательство иррациональности значений тригонометрических функций
Ответы и указания к упражнениям
Литература
