В. Попов  |  Б. Сендов  (автори)

Твърда корица, среден формат  |  308 стр.  |  358 гр.

(неизползвана, здрава и чиста книга в почти отлично състояние - леко захабен външен вид)

*

ПРЕДГОВОР

Широкото използуване на числените методи и засиленият ин­терес към тях през последните години са предизвикани от изклю­чителното увеличаване на изчислителските възможности, които дават съвременните сметачни машини с програмно управление. До голяма степен новите мощни изчислителни средства влияят върху характера на новосъздаващите се числени методи.

Изчислителната математика, в която се изучават различни чи­слени методи и средства за изчисление, може да се счита като един от най-старите клонове на математическата наука. В най-дълбока древност математиката се е свеждала до голяма степен само до изчисления и съставяне на таблици. Така например основ­ната дейност на учените в древния Вавилон е била съставянето на таблици.

Древните египтяни са били също дейни изчислители. С такава дейност са се занимавали и древните гърци. Архимед (287 — 212 пр. н. е.) преди повече от 2000 години установи, че числото Пи се намира между 3 10/71 и З 1/7.

Велико откритие в изчислителната математика е създаването на позиционните бройни системи и по-специално на десетичната бройна система, възникнала в Индия. Голямата простота на пра­вилата за извършване на аритметичните действия с числа, запи­сани в позиционна система, е дала силен тласък на развитието на изчислителните средства и изчислителната математика въобще.

В XIX в. започват да се създават по-сериозни механични из­числителни средства и се ражда идеята за тяхното автоматизиране. Но едва през 40-те години на нашия век започна техническото реализиране на сметачни машини с програмно управление. Сгеа развитието на изчислителната техника върви с бързи крачки на­пред, като централно място заема електронната изчислителна тех­ника. Възможностите, които дават съвременните сметачни машини, изискват създаването на нови и усъвършенствуването на старите числени методи, за да може да се използува тази мощна изчи­слителна техника в решаването на сложни задачи, свързани с приложението на математиката в практиката и в другите науки.

За да изтъкнем каква е ролята на изчислителната математика при приложението на математиката изобщо, ще разгледаме един конкретен пример.

Да си поставим за задача да определим разстоянието, на ко­ ето ще падне едно тяло, хвърлено под ъгъл алфа спрямо хоризонта и с начална скорост V₀. Нека при това е дадено, че алфа = 35°14' V₀=10 m/s.

Тази добре известна задача може да се реши, като се изпол­зува описанието на това явление с помощта на обикновени ди­ференциални уравнения в идеалния случай. Без труд се получава, че разстоянието, на което ще падне тялото, е d= 10 2/9.81 sin70°28' прибл. = 9,61 m, от мястото на хвърляне.

Ако направим обаче един експеримент — да хвърлим едно тяло под същия ъгъл ос и със същата начална скорост г>₀, много е вероятно тялото да не падне на пресметнатото разстояние. При­чините за това са на първо място в използувания математически модел, който не описва точно разглежданото природно явление, В математическия модел не е отразен даже този важен фактор— наличието на въздух и създаденото от него съпротивление. Това съпротивление от своя страна зависи съществено от формата и размерите на тялото, които също не са отразени в математичес­кия модел.

Както в разглеждания пример, така и при решаването на как­вато и да е практическа задача с математически средства, в съ­щност се, решава не интересуващата ни практическа задача, а една математическа задача, която по някакъв начин се съпоставя на първоначалната задача. Понякога се казва, че се построява мате­матически модел на разглежданото явление, така че при известно съответствие между явлението и елементите на математическия модел, след решаването на математическата задача да се пред­видят някои страни на явлението. Отклоненията, на намерените решения от експерименталните данни в математическия модел могат да служат като мярка за съвършенството на модела. Ос­новна грешка на някои изследователи, които си служат с мате­матика, е смесването на математическия модел със «съответното описвано явление.

Важно е да подчертаем, че така нареченото приложение на математиката в практиката е свързано със създаването и изпол­зуването на математически модели на различни природни и об­ществени явления. Проверката на качеството на тези модели — доколко добре описват те съответните явленця — не е задача на изчислителната математика. С тази задача се занимават съот­ветните природни и обществени науки, чийто предмет е изучава­нето на посочените явления.

И така една от причините за отклонение на решението, полу­чено в математическия модел, от това, което ще се случи реално в природата или обществото, е несъвършенството на математи­ческия модел.

Втори източник на грешки е измерването на величините, ха­рактеризиращи явлението. В разгледания от нас пример това са ъгълът а, началната скорост т>₀ и земното ускорение Измерва­нето на тези величини може да стане с определена точност. Ме­тодите за повишаване на точността при измерване не са задача на изчислителната математика, но изчислителят трябва да знае с как^а точност са дадени величините, участвуващи в математичес­кия модел.

Основна задача на изчислителната математика е създаването на методи за решаване на различни задачи при математическото моделиране чрез извършване на краен брой аритметични дейст­вия, т. е. създаването на числени методи. Изискването броят на аритметичните действия да бъде краен е съществено и то води в много случаи само до намиране на едно приближено решение на математическата задача. Изучаването на отклонението на при­ближеното решение от точното решение е друга основна задача на -изчислителната математика.

Предлаганият учебник по числени методи (първа част) е пред­назначен за студентите по математика, но може да служи и на студенти от други специалности, както и за самообучение. В него не са включени упражнения и задачи, тъй като се подготвя от­делен сборник от задачи по числени методи.

При избора и подреждането на материала авторите са се съ­образявали с учебната програма и открояващите се тенденции в световната литература, но не са пренебрегнали напълно личния си вкус и интереси.

В редица учебници по числени методи е прието да се дават оценки за практическите качества на, отделните числени методи. В- този учебник такива оценки не се дават навсякъде и там, къ­дето са дадени, не са достатъчно категорични, тъй като авторите не могат да се опрат на достатъчно масов личен изчислителски опит за всеки отделен случай.

Приятно ни е да благодарим тук на нашите по-млади колеги Андрей Андреев и Жени Коларова за помощта при подготовката на ръкописа.

23. 9. 1974 г.

От авторите, София