Аннотация

Пособие написано в соответствии с новой учебной программой по одноименному курсу для студентов математических специальностей вузов. Особое внимание уделено четкому определению основных объ­ектов дифференциальной геометрии. Широко используются связи се с другими математическими курсами: линейной алгеброй, математиче­ским анализом, топологией.

*

ОГЛАВЛЕНИЕ

От авторов 3
Введение 4

§ 1. Предмет и методы дифференциальной геометрии. Краткие исторические сведения 4
§ 2. Пространство К" ' 5
§ 3. Топология 10
§ 4. Дифференциальное исчисление в К" 13
§ 5. Псевдоевклидовы пространства 17

Глава 1 Кривые

§ 1. Определение параметризованной кривой 27
§ 2. Определение кривой 30
§ 3. Касательная прямая и соприкасающаяся плоскость .33
§ 4. Кривизна кривой 36
§ 5. Репер Френе (сопровождающий трехгранник) параметризованной кривой 38
§ 6. Ориентированная кривая. Репер Френе ориентированной кривой 41
§ 7. Формулы Френе, кручение 43
§ 8. Теоремы единственности и существования параметризованных кривых 47
§ 9. Кривизна и кручение кривой. Изометрия кривых. Теорема единственности 50
§ 10. Кривые в псевдоевклидовом пространстве 52

Глава II Поверхности

§ 1. Определение параметризованной поверхности59
§ 2. Определение поверхности 60
§ 3. Локальная эквивалентность параметризованной поверхности и поверхности 62
§ 4. Кривые на поверхности 65
§ 5. Касательное векторное пространство, касательная плоскость и нормаль к поверхности 67
§ 6. Ориентация поверхности 70
§ 7. Гладкие отображения поверхностей 72
§ 8. Дифференциал гладкого отображения поверхностей .74
§ 9. Сферическое отображение и основной оператор поверхности 77
§ 10. Первая фундаментальная форма поверхности .... 79
§ 11. Изометрические отображения поверхностей .... 82
§ 12. Вычисление матрицы основного оператора в натуральном репере 88
§ 13. Вторая фундаментальная форма ориентированной поверхности
§ 14. Нормальная кривизна. Теорема Менье 88
§ 15. Главные направления, главные кривизны, гауссова и средняя кривизна 92
§ 16. Локальное задание поверхности в явном виде 94
§ 17. Соприкасающийся параболоид. Типы точек 96
§ 18. Собственные движения поверхности 99
§ 19. Уравнения движения натурального репера поверхности . 102
§ 20. Формулы Гаусса — Петерсона — Кодацци. Теорема Гаусса
§ 21. Основные теоремы теории поверхностей ш/
§ 22. Геодезические }}8
§ 23. Полугеодезическая параметризация поверхности . . . 117
§ 24. Векторные поля в пространстве К3 122
§ 25. Ковариантная производная 127
§ 26. Параллельный перенос векторов вдоль кривых на поверхности
§ 27. Поверхности нулевой кривизны 136
§ 28. Линейчатые поверхности 140
§ 29. Поверхности постоянной кривизны 43
§ 30. Риманова метрика на поверхности 146

Глава III Многообразия

§ 1. Понятие многообразия 154
§ 2. Гладкие функции и отображения
§ 3. Касательные векторы, касательное пространство к многообразию
§ 4. Касательный вектор как дифференцирование
§ 5. Векторные поля на многообразии 187
§ 6. Римановы многообразия 199
§ 7. Аффинная связность на многообразии 205
§ 8. Параллельный перенос и геодезические 214
§ 9. Римановы связности
§ 10. Ковекторы, сопряженное пространство 225
§ 11. Тензоры на векторном пространстве 229
§ 12. Тензорные поля на многообразии 254
§ 13. Кручение и кривизна 245

Литература