Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для физических и физико-математических факультетов университетов.
*
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редакторов серии 8
Предисловие 8
ЧАСТЬ I
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Введение 9
Глава 1. Дифференциальные уравнения первого порядка. ... 15
§ 1. Уравнения первого порядка, разрешенные относительно производной 15
§ 2. Уравнения с разделяющимися переменными 19
§ 3. Уравнения, приводящиеся к уравнениям с разделяющимися переменными 24
§ 4. Линейные уравнения первого порядка 27
§ 5. Уравнения в полных дифференциалах 32
§ 6. Теоремы существования и единственности решения уравнения|2. = /<*, у) 39
§ 7. Приближенные методы интегрирования уравнений первого порядка 61
§ 8. Простейшие типы уравнений, не разрешенных относительно производной 68
§ 9. Теорема существования и единственности для дифференциаль¬ных уравнений, не разрешенных относительно производной.
Особые решения 75
Задачи к главе I 82
Глава 2. Дифференциальные уравнения порядка выше первого 85
§ 1. Теорема существования и единственности для дифференциального уравнения п-то порядка 85
§ 2. Простейшие случаи понижения порядка 87
§ 3. Линейные дифференциальные уравнения п-то порядка .... 93
§ 4. Линейные однородные уравнения с постоянными коэффициентами и уравнения Эйлера 107
§ 5. Линейные неоднородные уравнения 113
§ 6. Линейные неоднородные уравнения с постоянными коэффициентами и уравнения Эйлера 124
§ 7. Интегрирование дифференциальных уравнений при помощ рядов 137
§ 8. Метод малого параметра и его применение в теории квазилинейных колебаний 147
§ 9. Понятие о краевых задачах 159
Задачи к главе 2 165
Глава 3. Системы дифференциальных уравнений 168
§ 1. Общие понятия 168
§ 2. Интегрирование системы дифференциальных уравнений путем сведения к одному уравнению более высокого порядка 171
§ 3. Нахождение интегрируемых комбинаций 173
§ 4. Системы линейных дифференциальных уравнений 181
§ 5. Системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами 192
§ 6. Приближенные методы интегрирования систем дифференциальных уравнений и уравнений п-то порядка 199
Задачи к главе 3 201
Глава 4. Теория устойчивости 203
§ 1. Основные понятия 203
§ 2. Простейшие типы точек покоя 206
§ 3. Второй метод А. М. Ляпунова 215
§ 4. Исследование на устойчивость по первому приближению . . 221
§ 5. Признаки отрицательности действительных частей всех корней многочлена 227
§ 6. Случай малого коэффициента при производной высшего порядка 230
§ 7. Устойчивость при постоянно действующих возмущениях . . 234
Задачи к главе 4 . . 238
Глава 5. Уравнения в частных производных первого порядка . 241
§ 1. Основные понятия 241
§ 2. Линейные и квазилинейные уравнения в частных производных первого порядка 243
§ 3. Уравнения Пфаффа 255
§ 4. Нелинейные уравнения первого порядка 260
Задачи к главе 5 278
ЧАСТЬ II
ВАРИАЦИОННОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ
Введение 289
Глава 6. Метод вариаций в задачах с неподвижными границами 284
§ 1. Вариация и ее свойства 284
§ 2. Уравнение Эйлера 292
§ 3. Функционалы вида |" Р (х, уь у2, ...,у/г у|, у2, .... у'п)дх 305
§ 4. Функционалы, зависящие от производных более высокого порядка . . 308
§ 5. Функционалы, зависящие от функций нескольких независимых переменных 312
§ 6. Вариационные задачи в параметрической форме ....... 317
§ 7. Некоторые приложения 320
Глава 7. Вариационные задачи с подвижными границами и некоторые другие задачи ........... 327
§ 1. Простейшая задача с подвижными границами ........ 327
§ 2. Задача с подвижными границами для функционалов вида Р (х, у, г, у', г') йх 334
§ 3. Экстремали с угловыми точками 338
§ 4. Односторонние вариации 346
Задачи к главе 7 349
Глава 8. Достаточные условия экстремума ........... 351
§ 1. Поле экстремалей 351
§ 2. Функция Е(х, у, /?, у') 357
§ 3. Преобразование уравнений Эйлера к каноническому виду . . 368
Задачи к главе 8 373
Глава 9. Вариационные задачи на условный экстремум 375
§ 1. Связи вида ф (х, у1? у2, ..уп) = 0 375
§ 2. Связи вида ф (х, уг, у2, ..., у„, у|, у2, ..., у^) = 0 382
§ 3. Изопериметрические задачи 385
Задачи к главе 9 . . . 393
Глава 10. Прямые методы в вариационных задачах . 394
§ 1. Прямые методы 394
§ 2. Конечно-разностный метод Эйлера . 395
§ 3. Метод Ритца 397
§ 4. Метод Канторовича 406
Задачи к главе 10 412
Ответы и указания к задачам 414
Рекомендуемая литература 421
Предметный указатель 422
**
ОТ РЕДАКТОРОВ СЕРИИ
В качестве третьего выпуска серии редакция приняла переиздание (с некоторыми изменениями) книг Л. Э. Эльсгольца по соответствующим разделам.
ПРЕДИСЛОВИЕ
Третий выпуск «Курса высшей математики и математической физики» для физических и физико-математических факультетов содержит теорию дифференциальных уравнений и вариационное исчисление. В основу книги положены лекции, которые автор в течение ряда лет читал на физическом факультете Московского ордена Ленина государственного университета им. М. В. Ломоносова.
Излагаемый материал хотя и близок к содержанию книг автора «Дифференциальные уравнения» (М., Гостехиздат, 1957) и «Вариационное исчисление» (М., Гостехиздат, 1958), однако по совету редакторов Курса в него внесен ряд изменений. За эти советы автор выражает им свою искреннюю признательность.
Л. Э. Эльсгольц.
