Эта книга представляет собой начальный курс математического анализа, рассчитанный на математиков и физиков. В его основе лежат лекции, читанные авторами в Гёттингенском университете.

Курс отличается строгостью и систематичностью построения. Классический характер изложения удачно сочетается в нем с новы­ми идеями и подходами. Наряду с теорией рассматривается много приложений к геометрии и физике.

Авторы книги — активно работающие математики. Старший из них Г. Грауэрт известен своими фундаментальными исследова­ниями в области комплексного анализа.

В русском издании собраны в одну книгу три тома немецкого издания. Первый том посвящен функциям одного переменного, вто­рой содержит дифференциальное исчисление функций нескольких переменных и теорию дифференциальных уравнений, третий — общую теорию интегрирования и физические приложения.

Книга очень полезна для всех, кто изучает, преподает или применяет математический анализ. Она может служить учебным пособием для студентов математических и физических специаль­ностей университетов и педагогических институтов, а также выс­ших технических учебных заведений с углубленным изучением математики.

**

ОТ ПЕРЕВОДЧИКА

Предлагаемый вниманию читателя курс дифференциального и интегрального исчисления написан известным математиком, про­фессором Геттингенского университета (ФРГ) Г. Грауэртом в сотруд­ничестве с И. Либом и В. Фишером. В немецком издании он состав­ляет три небольших тома; первый и третий из них написаны Г. Грау­эртом и И. Либом, а второй — Г. Грауэртом и В. Фишером. При переводе было решено для удобства читателей соединить их в одной книге.

Первый том посвящен дифференциальному и интегральному исчислению функций одной переменной, второй — дифференциаль­ному исчислению функций нескольких переменных и обыкновенным дифференциальным уравнениям и третий — теории интегрирования в К.⁷¹. Заключает третий том глава, в которой рассказывается о при­ложениях теории интегрирования дифференциальных форм к элек­тродинамике. В предисловиях к каждому тому (эти предисловия помещены непосредственно перед соответствующим томом) авторы подробно говорят о содержании книги.

В последние годы происходит перестройка университетского курса математического анализа. Особенно это относится к препода­ванию дифференциального и интегрального исчисления функций не­скольких переменных. Обсуждается и вопрос о разграничительной линии между общим и специальным курсами анализа, в частности, вопрос о том, к какому из них следует относить интеграл Лебега. Поэтому очень велика потребность в новых хороших учебниках анализа. Появившиеся в последнее время переводные учебники (достаточно назвать книги У. Гудина и Ж. Дьедонне) рассчитаны па подготовленных студентов, которые уже знакомы с основами анализа и собираются лишь углубить свои знания. Для начинаю­щих они трудны.

В этой связи книга Г. Грауэрта, И. Либа и В. Фишера может оказаться очень полезной. Это — современный серьезный учебник математического анализа. Изложение отличается большой системати­чностью и последовательностью. От читателя не предполагается никаких предварительных знаний анализа. Доказательства прово­дятся обстоятельно, подробно, во всех деталях. Книга доступна всякому студенту и вместе с тем охватывает большой материал. Стоит, впрочем, отметить, что выбор разделов курса анализа, вклю­ченных в книгу, не совсем совпадает с принятым у нас. Здесь, напри­мер, имеются обыкновенные дифференциальные уравнения, но отсут­ствуют ряды Фурье.

Многое в этой книге изложено своеобразно. Например, опреде­ление дифференцируемой функции и производной опирается лишь иа понятие непрерывной функции и в нем непосредственно не используется понятие предела. (Кстати говоря, и понятие преде­ла функции,— как это часто делают,— выводится из понятия не­прерывной функции.) Основные определения авторы стремятся фор­мулировать таким образом, чтобы их без дополнительных труднос­тей можно было перенести на самые общие, далеко выходящие за рамки этой книги случаи.

Можно не сомневаться, что этот курс, отражающий современный уровень преподавания анализа в Гёттингенском университете— одном из самых известных и выдающихся университетов мира,— будет с большим интересом встречен советскими читателями.

И. Вайнштейн

***

ОГЛАВЛЕНИЕ

От переводчика 5

Из предисловия авторов 7

Том I. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ 8
Предисловие 9

Глава I. Действительные числа 11

§ 1. Числа и числовая прямая И
§ 2. Множества 12
§ 3. Аксиомы поля 21
§ 4 Аксиомы порядка 32
§ 5. Аксиома о дедекиндовом сечении 37

Глава II. Множества и последовательности 42

§ 1. Ограниченные множества 42
§ 2. Последовательности точек 44
§ 3. Понятие окрестности 48
§ 4. Сходимость . . . 54

Глава III. Бесконечные ряды 03

§ 1. Сходимость и расходимость 63
§ 2. Ряды с положительными членами 68
§ 3. Знакочередующиеся ряды 72
§ 4. Абсолютная сходимость 73

Глава IV. Функции 77

§ 1. Понятие функции 77
§ 2. Полунепрерывные функции 79
$ 3. Непрерывные функции 83
§ 4. Рациональные операции 88
§ 5. Функции на замкнутых промежутках 91
§ 6. Последовательности функций 94
§ 7. Ряды функций 97
§ 8. Степенные ряды 101

Глава V. Дифференцирование 108

§ 1. Дифференцируемость 108
§ 2. Рациональные операции 109
§ 3. Локальпые экстремумы и теоремы о среднем значении . . . 115
§ 4. Правила Лопиталя 119
§ 5. Перестановка предельных переходов 122
§ 6. Обратная функция 126

Глава VI. Элементарные функции и теорема Тейлора 131

§ 1. Разложение Тейлора 131
§ 2. Интерполяция 141
§ 3. Экстремальные значения 151
§ 4. Элементарные функции 153

Глава VII. Интегрирование 174

§ 1. Ступенчатые функции 174
§ 2. Интегрируемость 180
§ 3. Элементарные правила интегрирования 184
§ 4. Сходимость в смысле Лебега 190
§ 5. Нуль-множества 192
§ 6. Интегрируемость по Риману 194
§ 7. Дифференцирование и интегрирование 198
§ 8. Интегрирование по частям 204
§ 9. Правило подстановки 2(1Г>
§ 10. Рациональные функции 2(18
§ 11. Неограниченные функции 214
§ 12. Численное интегрирование 218

Том II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ ФУНКЦИЙ НЕ¬СКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ 220
Предисловие 227

Глава I. Пути в [Ц," 230

§ 1. га-мерное пространство 230
§ 2. Пути 234
§ 3. Длина дуги 238
§ 4. Натуральный параметр 242
§ 5. Некоторые кривые 210
§ 6. Касательная и кривизна 231

Глава II. Топология пространства (Я™

4 1. Окрестности 250
§ 2. Компактные множества
§ 3. Последовательности точек 265
§ 4. Функции. Непрерывность 208
§ 5. Последовательности функций 273
§ 6. Отображения 277

Глава III. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных 284

§ 1. Диффсренцируемость 284
§ 2. Элеыентаргале правила
§ 3. Производные высшего порядка 291
§ 4. Формула Тейлора 295
§ 5. Ряд Тейлора 301
§ 6. Локальные экстремумы

Глава IV. Касательные векторы и регулярные отображения 314

§ 0. Некоторые сведения из линейной алгебры
§ 1. Дифференцирования
§ 2. Преобразование касательных векторов 321
§ 3. Пфаффовы формы 324
§ 4. Регулярные отображения 326
§ 5. Обратные отображения 333
§ 6. Системы уравнений и неявные функции 335
§ 7. Экстремумы при дополнительных условиях 339

Глава V. Некоторые типы обыкновенных дифференциальных уравнений 344

§ 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения первого порядка 344
§ 2. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка 346
§ 3. Дальнейшие методы решения 350
§ 4. Дифференциальное уравнение Риккати 353
§ 5. Общие классы дифференциальных уравнений 357
§ 6. Комплексные функции 360
§ 7. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 363

Глава VI. Теоремы существования 374

§ 1. Равностепенно непрерывные функции 374
§ 2. Теорема существования Пеано 377
§ 3. Условие Липшица . 383
§ 4. Вид интегральных кривых в целом 385
§ 5. Зависимость решений от начальных условий 388
§ 6. Общее решение 393
§ 7. Первообразная дифференциального уравнения 405

Глава VII. Методы решения 407

§ 1. Пфаффовы формы 407
§ 2. Регулярные точки пфаффовой формы 409
§ 3. Множитель Эйлера 411
§ 4. Дифференцируемые преобразования 415
§ 5. Особенности пфаффовых форм 416
§ 6. Метод последовательных приближений Пикара и Линделсфа 423
§ 7. Решение с помощью степенных рядов 426

Глава VIII. Системы дифференциальных уравнений, дифференциальные уравнения высшего порядка 431

§ 1. Системы дифференциальных уравнений первого порядка, разрешенных относительно производных, теоремы существования н единственности 431
§ 2. Линейные системы первого порядка 434
§ 3. Линейная однородная система с постоянными коэффициентами 439
§ 4. Обыкновенные дифференциальные уравнения высшего порядка, разрешенные относительно производной 448
§ 5. Некоторые дифференциальные уравнения второго порядка . . 454

Том III. ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ И ПОВЕРХНОСТНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ 468
Предисловие 469

Глава I. Интегрирование в н-мерном пространстве 473

§ 1. Ступенчатые функции 473
§ 2. Меры Радона 481
§ 3. Некоторые меры Радена 490
§ 4. Положительные меры 493
§ 5. Полунепрерывные функции 498
§ 6. Элементарные правила интегрирования 503
§ 7. Монотонные последовательности 507
§ 8. Теорема сходимости Лебега 511
§ 9. Измеримые множества 514
§ 10. Интегрирование ступенчатых функций 520
§ 11. Примеры интегрируемых функций 524
§ 12. Кратное интегрирование 529
§ 13. Предельные переходы под знаком интеграла 539

Глава II. Внешние дифференциальные формы 545

§ 1. Грассмановы произведения векторного пространства .... 545
§ 2. Внешние дифференциальные формы 554
§ 3. Дифференцируемые отображения 559
§ 4. Дифференциальные формы на допустимых множествах . . . 561
§ 5. Примеры и правила действий 567
§ 6. Лемма Пуанкаре 572

Глава III. Криволинейные и поверхностные интегралы 579

§ 1. Цепи 579
§ 2. Теорема Стокса 584
§ 3. Формула преобразования 589
§ 4. Полурегулярные клеточные разбиения 604
§ 5. Абсолютно непрерывные функции 618
§ 6. Спрямляемые пути 636

Глава IV. Приложения к электродинамике 644

§ 1. Электрическое и магнитное поле 644
§ 2. Токи 650
§ 3. Ориентации в пространстве 652
§ 4. Плотность тока и напряженноси 656

Литература 664

Указатель обозначений 667

Указатель 669