Р. Уэллс (автор)
Твърда корица, среден формат | 286 стр. | 393 гр.
(неизползвана книга в отлично състояние)
*
АННОТАЦИЯ
Хорошее введение в современную теорию компактных комплексных многообразий. В небольшой по объему книге автору удалось наряду с основной темой изложить обширный вспомогательный материал, необходимый для исследования комплексных многообразий и впервые собранный в одной книге. Многочисленные хорошо подобранные примеры, четкие формулировки и обсуждения теорем, выходящих за рамки введения, значительно увеличивают объем информации и знакомят с самыми последними достижениями в теории комплексных многообразий.
Книга интересна математикам различных специальностей, особенно специалистам по теории функций, дифференциальной геометрии, алгебраической геометрии и топологии. Она доступ-па аспирантам и студентам старших курсов университетов и пединститутов.
**
ОГЛАВЛЕНИЕ
От редактора перевода 5
Предисловие 7
ГЛАВА I. МНОГООБРАЗИЯ II ВЕКТОРНЫЕ РАССЛОЕНИЯ 9
1. Многообразия 10
2. Векторные расслоения _ 23
3. Почти комплексные многообразия и 3-оператор 40
ГЛАВА II. ТЕОРИЯ ПУЧКОВ 52
1. Предпучки и пучки 52
2. Резольвенты пучков 59
3. Теория когомологий 70
Приложение А. Когомологий Чеха с коэффициентами в пучке 83
ГЛАВА III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ 86
1. Эрмитова дифференциальная геометрия 86
2. Каноническая связность и кривизна эрмитова голоморфного векторного расслоения 100
3. Классы Чжэня дифференцируемого векторного расслоения 107
4. Комплексные линейные расслоения 121
ГЛАВА IV. ТЕОРИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОПЕРАТОРОВ 134
1. Пространства Соболева 134
2. Дифференциальные операторы 141
3. Псевдодифференциальные операторы 148
4. Параметриксы эллиптических дифференциальных операторов 167
5. Эллиптические комплексы 177
ГЛАВА V. КОМПАКТНЫЕ КОМПЛЕКСНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ 188
1. Эрмитова внешняя алгебра на эрмитовом векторном пространстве 188
2. Гармоническая теория на компактных многообразиях .... 202
3. Дифференциальные операторы на кэлеровом многообразии 212
4. Теорема Ходжа о разложении на компактных кэлеровых многообразиях 222
5. Билинейные соотношения Ходжа — Римана на кэлеровом многообразии 228
ГЛАВА VI. ТЕОРЕМА КОДАИРЫ О ПРОЕКТИВНОМ ВЛОЖЕНИИ 246
1. Многообразия Ходжа 246
2. Теорема Кодаиры о тривиальности когомологий 253
3. Квадратичные преобразования 260
4. Теорема Кодаиры о вложении 266
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 274
Предметный указатель 280
***
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Достижения теории функций многих комплексных переменных за последние 15—20 лет бесспорны. Эти успехи стали возможными благодаря применению новых идей и новой техники, развитых в топологии, дифференциальной геометрии, функциональном анализе, теории дифференциальных уравнений.
В последнее время появилось несколько монографий, где излагаются современные подходы к задачам многомерного комплексного анализа: Р. Ганнинг и X. Росси, Аналитические функции многих комплексных переменных (ориг. 1965), «Мир», М., 1969; Л. Хёрмандер, Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных (1966), «Мир», М., 1968; Б. В. Шабат, Введение в комплексный анализ, «Наука», М., 1970.
Книга Уэллса, русский перевод которой предлагается вниманию читателя, условно имеет своей целью доказательство теоремы Ко дайры о проективных алгебраических многообразиях. Но это лишь композиционный прием, позволяющий автору связать воедино изложение разнообразных вопросов дифференциального исчисления на комплексных многообразиях: основныхАтоня-тий, связанных с многообразиями и векторными расслоениями (гл. I), теории пучков (гл. II), дифференциальной геометрии (гл. III), псевдодифференциальных операторов и эллиптических уравнений (гл. IV), теории Ходжа (гл. V).
Изложение доказательства теоремы Ко дайры (гл. VI) близко по идеям к оригинальному. Подходы к задаче о вложении компактных комплексных многообразий (в проективное пространство), развитые Хирцебрухом, Гротендиком, Грауэртом, остаются вне рамок книги Уэллса.
С известной осторожностью эту книгу можно рекомендовать для первого знакомства с предметом. В ней нет упражнений, но восполнение многих опущенных доказательств может помочь активному чтению.
В переводе устранены отдельные опечатки и неточности оригинала (без указаний в соответствующих местах); большинство этих поправок любезно прислал редактору перевода сам автор. Мы искренне благодарны ему за это.
Б. С. Митягин
****
Моему учителю Липману Берсу ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга является значительна расширенным изложением лекций, которые были прочитаны мною в Университете Брендейса в 1967—1968 гг. и в Университете Райса в 1968—1969 гг. В первых четырех главах предпринята попытка дать подробный обзор недавних достижений в четырех разных областях математики: геометрии (теории многообразий и векторных расслоений), алгебраической топологии, дифференциальной геометрии и теории дифференциальных уравнений с частными производными. В этих главах разрабатываются различные математические средства, которые понадобятся при изучении компактных комплексных многообразий. При отборе тем я руководствовался в основном применениями к материалу последних двух глав. Главными среди них являются теория Ходжа для гармонических интегралов и критерий Кодаиры для проективных алгебраических многообразий без особенностей.
Эта книга должна соответствовать курсу общей теории комплексных многообразий. Я всячески избегал изложения той части теории функций многих комплексных переменных, которая связана с недавними достижениями в теории многообразий Штейна, поскольку на эту тему сравнительно недавно вышло несколько книг (Ганнинг и Росси [1], Хёрмандер [2]).'Наш курс сравнительно замкнут и предполагает знакомство с обычными общими курсами математики (включая немного функционального анализа), но так как одной из главных тем этой книги является геометрия, то она излагается с самого начала.
Каждая глава открывается общим обзором ее содержания. Излишне говорить, что есть множество тем, включение которых в эту книгу было бы подходящим и полезным. Но это не трактат, а лишь попытка проследить некоторые звенья, связывающие различные области математики, и увенчать изложение нескольними ключевыми результатами из теории компактных комплексных многообразий. Почти в каждой главе я привожу точные формулировки теорем, которые понятны в излагаемом контексте, но доказательство которых основывается на более сложной технике, здесь не рассматриваемой (например, теорема Римана — Роха — Хирцебруха); надеюсь, что заинтересованный читатель будет достаточно подготовлен (и стимулирован) для дальнейшего чтения в указанных направлениях.
Ссылки в тексте типа (4.6) (или 4.6) указывают на формулу (4.6) (или теорему, лемму и т. д.) в § 4 той главы, в которой стоит эта ссылка. При ссылках на другую главу мы приписываем номер главы, например (II.4.6).
Я хотел бы выразить признательность и благодарность многим коллегам и друзьям, с которыми я обсуждал различные аспекты этой книги в процессе работы над нею. В частности, я хотел бы назвать М. Атью, Р. Ботта, П. Гриффитса, Р. Пале, Дж. Пол-кинга, О. Рименшнейдера, X. Росси, Р. Харви, Л. Хёрмандера, Ш. Чжэня и В. Шмида, замечания которых были мне очень полезны. Помощь и энтузиазм студентов, слушавших мои первые лекции, во многом способствовали продолжению этого начинания. Очень помогли мне М. Кауэн и А. Дабсон, которые внимательно прочитали первый вариант. Кроме того, я хотел бы поблагодарить за значительную помощь двух моих студентов. М. Уиндем записал три дервые главы из моих лекций 1968—69 гг. и прочитал черновик (без его записей эта книга почти наверняка не была бы" и начата), а Дж.Друйе с большим вниманием прочитал окончательную рукопись и корректуры и помог устранить многочисленные ошибки.
Я хочу поблагодарить 1п81л1и1е 1ог Айуаисей 81ш1у за предоставленную мне возможность провести 1970—71 учебный год в Принстоне, где я работал над книгой и где была выполнена большая работа по перепечатке рукописи. Наконец, в процессе подготовки рукописи к публикации были чрезвычайно полезными контакты с сотрудниками математического факультета Университета Райса.
Р. Уэллс
