*

От вътрешната страна на обложката:

Группа французских матема­тиков, объединенная под псев­донимом «Бурбаки», поставила перед собой цель — написать под общим заглавием «Элементы математики» полный трактат современной математической науки. Много томов этого трактата уже вышло во Франции. Они вызвали большой интерес мате­матиков всего мира как новиз­ной изложения, так и высоким научным уровнем. Книга рассчитана на матема­тиков — научных работников, аспирантов и студентов старших курсов.

*

АННОТАЦИЯ

Книга представляет собой перевод двух выпусков трактата Н. Бурбаки и содержит изложение результатов важной области со­временной математики — теории конечномерных и бесконечномерных многообразий. Особенность книги, делающая ее уникальным событи­ем в математической литературе,— это единообразное изложение тео­рии для произвольных основных полей.

На эту книгу имеется большое число ссылок в других частях трактата Н. Бурбаки, в частности в выпускаемой в этом же году книге «Группы и алгебры Ли» (гл. 1—III). Она предназначена для самого широкого круга математиков различных специальностей — от сту­дентов до научных работников.

*

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Предлагаемая читателю часть трактата Н. Бурбаки представляет собой сводку результатов еще не написанной книги «Дифференци­руемые и аналитические многообразия».

Понятие многообразия играет очень большую роль во многих разделах математики и ее приложений. В последние годы это поня­тие существенно расширилось в двух направлениях. Во-первых, начато математическое изучение бесконечномерных многообразий (которые уже давно появлялись в функциональном анализе, гео­метрии, механике и физике). Во-вторых, развитие алгебраической геометрии и теории чисел естественно привело к рассмотрению многообразий над произвольным полем.

В литературе на русском языке имеется довольно много изло­жений классической теории многообразий. Бесконечномерные мно­гообразия рассматриваются в книге С. Ленга «Введение в теорию дифференцируемых многообразий», «Мир», 1967, а некоторые эле­ментарные сведения о р-адических многообразиях содержатся в книге Ж--П. Серра «Группы и алгебры Ли», «Мир», 1970.

Однако единого изложения теории многообразий в достаточной общности пока нет; кроме того, указанные выше книги давно разо­шлись. Поэтому перевод сводки результатов Н. Бурбаки, даже до выхода самой книги, мне кажется весьма своевременным.

Французское издание «Сводки результатов» появилось в двух выпусках с интервалом в четыре года. При переводе оба выпуска соединены в одну книгу с общим введением, указателями обозна­чений и терминов и дополнениями. Исправлены опечатки первого выпуска, указанные автором в приложении ко второму выпуску.

Читатель наверняка уже знаком со стилем трактата Н. Бурбаки, который сохраняется и в данном издании.

Как правило, мы придерживались перевода терминов, уже встре­чавшихся в ранее переведенных выпусках. Два случая заслужи­вают особого упоминания.

Термин «аррПсаЧоп ргорге» в первом русском издании «Общей топологии» был переведен как «свойственное отображение», а во втором — как «совершенное отображение». Мы предпочли термин «собственное отображение», который чаще всего употребляется в современной литературе.

Прилагательное «зоизцасепЬ точнее всего пыли бы перевести как «подлежащее», но это слово в русском языке давно уже превра­тилось в существительное. Поэтому мы были вынуждены исполь­зовать (как и в переводе «Теории множеств») термин «нижележа­щее». Введение этого термина заменяет часто встречающиеся в на­шей математической литературе обороты, вроде следующих: «Забу­дем временно, что С есть топологическая группа, и рассмотрим ее как абстрактную группу» или «Многообразие X, рассматриваемое как топологическое пространство», ....

Отметим, что вместо понятия нижележащей структуры иногда вводят так называемый «стирающий функтор» (ср. учебник алгебры С. Ленга).

В заключение укажем, что ссылки на уже переведенные части трактата Н. Бурбаки заменены ссылками на соответствующие рус­ские переводы. В остальных случаях сохранены ссылки на француз­ские издания.

А. Кириллов

*

ВВЕДЕНИЕ

В этой книге собраны фундаментальные определения и главные результаты теории дифференцируемых многообразий (над полем вещественных чисел) и аналитических многообразий (над полным нормированным недискретным полем). Она не содержит доказа­тельств.

Определения и результаты первых шести книг предполагаются известными.