ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО
Г. Н. ОЛЬШАНСКОГО
ПОД РЕДАКЦИЕЙ
А. А. КИРИЛЛОВА
*
От вътрешната страна на обложката:
Группа французских математиков, объединенная под псевдонимом «Бурбаки», поставила перед собой цель — написать под общим заглавием «Элементы математики» полный трактат современной математической науки.
Много томов этого трактата уже вышло во Франции. Они вызвали большой интерес математиков всего мира как новизной изложения, так и высоким научным уровнем.
Книга рассчитана на математиков — научных работников, аспирантов и студентов старших курсов.
*
Книга представляет собой перевод двух выпусков трактата Н. Бурбаки и содержит изложение результатов важной области современной математики — теории конечномерных и бесконечномерных многообразий. Особенность книги, делающая ее уникальным событием в математической литературе,— это единообразное изложение теории для произвольных основных полей.
На эту книгу имеется большое число ссылок в других частях трактата Н. Бурбаки, в частности в выпускаемой в этом же году книге «Группы и алгебры Ли» (гл. 1—III). Она предназначена для самого широкого круга математиков различных специальностей — от студентов до научных работников.
*
ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемая читателю часть трактата Н. Бурбаки представляет собой сводку результатов еще не написанной книги «Дифференцируемые и аналитические многообразия».
Понятие многообразия играет очень большую роль во многих разделах математики и ее приложений. В последние годы это понятие существенно расширилось в двух направлениях. Во-первых, начато математическое изучение бесконечномерных многообразий (которые уже давно появлялись в функциональном анализе, геометрии, механике и физике). Во-вторых, развитие алгебраической геометрии и теории чисел естественно привело к рассмотрению многообразий над произвольным полем.
В литературе на русском языке имеется довольно много изложений классической теории многообразий. Бесконечномерные многообразия рассматриваются в книге С. Ленга «Введение в теорию дифференцируемых многообразий», «Мир», 1967, а некоторые элементарные сведения о р-адических многообразиях содержатся в книге Ж--П. Серра «Группы и алгебры Ли», «Мир», 1970.
Однако единого изложения теории многообразий в достаточной общности пока нет; кроме того, указанные выше книги давно разошлись. Поэтому перевод сводки результатов Н. Бурбаки, даже до выхода самой книги, мне кажется весьма своевременным.
Французское издание «Сводки результатов» появилось в двух выпусках с интервалом в четыре года. При переводе оба выпуска соединены в одну книгу с общим введением, указателями обозначений и терминов и дополнениями. Исправлены опечатки первого выпуска, указанные автором в приложении ко второму выпуску.
Читатель наверняка уже знаком со стилем трактата Н. Бурбаки, который сохраняется и в данном издании.
Как правило, мы придерживались перевода терминов, уже встречавшихся в ранее переведенных выпусках. Два случая заслуживают особого упоминания.
Термин «аррПсаЧоп ргорге» в первом русском издании «Общей топологии» был переведен как «свойственное отображение», а во втором — как «совершенное отображение». Мы предпочли термин «собственное отображение», который чаще всего употребляется в современной литературе.
Прилагательное «зоизцасепЬ точнее всего пыли бы перевести как «подлежащее», но это слово в русском языке давно уже превратилось в существительное. Поэтому мы были вынуждены использовать (как и в переводе «Теории множеств») термин «нижележащее». Введение этого термина заменяет часто встречающиеся в нашей математической литературе обороты, вроде следующих: «Забудем временно, что С есть топологическая группа, и рассмотрим ее как абстрактную группу» или «Многообразие X, рассматриваемое как топологическое пространство», ....
Отметим, что вместо понятия нижележащей структуры иногда вводят так называемый «стирающий функтор» (ср. учебник алгебры С. Ленга).
В заключение укажем, что ссылки на уже переведенные части трактата Н. Бурбаки заменены ссылками на соответствующие русские переводы. В остальных случаях сохранены ссылки на французские издания.
А. Кириллов
*
ВВЕДЕНИЕ
В этой книге собраны фундаментальные определения и главные результаты теории дифференцируемых многообразий (над полем вещественных чисел) и аналитических многообразий (над полным нормированным недискретным полем). Она не содержит доказательств.
Определения и результаты первых шести книг предполагаются известными.
