Аннотация
В задачах физики, техники и практических вычислений используются численные и графические методы, ряды. В книге содержатся полезные приемы таких вычислений. В наглядной форме даются основные сведения о комплексном переменном линейных дифференциальных уравнениях, векторах и векторных полях и вариационном исчислении.
Формальные доказательства в большинстве случаев заменены наводящими соображениями; за счет этого достигнуто упрощение и облегчено применение математических понятий. Подробно анализируются некоторые физические задачи, в частности относящиеся к оптике, механике, теории вероятностей.
Рис.—208, табл. 6.
**
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Глава I. Некоторые численные методы 11
§ 1. Численное интегрирование 12
§ 2. Вычисление сумм при помощи интегралов 17
§ 3. Численное решение уравнений 25
Ответы и решения 33
Глава II. Математическая обработка результатов опыта 36
§ 1. Таблицы и разности 36
§ 2. Интегрирование и дифференцирование функций, заданных таблично 41
§ 3. Подбор формул по данным опыта по методу наименьших квадратов 45
§ 4. Графический способ подбора формул 51
Ответы и решения 58
Глава III. Дополнительные сведения об интегралах и рядах 61
§ 1. Несобственные интегралы 61
§ 2. Интегрирование быстроменяющихся функций . 69
§ 3. Формула Стирлинга 77
§ 4. Интегрирование быстроколеблющихся функций 79
§ 5. Числовые ряды 82
§ 6 Интегралы, зависящие от параметра 93
Ответы и решения 97
Глава IV. Функции нескольких переменных 100
§ 1. Частные производные 100
§ 2. Геометрический смысл функции двух переменных 107
§ 3. Неявные функции 108
§ 4. Радиолампа 116
§ 5. Огибающая семейства линий .118
§ 6. Ряд Тейлора и задачи на экстремум 120
§ 7. Кратные интегралы 127
§ 8. Многомерное пространство и число степеней свободы 137
Ответы и решения 141
Глава V. Функции комплексного переменного 144
§ 1. Простейшие свойства комплексных чисел 144
§ 2. Сопряженные комплексные числа 147
§ 3. Возведение в мнимую степень. Формула Эйлера 150
§ 4. Логарифмы и корни .154
§ 5. Описание гармонических колебаний с помощью показательной функции от мнимого аргумента 157
§ 6. Производная функции комплексного переменного 164
§ 7. Гармонические функции 166
§ 8. Интеграл от функции комплексного переменного 168
§ 9. Вычеты 172
Ответы и решения 160
Глава VI. Дельта-функция Дирака 183
§ 1. Дельта-функция Дирака 6 (я) 183
§ 2. Функция Грина 188
§ 3. Функции, связанные с дельта-функцией 193
§ 4. Понятие об интеграле Стилтьеса 198
Ответы и решения 109
Глава VII. Дифференциальные уравнения г201
§ 1. Геометрический смысл дифференциального уравнения первого порядка 201
§ 2. Интегрируемые типы уравнений первого порядка 204
§ 3. Линейные однородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами . 212
§ 4. Простейшее линейное неоднородное уразнение второго порядка 217
§ 5. Линейные неоднородные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 224
§ 6. Устойчивые и неустойчивые решения 230
Ответы и решения 23о
Глава VIII. Дальнейшие сведения о дифференциальных уравнениях 237
§ 1. Особые точки 237
§ 2. Системы дифференциальных уравнений 239
§ 3. Определители и решение линейных систем с постоянными коэффициентами 242
§ 4. Устойчивость по Ляпунову состояния равновесия 247
§ 5. Построение приближенных формул для решения 250
§ 6. Адиабатическое изменение решения 258
§ 7. Численное решение дифференциальных уравнений 261
§ 8. Краевые задачи 269
§ 9. Пограничный слой 275
§ 10. Подобие явлений 276
Ответы и решения 280
Глава IX. Векторы 282
§ 1. Линейные действия над векторами 283
§ 2. Скалярное произведение векторов 287
§ 3, Производная от вектора 289
§ 4. Движение материальной точки 291
§ 5. Понятие о тензорах 295
§ 6. Многомерное векторное пространство 300
Ответы и решения 303
Глава X. Теория поля 306
§ 1. Введение 306
§ 2. Скалярное поле и градиент 307
§ 3. Потенциальная энергия и сила 311
§ 4. Поле скорости и поток 316
§ 5. Электростатическое поле, его потенциал и поток 320
§ 6. Примеры 323
§ 7. Общее векторное поле и его дивергенция 332
§ 8. Дивергенция поля скорости и уравнение неразрывности 336
§ 9. Дивергенция электрического поля и уравнение Пуассона 339
§ 10. Вектор площадки и давление 342
Ответы и решения 346
Глава XI. Векторное произведение и вращение 349
§ 1. Векторное произведение векторов 349
§ 2. Некоторые приложения к механике 353
§ 3. Движение в поле центральных сил 356
§ 4. Вращение твердого тела 863
§ б. Симметрические и антисимметрические тензоры 366
§ 6. Истинные векторы и псевдовекторы . 371
§ 7. Ротор векторного поля 373
§ 8. Оператор Гамильтона «набла» 379
§ 9. Потенциальные поля 382
§ 10. Ротор поля скорости 386
§ 11. Магнитное поле и электрический ток . 388
§ 12. Электромагнитное поле и уравнения Максвелла 392
§ 13. Потенциал в многосвязной области 396
Ответы и решения 398
Глава XII. Вариационное исчисление 402
§ 1. Пример перехода от конечного числа степеней свободы к бесконечному . . 402
§ 2. Функционал 408
§ 3. Необходимое условие экстремума 411
§ 4. Уравнение Эйлера 414
§ 5. Всегда ли существует решение поставленной задачи? 419
§ 6. Варианты основной задачи 423
§ 7. Условный экстремум для конечного числа степеней свободы . . . 425
§ 8. Условный экстремум в вариационном исчислении 428
§ 9. Задачи на экстремум с ограничениями 435
§ 10. Вариационные принципы. Принцип Ферма в оптике 438
§ 11. Принцип наименьшего действия 445
§ 12. Прямые методы 449
Ответы и решения 453
Глава XIII, Теория вероятностей . 459
§ 1. Постановка вопроса 459
§ 2. Умножение вероятностей . 462
§ 3. Анализ результатов многих испытаний 467
§ 4. Энтропия 478
§ 5. Радиоактивный распад. Формула Пуассона 483
§ 6. Другой вывод распределения Пуассона 487
§ 7. Непрерывно распределенные величины 488
§ 8. Случай весьма большого числа испытаний 493
§ 9. Корреляционная зависимость 500
§ 10. О распределении простых чисел 505
Ответы и решения 511
Глава XIV. Преобразование Фурье 516
§ 1. Введение 516
§ 2. Формулы преобразования Фурье . . 520
§ 3. Причинность и дисперсионные соотношения 527
§ 4. Свойства преобразования Фурье 531
§ 5. Преобразование колокола и принцип неопределенности 539
§ 6. Спектральный анализ периодической функции 544
§ 7. Пространство Гильберта , , 548
§ 8. Модуль и фаза спектральной плотности . . 553
Ответы и решения 556
Глава XV. Электронные цифровые вычислительные машины 559
§ 1. Моделирующие вычислительные машины 560
§ 2. Цифровые вычислительные машины 561
§ 3. Запись чисел и команд Ё ЭЦВМ 563
§ 4. Программирование 568
§ 5. Пользуйтесь ЭЦВМ! 574
Ответы и решения 581
Предметный указатель 584
***
ПРЕДИСЛОВИЕ
Эта книга является не систематическим учебником, а скорее, книгой для чтения. На простых примерах, взятых из физики, на различных математических задачах мы старались ввести читателя в круг идей и методов, широко распространенных сейчас в приложениях математики к физике, технике и некоторым другим областям. Некоторые из этих идей и методов (такие, как применение дельта-функции, принципа суперпозиции, получение асимптотических выражений и т. д.) еще недостаточно освещаются в распространенных математических учебниках для нематематиков, так что здесь наша книга может служить дополнением к этим учебникам. Нашей целью было пояснить основные идеи математических методов и общие закономерности рассматриваемых явлений. Напротив, формальные доказательства, рассмотрение исключений и усложняющих факторов по возможности опущены. Взамен этого мы в некоторых местах старались входить более подробно в физическую картину рассматриваемых процессов.
Предполагается, что читатель владеет основами дифференциального и интегрального исчисления для функций одной переменной, включая разложение таких функций в степенные ряды, и может применять эти разделы математики к решению физических задач. Достаточно (но не необходимо!), например, знакомство с книгой Я. Б. Зельдовича «Высшая математика для начинающих и ее приложения к физике», на которую мы будем иногда ссылаться, обозначая ее буквами ВМ (имеется в виду издание 5, «Наука», 1970). Более того, настоящая книга в какой-то степени может рассматриваться как продолжение ВМ. В немногих местах изложение близко книге А. Д. Мышки с а «Лекции по высшей математике», издание 3 («Наука», 1969). Тем не менее настоящая книга является совершенно самостоятельной, поскольку от читателя никаких специальных познаний, помимо только что указанных, не потребуется.
Содержание книги ясно из прилагаемого оглавления. Ее не обязательно читать подряд: читатель может знакомиться с интересующими его разделами независимо от других разделов и только в явно указываемых случаях из этих других разделов потребуется отдельные сведения. Поэтому для удобства в начале отдельных глав и параграфов указываются сведения из предыдущих глав, знакомство с которыми необходимо. Нумерация параграфов и формул производится в каждой главе самостоятельно, а при ссылках в пределах одной главы ее номер не указывается.
Книга может быть полезна студентам — инженерам, физикам и представителям других специальностей (в том числе, заочникам), начиная, примерно, с середины второго семестра 1-го курса в качестве пособия к изучаемому ими курсу математики. Она пригодна и практику, если он захочет подробней ознакомиться с тем или иным разделом математики, который может понадобиться ему в его работе,
Несомненно, что разнородный материал трудно читать активно. Целеустремленная проработка обычно подразумевает читателя, перед которым жизнь поставила в данный момент одну определенную задачу. Такой читатель склонен пропускать все, что не относится к его задаче.
Возникает общий вопрос: целесообразно ли читать подобную книгу «впрок», не будет ли такое чтение поверхностным, не окажутся ли приведенные в ней советы забытыми вскоре после прочтения?
В ответ на это азторы могут высказать два аргумента.
Во-первых, мы везде старались давать не только практические рецепты, но и те глубокие общие идеи, из которых эти рецепты возникают. Такие идеи обогащают интеллект читателя, развивают его научный кругозор, дают возможность по-иному взглянуть на окружающий мир и потому задерживаются гораздо прочнее.
Второй аргумент относится к психологии памяти. Очень часто бывает так, что хотя Вы не можете воспроизвести прочитанное все подряд, в том порядке, в котором материал Вам преподносился, но этот материал не изгладился из памяти! Отдельные его части могут быть воспроизведены Вами при ассоциативном воспоминании, например, когда Вы сталкиваетесь с задачей, требующей того или иного приема. Даже смутное воспоминание о том, где можно найти этот материал, и то часто оказывается полезным*). Говоря грубо, имеются вещи, понятия и связи, которые мы вспоминаем лишь тогда, когда это нам очень нужно. Вспомните, что сказал по аналогичному поводу монах Варлаам: «Я давно не читывал и худо разбираю, а тут уж разберу, как дело до петли доходит».
Итак, читайте нашу книгу и изучайте ее. Но даже если нет возможности изучать ее глубоко, читайте, как детектив, и, может быть, она поможет Вам найти решение трудных задач.
Пусть судьба хранит Вас от петли, но не от трудностей.
Только решая трудные задачи, человек полностью раскрывает свой талант, свои возможности, только в трудных задачах он дает максимальную отдачу.
Мы будем благодарны читателям за любые замечания по содержанию и изложению материала книги. Несомненно, что на отдельных местах книги сказались различные навыки ее авторов, один из которых является физиком, а другой — математиком. Порой мы упорно тянули в разные стороны. Теперь сюда приложит свои усилия еще и читатель, так что все эти усилия будут складываться*). Подобный случай был разобран еще в известной басне Крылова, однако мы надеемся, что у нас результаты будут не столь плачевны.
Авторы выражают свою признательность К. А. Семендяеву, который прочитал рукопись книги и сделал ряд ценных замечаний.
По истечении четырех лет оказалось необходимым новое, третье издание книги. Этот факт авторы рассматривают как одобрение основного замысла — вооружить читателя практически полезными методами и сведениями, предельно упрощая и облегчая формальные определения и доказательства.
Вместе с тем, новое издание налагает и новую ответственность. Поэтому книга была подвергнута тщательному пересмотру (в котором большое участие принял редактор А. А. Овчинников) и добавлены важные разделы.
В третьем издании значительно переработаны §§ IX. 1, IX.2, расширены §§ Х.9, XIV.4, XIV.7, добавлены §§ III.4, VIII.10, XI.3, XI.5, XIV.8 и небольшая гл. XV. При этом были учтены замечания А. Н. Тихонова, которому авторы выражают свою признательность.
Наиболее существенным добавлением является глава XV, посвященная электронным цифровым машинам. В ней изложены принципы действия машин и программирования наиболее простых задач. Эта глава не должна заменять специальные учебники для программистов, однако она позволяет понять некоторые общие принципы и специфику численных расчетов.
В третьей главе подробнее рассмотрено интегрирование быстро-колеблющихся функций. В главе VIII добавлен параграф о подобии явлений, в котором с физической и математической сторон рассматриваются теория размерности, понятие подобия и автомодельности.
В главах IX и XI более подробно и четко даны определения вектора и тензора, связь этих понятий с линейными преобразованиями. Подробно рассмотрены симметрические и антисимметрические тензоры; в частности, описано введение псевдовектора, эквивалентного антисимметричному тензору в трехмерном пространстве. Добавлены физические задачи о движении точки в поле центральных сил и о вращении твердого тела. Эти задачи были и остаются классическими примерами приложения теории обыкновенных дифференциальных уравнений к физике,
В связи с теорией спектрального разложения рассмотрен вопрос о фазе Фурье-компонент; потеря информации при переходах к спектральной плотности стала привычной, полезно напомнить о том, что, кроме квадрата модуля, колебания характеризуются также фазой.
В целом мы надеемся, что добавления, не меняя общей устремленности и доступности изложения, делают книгу более физической и несколько более современной.
Мы отдаем себе отчет в том, что название книги не вполне отражает ее содержание; может быть, ее следовало бы назвать как-то иначе. Однако для того, чтобы было ясно, что эта книга является новым изданием предыдущей, основа которой осталась прежней, мы были вынуждены название сохранить.
В заключение добавим, что в настоящее время авторы заканчивают работу над книгой «Среда из невзаимодействующих частиц», которая непосредственно примыкает к настоящей книге и составляет первую часть курса математической физики.
