Книга написана на основе курса лекций и семинаров по теории представлений, которые автор вел в Московском университете.
В первой части собраны необходимые сведения из разных областей математики, существенно используемые в теории представлений и не входящие в обязательные программы младших курсов университетов. Во второй части излагаются основные методы и результаты теории представлений. Особое внимание уделяется предложенному автором методу орбит в теории унитарных представлений групп Ли. В третьей части разобраны примеры, иллюстрирующие применения общих методов и теорем в конкретных ситуациях.
Книга рассчитана на студентов, аспирантов и научных работников в области математики и физики, интересующихся не только практическими применениями теории представлений, но и самой теорией.
Книга содержит библ. 135 назв.
**
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Часть первая. ВСПОМОГАТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ 7
§ 1. Множества, категории, топология 7
1.1. Множества (7). 1.2. Категории и функторы (9). 1.3. Элементы топологии (13).
§ 2. Группы и однородные пространства 19
2.1. Группы преобразований и абстрактные группы (19). 2.2. Однородные пространства (23). 2.3. Основные типы групп (24). 2.4. Расширения групп (26). 2.5. Когомологии групп (29). 2.6. Топологические группы и однородные пространства (31).
§ 3. Кольца и модули 33
3.1. Кольца (33). 3.2. Тела (36). 3.3. Модули над кольцами (37). 3.4. Линейные пространства (40). 3.5. Алгебры (42).
§ 4. Элементы функционального анализа 45
4.1. Линейные топологические пространства (45). 4.2. Банаховы алгебры (54). 4.3. С*-алгебры (59). 4.4. Коммутативные операторные алгебры (62). 4.5. Непрерывные суммы гильбертовых пространств и алгебры Неймана (68).
§ 5. Анализ на многообразиях . 74
5.1. Многообразия (74). 5.2. Векторные поля (81). 5.3. Дифференциальные формы (87). 5.4. Расслоения (90).
§ 6. Группы Ли и алгебры Ли ... 97
6.1. Группы Ли (97). 6.2. Алгебры Ли (99). 6.3. Связь между группами Ли и алгебрами Ли (109). 6.4. Экспоненциальное отображение (116).
Часть вторая. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ И МЕТОДЫ ТЕОРИИ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ 121
§ 7. Представления групп 121
7.1. Линейные представления (121). 7.2. Представления топологических групп в линейных топологических пространствах (124). 7.3. Унитарные представления (126).
§ 8. Разложение представлений 129
8.1. Разложение конечных представлений (129). 8.2. Неприводимые представления (132). 8.3. Вполне приводимые представления (135). 8.4. Разложение унитарных представлений (139).
§ 9. Инвариантное интегрирование 144
9.1. Усреднения и инвариантные меры (144). 9.2. Применения к компактным группам (149), 9.3, Применения к некомпактным группам (154),
§ 10. Групповые алгебры 155
10.1. Групповое кольцо конечной группы (155). 10.2. Групповые алгебры топологических групп (158). 10.3. Применение групповых С*-алгебр (162). 10.4. Групповые алгебры групп Ли (165). 10.5. Представления групп Ли и их групповых алгебр (170).
§ 11. Характеры 174
11.1. Характеры конечномерных представлений (174). 11.2. Характеры бесконечномерных представлений (179). 11.3. Инфинитезимальные характеры (181).
§ 12. Преобразование Фурье и двойственность 185
12.1. Коммутативные группы (185). 12.2. Компактные группы (193). 12.3. Кольцевые группы и двойственность для конечных групп (197). 12.4. Другие результаты (200).
§ 13. Индуцированные представления 202
13.1. Индуцированные представления конечных групп (202). 13.2. Унитарные индуцированные представления локально-компактных групп (208), 13.3. Представления расширений групп (216). 13.4. Индуцированные представления групп Ли и их обобщения (220). 13.5. Сплетающие операторы и двойственность (226). 13.6. Характеры индуцированных представлений (231).
§ 14. Проективные представления 238
14.1. Проективные группы и проективные представления (238). 14.2. Теория Шура (243). 14.3. Проективные представления групп Ли (245).
§ 15. Метод орбит 248
15.1. Коприсоединенное представление группы Ли (249). 15.2. Однородные симплектические многообразия (254). 15.3. Конструкция неприводимого унитарного представления по орбите (258). 15.4. Метод орбит и квантование гамильтоновых механических систем (265). 15.5. Функториальные свойства соответствия между орбитами и представлениями (273). 15.6. Универсальная формула для характров и меры Планшереля (276). 15.7. Инфинитезимальные характеры и орбиты (281).
Часть третья. НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕРЫ 284
§ 16. Конечные группы 284
16.1. Гармонический анализ на трехмерном кубе (284). 16.2. Представления симметрической группы (287). 16.3. Представления группы 51, (2, Р ч) (290). 16.4. Векторные поля на сферах (294).
§ 17. Компактные группы » 296
17.1. Гармонический анализ на сфере (296). 17.2. Представления классических компактных групп Ли (300). 17.3. Спинорные представления ортогональной группы >302).
§ 18. Группы Ли и алгебры Ли 304
18.1. Представления простой трехмерной алгебры Ли (304). 18.2. Алгебра Вейля и разложение тензорных произведений (307). 18.3. Структура обертывающей алгебры V (д) для 8 = з1 (2, С) (309). 18.4. Спинорные представления симплекти ческой группы (313). 18.5. Представления треугольных матричных групп (315).
§ 19. Примеры диких групп Ли 318
Краткий исторический очерк и литературные указания 323
Цитированная литература 323
Алфавитный указатель терминов 333
