Анотация

Книгата представлява увод в основните понятия и методи на функционалния анализ с подчертан уклон към приложенията му. Както е известно, днес функционалният анализ играе основна роля в редица теоретични и приложни клонове на математиката, включително и на съвременната изчислителна математика. За читател, който се интересува от функционалния анализ като работен инструмент в своята работа, книгата е особено увлекателна с това, че е твърде достъпна и за четенето й не се изискват предварителни обширни познания от теорията на множествата и топологията. В нея са включени най-основните въпроси на функционалния анализ, подкрепени с много примери, но без излишно многословие.
Книгата ще бъде полезна за всички, които използуват математическите методи в своята работа — математици, изчислители, физици, инженери, изследователи и студенти от висшите, учебни заведения.

*

Съдържание

Предговор към второто издание 6

Увод. Обобщение на основните понятия на анализа, геометрията и алгебрата

Глава I. Метрични пространства 13
§ 1. Функционална зависимост. Пространство. Подреденост 13
§ 2. Метрични пространства 16
§ 3. Примери на метрични пространства 20
§ 4. Пълни пространства. Пълнота на някои конкретни пространства. . 30
§ 5. Попълване на метрични пространства 33
§ 6. Теореми за пълни пространства 4о
§ 7. Принцип на свиващите изображения 43
§ 8. Сепарабелни пространства 53

Глава II. Линейни нормирани пространства 57
§ 1. Линейни пространства 57
§ 2. Линейни нормирани пространства 68
§ 3. Линейни топологични пространства 77
§ 4. Абстрактно хилбертово пространство 82
$ 5. Обобщени производни и пространства на С. Л. Соболев 95

Глава III. Линейни оператори 123
§ 1. Линейни оператори 123
§ 2. Линейни оператори в линейни нормирани пространства 133
§ 3. Линейни функционали 144
§ 4. Пространство на линейните ограничени оператори 147
§ 5. Обратни оператори 154
§ 6. Банахово пространство с база 165

Глава IV. Линейни функционали 174
§ 1. Теорема на Банах-Хан и нейни следствия 175
§ 2. Общ вид на линейните функционали в някои функционални пространства 182
§ 3. Спрегнати пространства и спретнати оператори 200
§ 4. Слаба сходимост на редици от функционали и елементи 216

Глава V. Компактни множества в метрични и нормирани пространства
§ 1. Дефиниции. Общи теореми 226
§ 2. Критерий за компактност на множество в някои функционални пространства 239
§ 3. Универсалност на пространството С[0,1] 259

Глава VI. Напълно непрекъснати оператори 264
§ 1. Напълно непрекъснати оператори 265-
§ 2. Линейни операторни уравнения с напълно непрекъснати оператори. . 271
§ 3. Принцип на Шаудер и негови приложения
§ 4. Пълна непрекъснатост па влагащия оператор на С. Л. Соболев. . . 299

Глава VII. Елементи на спектралната теория на самоспрегнатите оператори в хилбертово пространство 309
§ 1. Самоспрегнати оператори 300
§ 2. Унитарни оператори. Проекционни оператори 314
§ 3. Положителни оператори. Квадратен корен от положителен оператор. . 321
§ 4. Спектър па самоспрегнат оператор 325
§ 5. Спектрално разлагане на самоспрегнат оператор 337
§ 6. Неограничени линейни оператори. Основни понятия и дефиниции. . 353
§ 7. Самоспрегнати оператори и теория на разширенията на симетрични оператори 363
§ 8. Спектрално разлагане на неограничен самоспрегнат оператор. Функции от самоспрегнат оператор 373
§ 9. Примери за неограничени оператори 394

Глава VIII. Някои въпроси на диференциалното и интегралното смятане в нормирани пространства 411
§ 1. Диференциране и интегриране на абстрактни функции на числен аргумент 411
§ 2. Диференчни схеми и теорема на Лакс 429
§ 3. Диференциал на абстрактна функция 440
§ 4. Теорема за обратния оператор. Метод на Нютон 448
§ 5. Хомогенни форми и полиноми 456
§ 6. Диференциали и производни от по-висок ред 463
§ 7. Диференциране на функции на две променливи 472
§ 8. Теорема за неявните функции 474
§ 9. Приложения на теоремата за неявните функции 480
§ 10. Тангенциални многообразия 487
§ 11. Задачи за екстремум 496

Допълнения
I. Класовете Lp, р>1 501
II. Средна непрекъснатост на функциите от класа LP(G) 508
III. Теорема на Бол—Брауер. 510
IV. Две дефиниции на n-та производна на функция на реална променлива

Предметен указател 522
Указател на означенията. 530