Фундаментални учебни дисциплини - учебник за дистанционно обучение

Николай Божинов  (автор)

Мека корица, голям формат  |  303 стр.  |  431 гр.

(неизползвана книга в отлично състояние)

*

СЪДЪРЖАНИЕ


ПРЕДГОВОР 7


Глава 1. ЕЛЕМЕНТИ ОТ ТЕОРИЯ НА МНОЖЕСТВАТА 9

1.1. Множества и операции с множествата 9
1.2. Понятието функция в теорията на множествата 15
1.3. Функции на една реална променлива 21
1. Четни и нечетни функции 21
2. Периодични функции 22
3. Ограничени функции 22
4. Монотонни функции 22
5. Основни елементарни функции 23


Глава 2. АНАЛИТИЧНА ГЕОМЕТРИЯ 30

2.1. Координатни системи 30
1. Координатни системи върху права 31
2. Координатни системи в равнината 33
3. Координатни системи в тримерното пространство 36
4. Аналитично представяне на операциите с векторите 40

2.2. Аналитично представяне на кривите в равнината 42
1. Представяне на кривите в равнината чрез уравнения с две неизвестни 42
2. Общо уравнение на права в равнината 44
3. Криви от втора степен 49

2.3. Представяне на повърхнини и криви в пространството 54
1. Представяне на повърхнините в пространството чрез уравнения 54
2. Общо уравнение на равнина 56
3. Параметрично представяне на кривите в пространството 57
4. Параметрично и канонично уравнение на права в пространството 58


Глава 3. ЛИНЕЙНА АЛГЕБРА 61

3.1. Системи линейни уравнения. Метод на Гаус 61
1. Основни определения 61
2. Метод на Гаус 63

3.2. Детерминанти 74
1. Детерминанти от втори ред 74
2. Детерминанти от трети ред 75
3. Детерминанти от та-ти ред 78
4. Основни свойства на детерминантите 81

3.3. Матрична алгебра 86
1. Матрици. Видове матрици 86
2. Действия с матрици 88
3. Обратна матрица 93
4. Метод на Гаус-Жордан за намиране на обратна матрица 93
5. Матрични уравнения 95
6. Метод на Гаус-Жордан за решаване на матрични уравнения 96


Глава 4. ДИФЕРЕНЦИАЛНО СМЯТАНЕ 100

4.1. Безкрайни числови редици 100
1. Основни определения — 100
2. Граница на безкрайна числова редица 101
3. Аритметични действия със сходящите редици 102
4. Граничен преход в неравенства 103
5. Монотонни редици 104
6. Неперовото число е. Естествени логаритми 105
7. Подредици 106
8. Редици, клонящи към безкрайност 106

4.2. Граница на функция 109
1. Отворени и затворени множества 109
2. Граница на функция • 111
3. Лява и дясна граница 113
4. Граница на функция, когато аргументът клони към безкрайност 115
5. Безкрайни граници 116
6. Правила за търсене на граници. Неопределени форми 116
7. Някои основни граници 119

4.3. Непрекъснати функции 122
1. Непрекъснатост в точка 122
2. Непрекъснатост на елементарните функции 124
3. Глобални свойства на непрекъснатите функции 126

4.4. Производна. Техника на диференцирането 129
1. Производна на функция в точка 129
2. Геометрично тълкуване на понятието производна. Диференциал 130
3. Правила за диференциране 133
4. Производни на основните елементарни функции 134
5. Производни и диференциали от по-висок ред 136

4.5. Основни теореми на диференциалното смятане 139
1. Локални екстремуми. Необходими условия за съществуване 139
2. Теореми на Рол и Лагранж 141
3. Правило на Лопитал 142

4.6. Изследване на поведението на функциите 144
1. Изследване на монотонността на функциите 144
2. Локални екстремуми. Достатъчни условия за съществуване 146
3. Изпъкнали и вдлъбнати функции. Инфлексия 147
4. Асимптоти 150
5. Общо изследване на функции на една реална променлива 153
6. Екстремални задачи за функции на една реална променлива 157


Глава 5. ИНТЕГРАЛНО СМЯТАНЕ 162

5.1. Неопределен интеграл 162
1. Понятие за неопределен интеграл 162
2. Основни свойства на неопределените интеграли 165
3. Таблица на основните неопределени интеграли 166
4. Метод на непосредственото интегриране 167
5. Интегриране чрез внасяне под знака на диференциала 168
6. Интегриране по части 170
7. Смяна на променливата при неопределените интеграли 173

5.2. Определен интеграл 177
1. Интуитивен подход към понятието определен интеграл 178
2. Пресмятане на определените интеграли 184
3. Интегриране по части и смяна на променливата 187

5.3. Приложения на определения интеграл 191
1. Лица на равнинни фигури 191
2. Пресмятане на обеми 193
3. Дължина на крива линия 195
4. Лице на ротационна повърхнина 197

5.4. Несобствени интеграли 199
1. Несобствени интеграли с безкрайни интеграционни граници 199
2. Несобствени интеграли от неограничени функции 203
3. Принцип за сравняване на несобствените интеграли 205

5.5. Безкрайни редове 207
1. Основни определения 207
2. Свойства на безкрайните редове 207
3. Абсолютна и условна сходимост 209
4. Степенни редове 212
5. Развития на основните елементарни функции в степенен ред 213


Глава 6. ДИФЕРЕНЦИАЛНО СМЯТАНЕ НА ФУНКЦИИ НА ПОВЕЧЕ ПРОМЕНЛИВИ 215

6.1. Пространството К:tm: 215
1. Пространството К:tm:. Линейни и метрични свойства 216
2. Понятие за метрично пространство 217
3. Сходимост в пространството К" 218
4. Отворени, затворени и компактни множества в К" 220

6.2. Граница и непрекъснатост на функция на повече променливи 223
1. Функции на повече реални променливи 223
2. Граница на функция на повече променливи 224
3. Непрекъснатост на функция на повече променливи: 227
4. Глобални свойства на непрекъснатите функции на повече променливи 227

6.3. Частни производни 229
1. Частни производни на функция на повече променливи 229
2. Тотален диференциал 232
3. Диференциране на съставни функции 234

6.4. Екстремални задачи 237
1. Локални екстремуми на функции на повече променливи 237
2. Условни екстремуми. Множители на Лагранж 242
3. Екстремални задачи за функции на повече променливи 249
4. Основна задача на математическото оптимиране 251
5. Обща задача на линейното оптимиране 252


Глава 7. ЕЛЕМЕНТИ ОТ ТЕОРИЯ НА ВЕРОЯТНОСТИТЕ 255

7.1. Комбинаторика 255
1. Съединения без повторение 256
2. Съединения с повторение 259

7.2. Случайни събития. Действия със събития 262
1. Понятието случаен опит. Случайни събития 262
2. Операции и релации между случайни събития 264

7.3. Вероятност на случайните събития 267
1. Понятието вероятност 267
2. Класическо определение на понятието вероятност 269
3. Условна вероятност. Теорема за умножение на вероятности 270
4. Независими случайни събития 271
5. Теорема за пълната вероятност. Формула на Бейс 273
6. Статистическо определение на понятието вероятност 275
7. Геометрична вероятност 277
8. Аксиоматичен подход към теорията на вероятностите 277
9. Многократни опити. Схема на Бернули 278

7.4. Случайни величини 283
1. Понятието случайна величина 283
2. Закон за разпределение на една случайна величина 283
3. Дискретни случайни величини 284
4. Непрекъснати случайни величини 286
5. Основни характеристики на случайните величини 287
6. Някои дискретни разпределения и техните числови характеристики 291
7. Някои непрекъснати разпределения и техните числови характеристики 295
8. Неравенство на Чебишов. Гранични теореми 300

**

ПРЕДГОВОР

Учебникът е предназначен за студентите от дистанционна форма на обучение по програмите за магистърска степен в УНСС. Целта му е бъдещите магистри да получат определени знания в областта на висшата математика, които впоследст­вие се използват в редица други учебни дисциплини. Една от целите на учебника е да ориентира обучаващите се и в някои дялове на висшата математика, които се използват в съвременната икономика. По този начин те биха получили дос­татъчна подготовка, за да могат да следят по-голямата част от икономическата литература, в която се използват методите на съвременната математика.

Учебникът съдържа седем глави, в които последователно са изложени идеите на основните дялове на висшата математика. При дистанционното обучение сту­дентите първоначално работят самостоятелнно с учебника и впоследствие имат непосредствен контакт със съответния преподавател. Поради това в него е наб-легнато на идеите във висшата математика и на връзките между нейните части. Това е и причината да пропуснем доказателствата на твърденията, тъй като на­шият опит показва, че те са основното препятствие при самостоятелното запозна­ване на обучаващите се с този материал. В замяна на това се акцентира основно върху връзките между отделните твърдения и понятия, като те са илюстрира­ни с подходящи примери и задачи за самоподготовка. Към всяка глава е дадена и подходяща литература, чрез която обучаващите се биха могли да разширят и задълбочат познанията си по изложения материал.

Авторът на учебника е професор към катедра „Математика" при Университета за национално и световно сторанство - София. Преподава дисциплината Матема­тика пред студенти от бакалавърска и магистърска степен от редовно, задочно и дистанционно обучение.

Авторът изказва благодарност на рецензентите - доц. д-р Веселка Павлова и доц. д-р Красимира Проданова, за ползотворните бележки и препоръки, допри­несли за подобряване на материала.

София, 2006 г.                                                                                  ОТ АВТОРА