ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловия 10
Введение 11
ГЛАВА I
КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Комплексные числа и действия над ними 15
1. Понятие комплексного числа (15). —2. Сложение и умножение комплексных чисел (15). —3. Вычитание и деление комплексных чисел (17).
§ 2. Геометрическое изображение комплексных чисел. Теоремы о модуле и аргументе 18
1. Геометрическое изображение комплексных чисел (18). —2. Геометрическое истолкование сложения и вычитания комплексных чисел (19). —3. Понятие о модуле и аргументе (19). —4. Теоремы о модуле и аргументе (20). — 5. Геометрическое изображение числа — (22). —6. Геометрическое построение произведения и частного комплексных чисел (23).
§ 3. Пределы 24
1. Основной принцип теории пределов (24). —2. Понятие предельной точки (25). —3. Ограниченные и неограниченные последовательности комплексных чисел (26). —4. Теорема Больцано—Вейер-штрасса (26). —5. Понятие сходящейся последовательности комплексных чисел (27).—6. Основные теоремы теории пределов (28). — 7. Критерий Коши (28).
§ 4. Числовая сфера. Бесконечно удаленная точка 30
1. Изображение комплексных чисел на сфере. Бесконечно удаленная точка (30). —2. Формулы стереографической проекции (31). — 3. Основное свойство стереографической проекции (32). —4. Сохранение углов (33).
§ 5. Ряды 34
1. Понятие сходящегося и расходящегося ряда (34). —2. Необходимый признак сходимости ряда (35). — 3. Понятие абсолютно сходящегося ряда (35). —4. Сложение и вычитание рядов (37). — 5. Теорема о двойных рядах (37). —6. Перестановка членов ряда (40). —7. Умножение рядов (40).
Упражнения к гл. I 42
ГЛАВА II
КОМПЛЕКСНОЕ ПЕРЕМЕННОЕ И ФУНКЦИИ КОМПЛЕКСНОГО ПЕРЕМЕННОГО
§ 1. Функции комплексного переменного 44
1. Понятие функции комплексного переменного (44). —2. Понятие области. Линия Жордана (45). —3. Непрерывность функции комплексного переменного (48). —4. Теорема о равномерной непрерывности. Лемма Гейне —Бореля (51).
§ 2. Ряды функций 53
1. Понятие равномерно сходящегося ряда (53). 2. Теорема о непрерывности суммы ряда (55). —3. Признак равномерно сходящегося ряда (56).
§ 3. Степенные ряды 57
1. Понятие области сходимости степенного ряда (57). —2. Первая теорема Абеля (57). —3. Круг сходимости (58). —4. Понятие наибольшего предела (60). —5. Определение радиуса сходимости (62). — 6. Равномерная сходимость степенного ряда (65). —7. Вторая теорема Абеля (66).
§ 4. Дифференцирование функций комплексного переменного. Элементарные функции . . . 69
1. Понятие производной (69). 2. Понятие функции, аналитической в области (69). —3. Понятие дифференциала (71). —4. Условия Коши—Римана (72). —5. Сопряженные гармонические функции (75). — 6. Дифференцирование степенных рядов (76). —7. Показательная функция. Функции тригонометрические и гиперболические (77). — 8. Однолистные функции. Обратные функции (82). — 9. Радикал, логарифм и арксинус (83). 10. Ветви многозначных функций. Понятие о точках разветвления (85). —11. Понятие о римановой поверхности (91).
§ 5. Конформное отображение 96
1. Геометрический смысл аргумента производной (96). —2. Геометрический смысл модуля производной (98). — 3. Конформное отображение (99). —4. Конформное отображение И рода (99). — 5. Геометрический смысл дифференциала (102). —6. Главная часть отображения и>=/(г) (102).
Упражнения к гл. II 104
ГЛАВА III
ЛИНЕЙНЫЕ И ДРУГИЕ ПРОСТЕЙШИЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ
§ 1. Линейная функция 107
1. Целая линейная функция (107). —2. Функция № = —- (109). — 3. Общая линейная функция (ПО). —4. Круговое свойство линейной функции (111). —5. Параметры и инвариант линейного преобразования (111).—6. Отображение верхней полуплоскости на самое себя (114). —7. Инвариантность пары взаимно симметричных точек при линейном преобразовании (115).—8. Отображение круга на верхнюю полуплоскость (116) — 9. Отображение круга самого в себя (117). —10. Представление линейного преобразования посредст-вом симметричных отображений (117). — 11. .Различные типы линейных преобразований (119). —12. Природа двойных точек (123). — 13. Геометрическая интерпретация эллиптического преобразования (124).—14. Характер преобразования круга самого в себя (124).
§ 2. Линейные преобразования и геометрия Лобачевского 126
1. Евклидово изображение геометрии Лобачевского в круге (126). — 2. Вычисление неевклидова расстояния двух точек с данными аффиксами (127). —3. Неевклидова окружность (128). —4. Неевклидова длина кривой (129). —5. Неевклидова площадь (129). — 6. Горициклы (129). —7. Гиперциклы (130). —8. Евклидово изображение геометрии Лобачевского на полуплоскости (131). —9. Неевклидова длина окружности (132). — 10. Угол параллелизма в геометрии Лобачевского (133). —11. Неевклидовы площади круга и треугольника (134).
§ 3. Некоторые элементарные функции и отображения, даваемые ими. 135
1. Степенная функция и радикал (135). —2. Показательная и логарифмическая функции (139).
Упражнения к гл. III 141
ГЛАВА IV
ТЕОРЕМА КОШИ. ИНТЕГРАЛ КОШИ
§ 1. Интегралы по комплексному переменному 143
1. Понятие интеграла по комплексному переменному (143). — 2. Основные свойства интеграла по комплексному переменному (145). — 3. Интегрирование равномерно сходящегося ряда (147). —4. Теорема Коши (148).
§ 2. Теорема Коши 149
1. Основная лемма (149). —2. Приведение доказательства теоремы Коши к простейшему случаю (152). —3. Доказательство теоремы Коши (153). —4. Понятие неопределенного интеграла в комплексной области (155). —5. Распространение теоремы Коши на случай сложных контуров (158). —6. Логарифмическая функция (160). — 7. Лемма (163). —8. Обобщение теоремы Коши (165).
§ 3. Интеграл Коши 166
1. Формула Коши (166). —2. Распространение формулы Коши на случай сложных контуров (168). —3. Интеграл типа Коши (169). — 4. Существование производных всех порядков для функции, аналитической в области (172). —5. Теорема Морера (173). —6. Различные точки зрения в построении теории аналитических функций (174). —7. О предельных значениях интеграла типа Коши (175). — 8. О предельных значениях интеграла типа Коши в случае, когда граничная функция удовлетворяет условию Гельдера — Липшица (180). —9. Интеграл Пуассона (186).
Упражнения к гл. IV . 189
ГЛАВА V
РЯДЫ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ, РАЗЛОЖЕНИЕ АНАЛИТИЧЕСКОЙ ФУНКЦИИ В СТЕПЕННОЙ РЯД
§ 1. Равномерно сходящиеся ряды аналитических функций 191
I. Первая теорема Вейерштрасса (191).
§ 2. Ряд Тейлора 196
1. Приложение теоремы Вейерштрасса к степенным рядам (196). — 2. Разложение аналитической функции в степенной ряд (197). — 3. Понятие голоморфной функции и его эквивалентность с понятием аналитической функции (200). — 4. Свойство единственности аналитических функций (201). —5. Принцип .максимального модуля (204). — 6. Нули аналитической функции (207). — 7. Порядок нуля (208). — 8. Неравенства Коши для коэффициентов степенного ряда (208). — 9. Теорема Лиувилля (209). — 10. Вторая теорема Вейерштрасса (209).
Упражнения к гл. V 210
ГЛАВА VI
ИЗОЛИРОВАННЫЕ ОСОБЫЕ ТОЧКИ ОДНОЗНАЧНОЙ ФУНКЦИИ
§ 1. Ряд Лорана 212
1. Разложение аналитической функции в ряд Лорана (212). — 2. Правильная и главная части ряда Лорана (214). —3. Единственность разложения Лорана (215).
§ 2. Классификация особых точек однозначной функции 216
1. Три типа изолированных особых точек (216). —2. Устранимая особая точка (216). —3. Полюс (217). —4. Связь между нулем и полюсом (218). —5. Существенно особая точка (219). —6. Поведение функции в окрестности изолированной особой точки (221).
§ 3. Поведение аналитической функции в бесконечности 222
1. Окрестность бесконечно удаленной точки (222). —2. Разложение Лорана в окрестности бесконечно удаленной точки (223). — 3. Поведение функции в окрестности бесконечно удаленной точки (224).— 4. Условия обращения интеграла типа Коши в интеграл Коши (224).
§ 4. Простейшие классы аналитических функций 225
1. Целые функции (225). —2. Мероморфные функции (226). — 3. Разложение рациональной функции на простейшие дроби (228). — 4. Основная теорема алгебры (228).
§ 5. Приложения к гидродинамике 228
1. Невихревой и свободный от источников поток жидкости (228) — 2. Характеристическая функция потока (230). —3. Обтекание круглого цилиндра потоком без циркуляции (231). —4. Чисто циркулярный поток (233). —5. Общий случай (234).
Упражнения к гл. VI 235
ГЛАВА VII
ТЕОРИЯ ВЫЧЕТОВ
§ 1. Общая теория вычетов 238
1. Вычет функции относительно изолированной особой точки (238).— 2. Основная теорема о вычетах (239). —3. Вычисление вычета функции относительно полюса (240). — 4. Вычет функции относительно бесконечно удаленной точки (241). —5. Вычисление инте- грала ^-у(к)Щаг (243).
§ 2. Приложения теории вычетов 245
1. Основная теорема алгебры (245). —2. Теорема Руше (246). — 3. Приложения теории вычетов к вычислению определенных интегралов (248). —4. Разложение с1<? г на простейшие дроби (253).
Упражнения к гл. VII 256
ГЛАВА VIII
ТЕОРЕМА ПИКАРА
§ 1. Предложение Блоха 258
1. Теорема об обращении голоморфной функции (258). —2. Доказательство предложения Блоха (259).
§ 2. Теорема' Ландау 261
1. Доказательство теоремы Ландау (261). —2. Малая теорема Пи-кара (262).
§ 3. Неравенство Шоттки 263
1. Вывод неравенства Шоттки (263). —2. Обобщенное неравенство Шоттки (265).
§ 4. Общая теорема Пикара 266
Упражнения к гл. VIII. 267
ГЛАВА IX
БЕСКОНЕЧНЫЕ ПРОИЗВЕДЕНИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ ИХ К АНАЛИТИЧЕСКИМ ФУНКЦИЯМ
§ 1. Бесконечные произведения 268
1. Сходящиеся и расходящиеся бесконечные произведения (268). — 2. Основной критерий сходимости бесконечного произведения (270). —3. Изображение голоморфной функции в виде бесконечного произведения (273).
§ 2. Приложения бесконечных произведений к теории целых функций. 275
1. Формула Вейерштрасса (275). —2. Изображение целой функции в виде бесконечного произведения (278). —3. Изображение меро-морфной функции в виде отношения двух целых функций (280). -г-4. Задача Миттаг-Леффлера (280).
§ 3. Обобщение теоремы единственности аналитических функций .... 281
1. Возможные обобщения теоремы единственности аналитических функций (281). 2. Формула Якоби и Иенсена (282). —3. Доказательство теоремы единственности (284). — 4. Невозможность дальнейшего обобщения теоремы единственности для ограниченных функций (286).
Упражнения к гл. IX 287
ГЛАВА X
АНАЛИТИЧЕСКОЕ ПРОДОЛЖЕНИЕ
§ 1. Принцип аналитического продолжения 289
1. Понятие аналитического продолжения (289). —2. Понятие полной аналитической функции в смысле Вейерштрасса (290). —3. Распространение функции действительного переменного на комплексную область по принципу аналитического продолжения (294).
§ 2. Примеры 295
1. Примеры однозначных функций (295). —2. Примеры многозначных функций (295).
Упражнения к гл. X 297
ГЛАВА XI
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Общие свойства эллиптических функций , 298
1. Определение эллиптической функции (299). —2. Параллелограммы периодов (300). —3. Основные теоремы (301). —4. Эллиптические функции второго порядка (306).
§ 2. Функции Вейерштрасса 308
1. Лемма (309). —2. Функции а, С и §> (309).
§ 3. Простейшие аналитические представления произвольной эллиптической функции 316
1. Представление эллиптической функции в виде суммы простейших элементов (316). — 2. Представление эллиптической функции в виде отношения произведений элементарных множителей (318).
§ 4. Функции <зк 319
§ 5. Эллиптические функции Якоби 322
§ 6. Функции тэта 324
1. Разложение целой периодической функции (324). —2. Функция 6 (325). —3. Функции 6А (328). —4. Свойства функций тэта (331).
§ 7. Представление эллиптических функций Якоби посредством функций тэта 335
§ 8. Формулы сложения для эллиптических функций Якоби 337
Упражнения к гл. XI 339
ГЛАВА XII
ОБЩИЕ ПРИНЦИПЫ ТЕОРИИ КОНФОРМНОГО ОТОБРАЖЕНИЯ
§ 1. Условия, определяющие конформное отображение 341
1. Отображение единичного круга самого на себя (341). —2. Условия, определяющие единственность конформного отображения (343).
§ 2. Основные принципы теории конформного отображения 344
1. Принцип сохранения области (344). —2. Принцип взаимно однозначного соответствия (349). — 3. Принцип симметрии Римана— Шварца (350). —4. Обобщение принципа симметрии (355). —5. Принцип Шварца аналитического продолжения (356). —6. Принцип симметрии для гармонической функции (357). — 7. Приложение принципа симметрии (360).
§ 3. Общие преобразования единичного круга во внутреннюю область 360
1. Аналитическое выражение голоморфной функции, преобразующей круг | г | < 1 во внутреннюю область (360). —2. Лемма Шварца (363). — 3. Приложение леммы Шварца к оценке производной функции, удовлетворяющей условиям леммы (366). — 4. Общая форма леммы Шварца (367). 5. Существование двойной точки преобразования (368).
§ 4. Единственность аналитических функций 370
1. Однозначное определение аналитической функции по ее граничным значениям (370). —2. Обобщение теоремы единственности (371).
§ 5. Конформные отображения на верхнюю полуплоскость областей, ограниченных линиями второго порядка . . . 372
1. Равносторонняя гипербола (372). —2. Парабола (373). —3. Гипербола и эллипс (377). —4. Отображение внутренности эллипса на полуплоскость (382).
§ 6. Конформное отображение односвязных областей 384
1. Упрощение постановки теоремы Римана (385). — 2. Вспомогательная функция и ее основные свойства (386). — 3. Основная лемма (387). —4. Доказательство предложения Римана (388).
§ 7. Соответствие границ при комформном отображении 390
1. Постановка задачи (392). —2. Доказательство предложения о соответствии границ (393).
§ 8. Отображение прямоугольника и произвольного многоугольника на верхнюю полуплоскость 397
1. Прямоугольник (397). —2. Эллиптическая функция Якоби (401).— 3. Многоугольник (403). — 4. Треугольник (408). — 5. Отображение внешней области многоугольника на верхнюю полуплоскость (412).
Упражнения к гл. XII 413
ГЛАВА XIII
ОБЩИЕ СВОЙСТВА ОДНОЛИСТНЫХ ФУНКЦИЙ
§ 1. Проблема коэффициентов 415
1. Внутренняя теорема площадей (416). — 2. Внешняя теорема площадей (418). —3. Верхняя граница для модуля коэффициента при г2 в разложении однолистной функции (419). — 4. Константа Кебе (420). —5. Теорема искажения (420). —6. Границы для модуля однолистной функции (422). — 7. Теорема вращения (423). — 8. Общая граница для модулей коэффициентов в разложении однолистной функции (424). — 9. Общая граница для модулей действи-» тельных коэффициентов в разложении однолистной функции (426).
§ 2. Границы выпуклости и звездообразности 427
1. Граница выпуклости (427). —2. Граница звездообразности (428).
§ 3. Свойства функций, дающих однолистные конформные отображения единичного круга на области специального вида 429
1. Звездообразные и выпуклые функции (429). —2. Верхние границы ,модулей коэффициентов в разложениях выпуклой и звездообразной функций (430).
§ 4. Экстремальные свойства функции, отображающей область на круг 432
1. Лемма (432). —2. Первая экстремальная проблема (433). — 3. Вторая экстремальная проблема (435).
Алфавитный указатель 438
