ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Введение 11
1. Комплексные числа 11
2. Простейшие операции 13
3. Умножение и деление 18
4. Возвышение в степень и извлечение корня 21
Упражнения 23
Глава I. Основные понятия комплексного анализа .... 25
5. Сфера комплексных чисел 25
6. Области и их границы 27
7. Предел последовательности 23
8. Комплексные функции действительного аргумента ... 31
9. Комплексная форма записи колебаний 34
10. Функции комплексного переменного 37
11. Примеры 38
12. Предел функции 42
13. Непрерывность 44
14. Условия Коши-Римана 46
Упражнения 50
Глава II. Конформные отображения 53
15. Конформные отображения 53
16. Конформные отображения областей 58
17. Дифференциал и его геометрический смысл 60
18. Дробно-линейные отображения 62
19. Круговое свойство 66
20. Инвариантность сопряжённых точек 67
21. Условия, определяющие дробно-линейное отображение . 71
22. Частные случаи 73
23. Общие принципы теории конформных отображений . . 76
Упражнения 80
Глава III. Элементарные функции 82
24. Функции т — гп и их римановы поверхности 82
25. Понятие о регулярной ветви. Функции 10 = у г ... 87
26. Функция ^ = "^^ + "~^ и её риманова поверхность . 92
27. Примеры 95
28. Профили Жуковского 99
29. Показательная функция и её риманова поверхность . . 101
30. Логарифмическая функция 105
31. Тригонометрические и гиперболические функции. . . . 107
32. Общая степенная функция Ш
33.Примеры
Упражнения 118
Глава IV. Приложения к теории плоского поля 121
34. Плоские векторные поля 121
35. Примеры плоских полей 123
33. Свойства плоских векторных полей 126
37. Силовая и потенциальная функции 131
38. Комплексный потенциал в электростатике 138
39. Комплексный потенциал в гидромеханике и теплотехнике 145
40. Метод конформных отображений 149
41. Поле в полосе 150
42. Поле в кольце 153
43. Задача обтекания бесконечной кривой 157
44. Задача полного обтекания 100
45. Другие методы Ю5
Упражнения 170
Глава. V. Интегральное представление регулярных функций. Гармонические функции 172
46. Интеграл от функции комплексного переменного .... 172
47. Интегральная теорема Коши 174
48. Теорема Коши о вычетах. Формула Чаплыгина .... 178
49. Неопределённый интеграл 182
50. Интегрирование степеней (г — а) 185
51. Интегральная формула Коши .* 189
52. Существование высших производных 191
53. Свойства регулярных функций ЮЗ
54. Гармонические функции 197
55. Задача Дирихле 200
56. Интегралы Пуассона и Шварца 205
57. Приложения к теории поля 208
Упражнения 213
Глава VI. Представление регулярных функций рядами.. . 215
58. Ряды в комплексной области 215
59. Теорема Вейерштрасса 218
60. Степенные ряды 220
61. Представление регулярных функций рядами Тейлора. . 224
62. Нули регулярной функции. Теорема единственности . . 227
63. Аналитическое продолжение. Понятие аналитической функции 230
64. Ряды Лорана 233
65. Изолированные особые точки 244
66. Устранимые особые точки 245
67. Полюсы 246
68. Существенно особые точки 252
69. Поведение функции в бесконечности 255
70. Теорема Жуковского о подъёмной силе 259
71. Простейшие классы аналитических функций 265
Упражнения 267
Глава VII. Приложения теории вычетов 270
72. Вычисление интегралов вида ^7? (зш х, соз лг) йх 270
73. Интегралы вида ^ /? (х) | ^ | ах йх 27
74. Другие интегралы 280
75. Интегралы от многозначных функций 287
76. Представление функций интегралами 295
77. Логарифмический вычет. Принцип аргумента 300
78. Разложение котангенса на простейшие дроби. Теорема Миттаг-Леффлера 305
79. Разложение синуса в бесконечное произведение. Теорема Вейерштрасса 309
80. Функция Эйлера Г 314
81. Интегральные представления Г-функции. . . 319
Упражнения 323
Глава VIII. Отображения многоугольных областей 325
82. Принцип симметрии 325
83. Примеры 329
84. Интеграл Кристоффеля-Шварца 337
85. Случаи вырождения 344
86. Примеры 346
87. Расчёт поля у краёв конденсатора. Конденсатор Роговского 353
88. Поле электродов в форме углов 357
89. Отображение прямоугольников. Понятие об эллиптических интегралах 360
90. Понятие об эллиптических функциях Якоби 365
Упражнения 368
Ответы и указания но решению задач 372
