М. Ш. БИРМАН, Н. Я. ВИЛЕНКИН, Е. А. ГОРИН, П. П. ЗАБРЕИКО, И. С. ИОХВИДОВ, М. И. КАДЕЦ, А. Г. КОСТЮЧЕНКО, М. А. КРАСНОСЕЛЬСКИЙ, С. Г. КРЕИН, Б. С. МИТЯГИН, Ю. И. ПЕТУНИИ, Я. Б. РУТИЦКИИ, Е. М. СЕМЕНОВ, В. И. СОБОЛЕВ, В. Я. СТЕЦЕНКО, Л. Д. ФАДДЕЕВ, Э. С. ЦИТЛАНАДЗЕ
Настоящее издание характеризуется расширением объема материала и его большей специализацией. Добавлены новые главы по теории функциональных пространств, по теории линейных операторов в банаховом пространстве. Заново написаны главы, относящиеся к теории коммутативных банаховых алгебр и к теории операторов квантовой механики. Значительно пополнены главы, посвященные операторам в гильбертовом пространстве, в пространствах с конусом и др. В ряде мест изложение доведено до уровня современных исследований.
Книга предназначена для математиков, механиков и физиков. В ней найдут много полезного для себя студенты и аспиранты соответствующих специальностей.
***
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора ко второму изданию 10
Глава I. Основные понятия функционального анализа 13
§ 1. Линейные системы . 13
1. Понятие линейной системы (13). 2. Линейная зависимость и независимость (14). 3. Линейные многообразия и фактор системы (15). 4. Произведения линейных систем (16). 5. Выпуклые множества (18).
§ 2. Линейные топологические, метрические, нормированные и банаховы пространства 19
1. Линейное топологическое пространство (19). 2. Локально выпуклое пространство (21). 3. Линейное метрическое пространство (22). 4. Линейное нормированное пространство (24). 5. Примеры линейных нормированных пространств (26). 6. Полнота метрических пространств, банахово пространство (30). 7. Компактные множества (31). 8. Сепарабельные пространства (34). 9. Изометрия, изоморфизм, гомеоморфизм (34).
§ 3. Линейные функционалы 36
1. Понятие линейного функционала. Гиперплоскость (36). 2. Непрерывные линейные функционалы (36). 3. Продолжение линейных непрерывных функционалов (37). 4. Примеры линейных функционалов (38).
§ 4. Сопряженные пространства 39
1. Двойственность линейных систем (39). 2. Сопряженное пространство к линейному нормированному пространству (40). 3. Слабая сходимость, слабые топологии (43). 4. Выпуклые множества, крайние точки (46). 5. Фактор-пространство и ортогональные дополнения '(47). 6. Произведения нормированных пространств (47). 7. Рефлексивные банаховы пространства (49). 8. Геометрия сферы банахова пространства (51). 9. Универсальные пространства (52). 10. Вложения пространств (52). 11. Нормированные пространства, связанные с локально выпуклым пространством. Ядерное пространство (53).
§ 5. Линейные операторы 55
1. Линейные ограниченные операторы (55). 2. Примеры линейных ограниченных операторов (57). 3. Сходимость последовательностей операторов (58). 4. Обратный оператор (59). 5. Пространство операторов. Алгебра операторов (60). 6. Сопряженный оператор (61). 7. Вполне непрерывные операторы (61). 8. Операторы в произведении пространств (63). 9. Замечание о комплексных пространствах (65).
§ 6. Пространства с базисом 65
1. Полнота и минимальность системы элементов (65). 2. Понятие базиса (66). 3. Признаки базисов (68). 4. Безусловные базисы (69). 5. Устойчивость базиса (70). 6. Базисы суммирования (71).
Глава II. Функциональные пространства 72
§ 1. Пространства дифференцируемых функций 72
1. Обозначения (72). 2. Пространства бесконечно дифференцируемых функций (72). 3. Обобщенные функции (74). 4. Преобразование Фурье (76). 5. Банаховы пространства обобщенных дифференцируемых функций. Теоремы вложения (79).
§ 2. Пространства аналитических функций 83
1. Пространства функций, аналитических в области (83). 2. Пространства локально аналитических функций (84). 3. Пространства НР (85).
§ 3. Банаховы пространства измеримых функций 88
1. Пространство измеримых функций (88). 2. Примеры банаховых пространств измеримых функций (89). 3. Идеальные пространства (91). 4. Двойственные пространства (93). 5. Симметричные и однородные пространства (94). ,
§ 4. Векторнозначные функции 96
1. Непрерывность, дифференцируемость (96). 2. Интеграл Ри-мана (97). 3. Аналитические функции (98). 4. Интеграл Бохнера. Суммируемые функции (99).
Глава III. Линейные операторы в банаховом пространстве 103
§ 1. Теория линейных уравнений 103
1. Уравнения в конечномерных пространствах (103). 2. Основные понятия (104). 3. Уравнение с замкнутым оператором (105). 4. Сопряженное уравнение (106). 5. «-нормальные и й-нормальные уравнения (107). 6. Априорные оценки (1С8). 7. Нетеровы уравнения (109). 8. Фредгольмовы уравнения (ПО). 9. Линейные преобразования уравнений (111). 10. Линейная замена переменного (112). 11. Устойчивость свойств уравнения (113).
§ 2. Линейные уравнения с параметром, спектральная теория 114
1. Спектр и резольвента оператора (114). 2. Спектральное разложение замкнутого оператора (118). 3. Классификация точек спектра (120). 4. Вполне непрерывные операторы (122).
§ 3. Функции от операторов, операторное исчисление 123
1. Функции от ограниченного оператора (123). 2. Функции от неограниченного оператора (125). 3. Дробные степени операторов (127). 4. Экспоненциальная функция, группы операторов (131). 5. Экспоненциальная функция, полугруппы операторов (133). 6. Эргодическая теория (137).
§ 4. Интерполяция линейных операторов 141
1. Интерполяционные пространства (141). 2. Вещественные методы конструирования интерполяционных пространств (142). 3. Комплексные методы (145). 4. Интерполяционные семейства и шкалы пространств (147). 5. Интерполяция в пространствах суммируемых функций (149). 6. Интерполяция в пространствах дифференцируемых функций (153).
§ 5. Линейные интегральные операторы 154
1. Общие свойства линейных интегральных операторов (154). 2. Линейные [/-ограниченные и [/-коограниченные операторы (156). 3. Резольвента (Фредгольма) линейного интегрального оператора (158). 4. Интегральные операторы с симметричным ядром (160). 5. Интегральные операторы в пространстве непрерывных функций (161). 6. Важные примеры линейных интегральных операторов (162). 7. Сингулярный интегральный оператор (164).
§ 6. Операторы, порожденные краевыми задачами 165
1. Эллиптическое дифференциальное выражение (165). 2. Граничные дифференциальные выражения. Регулярная эллиптическая краевая задача (166). 3. Формула Грина и формально сопряженная задача (167). 4. Неравенства коэрцитивное™. Нетеровость эллиптических задач (169). 5. Полный набор гомеоморфизмов, осуществляемых эллиптическим оператором (170). 6. Спектр и резольвента эллиптического оператора (172). 7. Эллиптические системы (175). 8. Индекс эллиптического оператора (176).
Глава IV. Линейные операторы в гильбертовом пространстве .... 179
§ 1. Абстрактное гильбертово пространство 179
1. Понятие гильбертова пространства (179). 2. Примеры гильбертовых пространств (180). 3. Ортогональность. Проекция на подпространство (181). 4. Линейные функционалы (182). 5. Слабая сходимость (182). 6. Ортонормальные системы и базисы. Размерность гильбертова пространства (183).
§ 2. Линейные ограниченные операторы в гильбертовом пространстве . . 185
1. Линейный ограниченный оператор. Сопряженный оператор. Полу-торалинейная форма (185). 2. Унитарные операторы (188). 3. Самосопряженные операторы (190). 4. Представления операторов через самосопряженные (190). 5. Самосопряженные вполне непрерывные операторы (191). 6. Вполне непрерывные операторы (193). 7. Ядерные операторы и операторы Гильберта — Шмидта (198). 8. Проек-ционные операторы (201). 9. Алгебры операторов (203). 10. Операторы во внешнем произведении гильбертовых пространств (203).
§ 3. Спектральное разложение самосопряженных операторов 204
1. Операции над самосопряженными операторами (204). 2. Разложение единицы, спектральная функция (206). 3. Функция от самосопряженного оператора (208). 4. Неограниченные самосопряженные операторы (208). 5. Спектр самосопряженного оператора (210). 6. Кратность спектра самосопряженного оператора (212). 7. Абсолютно непрерывная и сингулярная части оператора (214). 8. Обобщенные собственные элементы (215).
§ 4. Симметрические операторы 217
1. Понятие симметрического оператора, индексы дефекта (217). 2. Самосопряженные расширения симметрических операторов (218). 3. Самосопряженные расширения полуограниченных операторов (219). 4. Обобщенные расширения и спектральные функции симметрических операторов. Обобщенные резольвенты (222).
§ 5. Теория возмущений 224
1. Общие свойства (224). 2. Конечномерные, вполне непрерывные и ограниченные возмущения (226). 3. Возмущения полуограниченных операторов (228). 4. Абсолютно непрерывный спектр. Волновые операторы (229). 5. Абсолютно непрерывный спектр. Гладкие возмущения (230).
§ 6. Диссипативные операторы 232
1. Максимальный диссипативный оператор (232). 2. Полуторалинейные формы и неограниченные операторы (233). 3. Диссипативные расширения консервативных операторов (234).
§ 7. Обыкновенные дифференциальные операторы 235
1. Самосопряженные дифференциальные выражения (235). 2. Регулярный случай (236). 3. Сингулярный случай (237). 4. Критерии самосопряженности оператора Аа на (— со, оо) (239). 5. Характер спектра самосопряженных расширений (240). 6. Разложение по собственным функциям (241). 7. Примеры (243). 8. Обратная задача Штурма — Лиувилля (245).
§ 8. Эллиптический дифференциальный оператор второго порядка .... 246 1. Самосопряженное эллиптическое дифференциальное выражение (246). 2. Минимальный и максимальный операторы. Хармонические функции (247). 3. Самосопряженные расширения, отвечающие основным краевым задачам (248).
§ 9. Гильбертова шкала пространств 250
I. Гильбертова шкала и ее свойства (250). 2. Пример гильбертовой шкалы. Пространства (252). 3. Операторы в гильбертовой шкале (253). 4. Теоремы о следах (254).
§ 10. Линейные операторы в пространствах с индефинитной метрикой . . 255
1. /-пространства (255). 2. Линейные операторы в /-пространствах (257). 3. Примеры (262).
Глава V. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве 265
§ 1. Линейные уравнения с ограниченным оператором 265
1. Линейные уравнения 1-го порядка. Задача Коши (265). 2. Однородное уравнение с постоянным оператором (265). 3. Случай гильбертова пространства (267). 4. Уравнение второго порядка (267). 5. Однородное уравнение с переменным оператором (268). 6. Уравнение с периодическим оператором (271). 7. Неоднородное уравнение (272).
§ 2. Уравнения с постоянным неограниченным оператором 273
1. Задача Коши (273). 2. Равномерно корректная задача Коши (276). 3. Ослабленная задача Коши (278). 4. Абстрактное параболическое уравнение (280). 5. Обратная задача Коши (281). 6. Уравнения в гильбертовом пространстве (282). 7. Неоднородное уравнение с постоянным оператором (284). 8. Возмущенное уравнение (286).
§ 3. Корректные задачи для дифференциальных уравнений 286
1. Задача Коши для уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами (286). 2. Краевые задачи для параболических систем (289). 3. Симметрические гиперболические системы (290). 4. Уравнение Шредингера (291). 5. Уравнение с запаздывающим аргументом (291).
§ 4. Уравнение с переменным оператором 292
1. Равномерно корректная задача Коши. Эволюционный оператор (292). 2. Устойчивая аппроксимация эволюционного оператора (293). 3. Ослабленная задача Коши, корректная на й (А) (294). 4. Абстрактное параболическое уравнение с оператором, имеющим переменную область определения (296). 5. Неоднородное уравнение с переменным оператором (298). 6. Абстрактное параболическое уравнение в семействе подпространств (298).
§ 5. Уравнения второго порядка 300
1. Уравнение гиперболического типа (300). 2. Уравнение эллиптического типа (301). 3. Полное уравнение второго порядка, параболический случай (304).
Глава VI. Нелинейные операторные уравнения 306
§ 1. Нелинейные операторы и функционалы 307
1. Непрерывность и ограниченность оператора (307). 2. Дифферен-цируемость нелинейного оператора (308). 3. Оператор Урысона в пространствах С и Ьр (310). 4. Оператор / (312). 5. Оператор Гаммерштейна (313). 6. Производные высших порядков (313). 7. Потенциальные операторы (315).
§ 2. Существование решений 317
1. Метод последовательных приближений (317). 2. Принцип сжатых отображений (318). 3. Единственность решения (319). 4. Уравнения с вполне непрерывными операторами. Принцип Шаудера (320). 5. Использование теории вполне непрерывных векторных полей (322). 6. Уравнения с монотонными операторами (326). 7. Вариационный метод (328). 8. Преобразование уравнений (328). 9. Примеры (329).
§ 3. Качественные методы в теории ветвления решений 332
1. Продолжение решений, теорема о неявной функции (332). 2. Точки ветвления (333). 3. Точки бифуркации, принцип линеаризации (334). 4. Примеры из механики (338). 5. Уравнения с потенциальными операторами (341). 6. Рождение больших решений (341). 7. Уравнение разветвления (342). 8. Построение решений в виде рядов (343).
Глава VII. Коммутатизные банаховы алгебры 346
§ 1. Основные понятия 346
1. Определения и примеры (346). 2. Группа обратимых элементов, теорема о непустоте спектра (349). 3. Максимальные идеалы и мультипликативные функционалы (350). 4. Пространство максимальных идеалов, гельфандов гомоморфизм (352).
§ 2. Общие свойства 353
1. Аналитические операции над элементами алгебры (353). 2. Алгебраическая интерпретация некоторых топологических характеристик цространства максимальных идеалов (354). 3. Граница Шилова пространства максимальных идеалов (355). 4. Алгебры с инволюцией (357). 5. Регулярные алгебры (359).
§ 3. Алгебры с равномерной сходимостью 331
1. Симметрия, антисимметрия и близкие свойства (362). 2. Некоторые характеристические свойства алгебры С (X) (364). 3. Эквивалентность Глисона (365). 4. Компактные расширения (337). 5. Алгебраические уравнения в С (X) (368).
§ 4. Максимальные подалгебры 370
1. Постановка задачи, примеры (370). 2. Максимальные подалгебры алгебры С (X) (371). 3. Максимальные подалгебры в алгебрах с инволюцией (372).
§ 5. Групповые алгебры. Гармонический анализ 374
1. Групповая алгебра (374). 2. Характеры дискретной группы и максимальные идеалы групповой алгебры (376). 3. Компактные группы. Принцип двойственности (378). 4. Локально компактные группы (378). 5. Преобразование Фурье (379). 6. Спектральный синтез. Эндоморфизмы групповых алгебр (380). 7. Гиперкомплексные системы (381).
§ 6. Несколько замечаний о неполупростых алгебрах 382
1. Идеалы в алгебрах степенных рядов (382). 2. Структурные теоремы (383).
Глава VIII. Операторы в пространствах с конусом 385
§ 1. Конусы в линейных пространствах 385
1. Конус в линейной системе (385). 2. Полуупорядоченные пространства (386). 3. К-линеалы, миниэдральные конусы (387). 4. К-пространства (387). 5. Конусы в банаховом пространстве (389). 6. Правильные конусы (391). 7. Теоремы о реализации полуупорядоченных пространств (392).
§ 2. Линейные положительные функционалы 393
1. Положительные функционалы (393). 2. Продолжение линейных положительных функционалов (394). 3. Равномерно положительные функционалы (395). 4. Ограниченные функционалы на конусе (395). 5. Сходимость последовательности положительных функционалов (396).
§ 3. Линейные положительные операторы 397
1. Понятие положительного оператора (397). 2. Неразложимые операторы (399). 3. Спектральные свойства положительных операторов (400). 4. Позитивные собственные числа (401). 5. Положительные операторы на миниэдральном конусе (403). 6. Оценка спектрального радиуса линейного положительного оператора (405). 7. Существование вторых положительных собственных значений (409). 8. Сравнение спектральных радиусов и собственных значений положительных операторов (410). 9. Неоднородное линейное уравнение (411). 10. Существование положительного обратного оператора (413). 11. Инвариантные функционалы и собственные векторы сопряженных операторов (414). 12. Сходимость последовательности положительных операторов (415).
§ 4. Нелинейные операторы 418
1. Основные понятия (418). 2. Существование положительных решений (418). 3. Существование ненулевого положительного решения (419). 4. Непрерывная ветвь положительных "собственных векторов (420). 5. Вогнутые операторы (421). 6. Сходимость последовательных приближений (422).
Глава IX. Операторы квантовой механики 423
§ 1. Общие положения квантовой механики 423
1. Состояния и наблюдаемые величины (423). 2. Совместно наблюдаемые величины (424). 3. Примеры пространств состояний (425). 4. Развитие системы со временем (427). 5. Квантование классической механики (428). 6. Основные задачи квантовой механики (429).
§ 2. Конкретные квантовомеханические системы 430
1. Оператор Шредингера модельных задач (430). 2. Простейшие свойства спектра оператора Шредингера (431). 3. Многоэлектронный атом (433).
§ 3. Спектр оператора Шредингера и некоторых родственных дифференциальных операторов 435
1. Условия дискретности спектра (436). 2. Предельный спектр (437). 3. Отрицательный дискретный спектр (438). 4. Абсолютно непрерывный спектр (439). 5. Самосопряженность оператора Шредин-гера (440). 6. Спектр оператора Шредингера с убывающим потенциалом (441). 7. Оператор Шредингера с периодическим потенциалом (442).
§ 4. Непрерывный спектр оператора энергии и задача рассеяния .... 443 1. Частица во внешнем поле (443). 2. Система нескольких частиц (444). 3. Волновые операторы (446). 4. Стационарная постановка (447). 5. Интегральное уравнение теории рассеяния (449). 6. Случай сферической симметрии (450). 7. Общий случай (452). 8. Обратная задача теории рассеяния (452).
Глава X. Обобщенные функции 455
§ 1. Обобщенные функции и действия над ними 455
1. Вводные замечания (455). 2. Обобщенные функции (456). 3. Другие теории обобщенных функций (458). 4. Действия над обобщенными функциями (458). 5. Дифференцирование и интегрирование обобщенных функций (459). 6. Предел последовательности обобщенных функций (461). 7. Локальные свойства обобщенных функций (463). 8. Прямое произведение обобщенных функций (464). 9. Свертка обобщенных функций (465). 10. Общий вид обобщенных функций (466). 11. Теорема о ядре (467). 12. Аналитические представления обобщенных функций одного переменного (467). 13. Обобщенные функции как граничные значения голоморфных функций (468).
§ 2. Обобщенные функции и расходящиеся интегралы 470
1. Регуляризация расходящихся интегралов (470). 2. Регуляризация функций х^_, х\, х~п .и их линейных комбинаций (472). 3. Регуляризация функций со степенными особенностями (475). 4. Регуляризация в конечном промежутке (477). 5. Регуляризация на бесконечности (478). 6. Неканонические регуляризации (480). 7. Обобщенные функции х\, х\ и им аналогичные как функции от параметра Я (482). 8. Однородные обобщенные функции (485). 9. Таблица производных некоторых обобщенных функций (486). 10. Дифференцирование и интегрирование произвольного порядка (486). 11. Выражение некоторых специальных функций в виде производных дробного порядка (488).
§ 3. Некоторые обобщенные функции нескольких переменных 489
1. Обобщенная функция гЛ (489). 2. Обобщенные функции, связанные с квадратичными формами (491). 3. Обобщенные функции (Р + Ю)1 и (Р — Ю)к (493). 4. Обобщенные функции вида (3, Я) (494). 5. Обобщенные функции на гладких поверхностях (496).
§ 4. Преобразование Фурье обобщенных функций 499
1. Мультипликаторы и свертыватели (499). 2. Пространств типов 5 и Ж (500). 3. Предельные случаи пространств типа $ и I (503). 4. Таблица преобразований Фурье обобщенных функций одного пе-ременного (505). 5. Положительно определенные обобщенные функции (509). 6. Условно положительно определенные функции (510). 7. Теорема Пэли — Винера — Шварца (511). 8. Спектральные функции для голоморфных функций (511). 9. Теорема об острие клина (512). 10. Преобразование Радона основных функций и его свойства (515). - 11. Преобразование Радона обобщенных функций (514).
§ 5. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения 515
1. Фундаментальные решения (515). 2. Фундаментальные решения для некоторых дифференциальных уравнений (518). 3. Построение фундаментальных решений для эллиптических уравнений (519). 4. Фундаментальные решения однородных регулярных уравнений (522). 5. Фундаментальное решение задачи Коши (523).
§ 6. Обобщенные функции в комплексном пространстве » . . 525
1. Обобщенные функции одного комплексного переменного (525). 2. Обобщенные функции т комплексных переменных (528).
Библиография 532
