Настоящая книга представляет собой существенным образом переработанное переиздание книги «Функциональный анализ в нормированных пространствах», вышедшей в 1959 г. В переработанной редакции изложение базируется на общих функциональных пространствах (в связи с чем изменено название). Отражено дальнейшее развитие ряда вопросов, происшедшее за эти годы. В настоящем издании в еще большей мере получили отражение применения функционального анализа. Помимо применений в вычислительной математике и математической физике, рассмотрены некоторые применения в проблемах математической экономики.
Книга рассчитана на научных работников в области математики и ее приложений, а также студентов и аспирантов.
*
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 7
Из предисловия к первому изданию 10
ЧАСТЬ I
ЛИНЕЙНЫЕ ОПЕРАТОРЫ И ФУНКЦИОНАЛЫ
Глава I. Топологические и метрические пространства 13
§ 1. Общие сведения о множествах. Упорядоченные множества ... 13
§ 2. Топологические пространства 17
§ 3. Метрические пространства 30
§ 4. Полнота и сепарабельность. Множества первой и второй категории 34
§ 5. Компактность в метрических пространствах 43
§ 6. Пространства с мерой 50
Глава II. Векторные пространства 71
§ 1. Основные определения 71
§ 2. Линейные операторы и функционалы 76
§ 3. Выпуклые множества и полунормы 80
§ 4. Теорема Хана — Банаха 83
Глава III. Топологические векторные пространства 89
§ 1. Общие определения 89
§ 2. Локально выпуклые пространства 101
§ 3. Двойственность , 110
Глава IV. Нормированные пространства 121
§ 1. Основные определения и простейшие свойства нормированных пространств 121
§ 2. Вспомогательные неравенства 132
§ 3. Нормированные пространства измеримых функций и последовательностей 137
§ 4. Другие нормированные пространства функций 155
§ 5. Гильбертово пространство 160
Глава V Линейные операторы и функционалы 178
§ 1. Пространство операторов и сопряженное пространство 178
§ 2. Некоторые функционалы и операторы в конкретных пространствах 182
§ 3. Линейные функционалы и операторы в гильбертовом пространстве 195
§ 4. Кольцо операторов 204
§ 5. Метод последовательных приближений 213
§ 6. Кольцо операторов в гильбертовом пространстве 224
§ 7. Слабая топология и рефлексивные пространства 236
§ 8. Распространение линейных операторов 243
Глава VI. Аналитическое представление функционалов 250
§ 1. Интегральное представление функционалов на пространствах измеримых функций 250
§ 2. Пространства ЬР (Г, 2, р) 257
§ 3. Общая форма линейного функционала в пространстве С (К) 262
Глава VII. Последовательности линейных операторов 269
§ 1. Основные теоремы 269
§ 2. Некоторые приложения к теории функций 273
Глава VIII. Слабая топология в банаховом пространстве 286
§ 1. Слабо ограниченные множества 286
§ 2. Теория Эберлейна —Шмульяна 288
§ 3. Слабая сходимость в конкретных пространствах 292
§ 4. Задача перемещения массы и порождаемое ею нормированное пространство 299
Глава IX. Компактные и сопряженные операторы 316
§ 1. Компактные множества в нормированных пространствах .... 316
§ 2. Компактные операторы 324
§ 3. Сопряженные операторы 326
§ 4. Компактные самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве 333
§ 5. Интегральное представление самосопряженного оператора. . . . 341
Глава X. Упорядоченные нормированные пространства 362
§ 1. Векторные решетки 363
§ 2. Линейные операторы и функционалы 368
§ 3. Нормированные решетки 376
§ 4. КВ-пространства 380
§ 5 Выпуклые и-шожества, замкнутые относительно сходимости по мере 388
Глава XI. Интегральные операторы 392
§ 1. Интегральное представление операторов 392
§ 2. Операторы в пространствах последовательностей 409
§ 3. Интегральные операторы в пространствах функций 416
§ 4 Теоремы вложения Соболева 428
ЧАСТЬ II
ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Глава XII. Сопряженное уравнение 449
§ 1. Теоремы об обратном операторе 449
§ 2. Связь между данным и сопряженным уравнением 456
Глава XIII Функциональные уравнения второго рода 466
§ 1. Уравнения с компактным ядром 466
§ 2. О комплексных нормированных пространствах 475
§ 3. Спектр 480
§ 4. Резольвента 485
§ 5 Альтернатива Фредгольма 499
§ 6. Применение к интегральным уравнениям 503
§ 7. Инвариантные подпространства компактного оператора. Проблема аппроксимации 511
Глава XIV. Общая теория приближенных методов 515
§ 1. Общая теория для уравнений второго рода 516
§ 2. Уравнения, приводящиеся к уравнениям второго рода 530
§ 3. Применение к бесконечным системам уравнений 534
§ 4. Применение к интегральным уравнениям 537
§ 5. Применение к обыкновенным дифференциальным уравнениям . 548
§ 6. Применение к граничны?! задачам для уравнений эллиптического типа . 561
Глава XV Метод наискорейшего спуска 567
§ 1. Решение линейных уравнений 567
§ 2. Нахождение собственных значений компактных операторов . , . 576
§ 3. Применение к эллиптическим дифференциальным уравнениям . 581
§ 4. Минимизация дифференцируемых выпуклых функционалов . . . 589
§ 5. Минимизация выпуклых функционалов в конечномерных пространствах 599
Глава XVI. Принцип неподвижной точки 605
§ 1. Принцип Каччопполи —Банаха 605
§ 2. Вспомогательные предложения 608
§ 3. Принцип Шаудерл 616
§ 4. Применения принципа неподвижной точки 620
§ 5. Теорема Какутани 629
Глава XVII. Дифференцирование нелинейных операторов 636
§ 1. Первая производная 636
§ 2. Вторая производная и билинейные операторы 645
§ 3. Примеры 653
§ 4. Теорема о неявной функции 660
Глава XVIII. Метод Ньютона 669
§ 1. Уравнения вида Р (х) = 0 669
§ 2. Следствия из теоремы о сходимости метода Ньютона 683
§ 3. Применение метода Ньютона к конкретным фукциональным уравнениям 692
§ 4. Метод Ньютона в решеточно-нормированных пространствах . . 714
Монографии по функциональному анализу и смежным вопросам .... 719
Используемая литература 723
Предметный указатель 731
Указатель обозначений 737
Указатель сокращений 742
*
ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Со времени выхода в свет первого издания настоящей книги под названием «Функциональный анализ в нормированных пространствах» прошло двадцать лет. За это время произошли коренные изменения как в положении математики в системе современных научных представлений, так и внутри самой математики. Прежде всего эти перемены коснулись места функционального анализа среди математических дисциплин. Если при выходе в свет первого издания книги функциональный анализ воспринимался как сравнительно новая и перспективная часть анализа, то в настоящее время термины «функциональный анализ» и «математический анализ» стали практически равнообъемными. Более того, сейчас функциональный анализ является единым языком всей непрерывной математики. Ни одно серьезное исследование по теории функций, по дифференциальным уравнениям и математической физике, по численным методам, по математической экономике и теории управления и в других областях не обходится и не может обойтись без широкого использования языка и результатов функционального анализа. Именно этим объясняются, с одной стороны, бурное развитие функционального анализа как математической науки и, с другой стороны, та все возрастающая роль, которую функционально-аналитические методы играют в приложениях.
Авторы с гордостью и беспокойством осознают произошедшие перемены. Гордость — это естественное проявление чувства сопричастности важным историческим событиям. Беспокойство же вызывает судьба представляемой читателю книги — ведь сейчас уже невозможен универсальный (пусть даже вводный) учебник функционального анализа. Поэтому при подготовке настоящего издания, хотя оно и подверглось значительной переработке, мы сочли целесообразным сохранить общий замысел и, в основном, отбор и расположение материала, принятые в первом издании. Однако в ряде вопросов, в частности в теории топологических векторных пространств и в теории интегральных операторов изложение существенным образом изменено. Если прежде основное изложение опиралось на теорию нормированных пространств, а топологические векторные пространства излагались, хотя и довольно развернуто, но как факультативный материал, то в настоящее время, в соответствии с логикой развития функционального анализа, топологические векторные пространства были взяты за основу изложения, с чем связано и изменение названия книги. Добавлена глава, посвященная основам теории полуупорядоченных пространств. Построение теории интегральных операторов и их представлений проводится на базе идеальных пространств измеримых функций.
По-прежнему наибольшее место уделено применениям функционального анализа в прикладном анализе, что составляло характерную особенность и первого издания данной книги. Наличие этих разделов в данной книге стимулировало разработку соответствующих вопросов у нас и за рубежом. Изложение их в настоящем издании в некоторой мере дополнено и модернизировано. Существенной особенностью данного издания является то, что в книгу включены также некоторые вопросы функционального анализа, связанные с его приложениями в математической экономике и теории управления, хотя это и не удалось сделать достаточно полно. Часть менее актуального материала исключена. Существенно изменена библиография.
Глава I носит вводный характер. В ней излагаются основы теории топологических и метрических пространств и абстрактных пространств с мерой. При этом многие результаты приводятся без доказательства. Предполагается, что читатель знаком с элементами теории функций вещественной переменной и топологии п мерного евклидова пространства примерно в объеме общего университетского курса математического анализа. Более специальные и тонкие вопросы теории и применений выделены мелким шрифтом и могут быть опущены при первом чтении. Читатель, специально интересующийся применениями функционального анализа, может также опустить ряд других более абстрактных разделов, относящихся к топологическим и топологическим векторным пространствам, либо, если он уже знаком с основами теории нормированных пространств, непосредственно обратиться к чтению соответствующих прикладных глав.
В работе по подготовке данного издания большую помощь авторам оказал ряд лиц. Прежде всего следует назвать А. В. Бух-валова, которому помимо редактирования всего текста книги, принадлежит написанная им заново глава X об упорядоченных нормированных пространствах и примыкающие к ней § 3 главы IV, § 1 главы VI, § 1 главы XI и некоторые другие параграфы. Им существенно переработано также изложение в главах I—IV; таким образом, в части книги он выступает фактически в роли соавтора.
В. Ф. Демьяновым и А. М. Рубиновым внесены некоторые коррективы в изложение главы XV о методе наискорейшего спуска и добавлены новые §§ 4 и 5. И. К. Даугаветом сделаны существенные дополнения и коррективы в главы XIV, XV и XVIII. Значительные улучшения в изложении §§ 3 и 4 главы XI внесены В. П. Ильиным, в частности, в доказательство леммы 2 и теоремы 1 § 3 главы XI. Вновь написан Г Ш. Рубинштейном § 8 главы IX на основании работ Л. В. Канторовича и Г. Ш. Рубинштейна; некоторые дополнения к нему сделаны В. Л. Левиным. Ценные замечания были сделаны рецензентом книги проф. Б. 3 Вулихом, а также Ю. А. Абрамовичем, А. М Вершиком, С. В. Кисляковым, С. С. Кутателадзе, Г. Я- Лозановским , А. А. Меклером, Б. Т. Поляком и В. П. Хавиным.
Авторы выражают свою искреннюю благодарность всем вышеназванным лицам, а также тем, кто оказал помощь при просмотре рукописи и корректуры.
Библиография состоит из двух частей — списка монографий по функциональному анализу и смежным вопросам и списка использованной литературы, состоящего в основном из журнальных статей. Ссылка Вулих — II означает ссылку на монографию Б. 3. Вулиха, идущую за номером II под его фамилией в списке монографий а ссылка Левин [3] означает ссылку на статью В. Л. Левина, но уже в списке использованной литературы. Библиография не претендует на полноту В случае, когда результат уже нашел отражение в монографической литературе, мы, как правило, предпочитали делать ссылку на книгу а не на оригинальную статью.
Книга состоит из восемнадцати глав, разделенных на параграфы, которые, в свою очередь делятся на пункты, занумерованные двойным индексом; первая его часть представляет номер параграфа, в котором содержится данный пункт, вторая — порядковый номер пункта в данном параграфе. При ссылках указывается также номер главы, в котором этот пункт находится; например, X 1.4.2 означает ссылку на второй пункт четвертого параграфа одиннадцатой главы. При ссылках внутри параграфа номер главы опускается. Для теорем принята сквозная нумерация внутри каждого параграфа Например, теорема Х1У.3.2 означает вторую теорему третьего параграфа главы XIV. При ссылке внутри параграфа номера главы и параграфа не указываются.
Л. В. Канторович, Г. П. Акилов
