Геодезические отображения римановых пространст

ПРЕДИСЛОВИЕ

За последние 20—25 лет в исследовании основных проб­лем теории геодезических отображений римановых про­странств и развитии обобщений этой теории получен ряд принципиально новых фундаментальных результатов. В итоге сформировалась стройная и содержательная теория, которая не нашла еще отражения в имеющейся отечествен­ной и зарубежной литературе.

Мы надеемся, что предлагаемая книга, посвященная теории геодезических отображений римановых пространств и некоторым ее обобщениям, будет полезна как для мате­матиков, так и для специалистов прикладных направле­ний, интересующихся проблемами моделирования и опти­мизации движений механических систем, а также динами­ческих процессов, протекающих в гравитационных и элек­тромагнитных полях, в сплошной среде.

Книга состоит из пяти глав.

Первая глава носит вводный характер. В ней излагаются без доказательства, но с пояснениями, необходимые для дальнейшего сведения из тензорного исчисления, римано-вой геометрии, теории пространств аффинной связности. Глава рассчитана на читателей, не имеющих в данной об­ласти необходимой подготовки.

Вторая глава посвящена классическим результатам тео­рии геодезических отображений римановых пространств, изучению геометрических свойств римановых пространств, допускающих нетривиальные геодезические отображения, освещению проблемы классификации этих пространств, первым теоремам о геодезической однозначной определен­ности римановых пространств.

В третьей главе рассматриваются общие закономерности теории геодезических отображений римановых пространств, имеющие принципиальное значение. К ним относятся но­вая форма основных уравнений теории геодезических отоб­ражений римановых пространств, инвариантное преобра­зование римановых пространств с общими геодезическими, основные теоремы теории геодезических отображений ри­мановых пространств. Последние дают возможность для любого риманова пространства У_п (к какой бы системе ко­ординат оно не было отнесено) регулярными методами ис­следовать вопрос о том, допускает оно нетривиальное гео­дезическое отображение или нет, а если допускает, то и най­ти все римановы пространства У_п, на которые У_п отобража­ется геодезически, а также решать эти задачи приближен­но и даже численно. В этой же главе вводится понятие о степени подвижности г риманова пространства У_п относи­тельно геодезических отображений, получаются оценки наи­большего значения г для пространств У_п (п > 3) непо­стоянной кривизны и отличных от пространств Эйнштейна. В итоге обнаруживается лакунарность в распределении сте­пеней подвижности римановых пространств относительно геодезических отображений, подобная известной лакунар­ности в распределении порядков полных групп движений римановых пространств. Здесь же доказываются новые теоремы о геодезической однозначной определенности ри­мановых пространств.

Четвертая и пятая главы посвящены некоторым обоб­щениям теории геодезических отображений аффинно-связ-ных и римановых пространств.

В разное время различными авторами с различных то­чек зрения было рассмотрено несколько обобщений теории проективных и геодезических отображений. Наиболее из­вестными из них являются теория (п — 2)-проективных пространств, конциркулярная геометрия, теория аналити­чески планарных отображений почти комплексных много­образий и голоморфно проективных отображений келеро­вых пространств.

В четвертой главе излагаются основы теории почти гео­дезических отображений аффинно-связных (без кручения) и римановых пространств. Эта теория является естествен­ным и в то же время широким обобщением теории геодези­ческих отображений, содержащим указанные выше обоб­щения (для пространств без кручения) в качестве специаль­ных случаев. Конкретнее, здесь вводится понятие о почти геодезических линиях пространств аффинной связности, почти геодезических отображениях одного из данных про­странств на другое, доказывается существование трех ти­пов почти геодезических отображений я_х, л_а, щ и проводит­ся исследование каждого из них. Оказывается, (п — 2) проективные пространства характеризуются тем, что до­пускают почти геодезическое отображение на плоское про­странство. В соответствии с типом этого отображения (и _ 2)-проективные пространства относятся к первому, второму или третьему типу.

Второму типу л₂ принадлежат голоморфно проективные отображения келеровых пространств с сохранением ком­плексной структуры. В результате анализа основных урав­нений почти геодезических отображений второго типа при некоторых дополнительных предположениях получена пол­ная геометрическая характеристика отображений я_2> ис­черпывающее описание всех пространств аффинной связ­ности, допускающих такие отображения, построены инва­риантные относительно отображений я₂ геометрические объ­екты. Можно сказать, что теория отображений я₂ представ­ляет собою обобщение классической геометрии почти комп­лексных многообразий.

Аналогичное исследование проведено для отображений я₃. Специальным случаем теории почти геодезических от­ображений л₃ является конциркулярная геометрия.

Наконец, в этой главе получены тензорные признаки 1п — 2)-проективных пространств всех трех типов.

В пятой главе изучаются голоморфно проективные отоб­ражения келеровых пространств с сохранением комплекс­ной структуры.

Начиная с 50-х годов различные вопросы теории голо­морфно проективных отображений келеровых пространств и соответствующих групп Ли преобразований были пред­метом исследования весьма многих авторов. Подавляю­щее большинство полученных при этом результатов об­стоятельно изложено в монографии К. Яно [1]. Однако принципиальные вопросы теории голоморфно проективных отображений до недавнего времени оставались открыты­ми. Их оказалось возможным исследовать только в по­следние годы, используя методы, разработанные в теории геодезических отображений римановых пространств. В данной главе, подобно тому, как это было сделано в третьей главе для геодезических отображений, получена новая форма основных уравнений теории голоморфно проективных отображений келеровых пространств, дока­заны основные теоремы теории голоморфно проективных отображений, введено понятие о степени подвижности келеровых пространств относительно голоморфно проек­тивных отображений, сохраняющих комплексную струк­туру, и обнаружена лакунарность в распределении сте­пеней подвижности. Кроме того здесь изложен ряд результатов, относящихся к голоморфно проективной однозначной определенности келеровых пространств. Иначе говоря доказано, что некоторые классы келеровых пространств не допускают (даже локально) нетривиаль­ных, т. е. отличных от аффинных, голоморфно проектив­ных отображений с сохранением комплексной структуры.

Теория геодезических отображений римановых и аффин-но-связных пространств, а также ее обобщения представ­ляют безусловный интерес с прикладной точки зрения. Дело в том, что движение многих типов механических си­стем, а также тел или частиц в гравитационных и электро­магнитных полях, в сплошной среде часто происходит по траекториям, которые можно рассматривать как геодези­ческие линии аффинно-связного или риманова простран­ства, определяемого энергетическим режимом, при котором протекает процесс, если внешние силы отсутствуют, или по кривым, вектор первой кривизны которых представляет собою вектор обобщенных внешних сил. Поэтому, например, два риманова пространства В„ и Е„, допускающие геодези­ческое отображение друг на друга, описывают процессы, протекающие при эквивалентных внешних нагрузках по одним и тем же «траекториям», но при различных энергети­ческих режимах. Следовательно, один из этих процессов можно моделировать другим. При этом степень подвижности г пространства (/„относительно геодезических отображений характеризует тот произвол, который мы можем использо­вать при выборе модели, а также с целью оптимизации из­учаемых процессов. Почти геодезические отображения в этом плане позволяют моделировать процессы, протекаю­щие при одних энергетических режимах (описываемые од­ними пространствами) при отсутствии внешних сил, про­цессами, протекающими при других энергетических режи­мах (описываемые другими пространствами) под воздей­ствием внешних сил определенного типа.

Наибольшее внимание в книге уделяется инвариантным методам исследования. В соответствии с этим изложение, как правило, проводится в тензорной форме. Система коор­динат остается произвольной до тех пор, пока не появляется настоятельная необходимость в ее специализации.

Исследования носят локальный характер. Они прово­дятся в классе достаточно гладких (в общем случае — ана­литических) функций.

В книгу не включены некоторые, порою даже очень ин­тересные, результаты теории геодезических отображений римановых пространств и ее обобщений, которые, по наше­му мнению, или не носят завершенного характера, или не получили еще должного развития. Естественно, что нами не включены в книгу результаты теории геодезических отображений римановых пространств, вошедшие в моно­графию А. 3. Петрова [3], а также исследования по теории аналитически пленарных отображений почти комплексных многообразий и голоморфно проективных отображений ке­леровых пространств, содержащиеся в монографии К. Я но [21

В соответствии с указанным выше принципом была ог­раничена библиография. В нее вошли, как правило, ра­боты, носящие основополагающий или в некотором смысле завершающий характер. Исключение составляет лишь не­большое количество работ, непосредственно относящихся к излагаемым в книге результатам.

В каждой главе ведется самостоятельная нумерация формул, лемм и теорем. При ссылках на них в другой главе перед номером формулы, леммы или теоремы ставит­ся номер главы, которой она принадлежит.

Книга предназначается для студентов старших курсов механико-математических и физических факультетов уни­верситетов, педагогических институтов и соответствующих факультетов технических вузов, научных работников, ин­тересующихся   геометрией и ее приложениями.

В заключение хочу выразить свою глубокую призна­тельность профессорам Э. Г. Позняку и А. М. Васильеву за большое внимание к данной работе и ряд ценных советов.

Н. С. Синюков

Одесса, май 1978 г.