Содержится теория потоков и ее применения к вариационному исчислению, а также необходимый подготовительный материал — грассманова алгебра, тео­рия меры, инвариантное интегрирование по группам и однородным простран­ствам. Монография на английском языке вышла в 1969 г. Представление о раз­витии этой тематики в последующие годы дают добавленные при переводе об­зоры А. Т. Фоменко и Л. Д. Иванова.

Для математиков — специалистов по теории функций, геометров, топологов и др.; может служить учебным и справочным пособием для студентов старших курсов и аспирантов.

 

Предисловие   к русскому изданию 8

Предисловие 9

Введение 11

 

Глава 1. ГРАССМАНОВА АЛГЕБРА 18

 

§ 1.1.   Тензорные произведения 18

§ 1.2.   Градуированные алгебры 21

§ 1.3. Внешняя алгебра над векторным пространством ..... 23

§ 1.4.   Кососимметрические формы и двойственность 27

§ 1.5.   Внутренние   умножения 32

§ 1.6.   Простые т-векторы 34

§ 1.7.   Скалярные произведения 38

§ 1.8.  Масса и комасса 49

§ 1.9. Симметрическая алгебра над векторным пространством  ... 52

§ 1.10. Симметрические формы и полиномиальные функции .... 55

 

Глава 2. ОБЩАЯ ТЕОРИЯ МЕРЫ 61

 

§ 2.1.  Меры и измеримые множества 62

2.1.1. Суммирование чисел (62). 2.1.2, 2.1.3. Измеримые множества (65). 2.1.4, 2.1.5. Измеримые оболочки (67). 2.1.6. Числа Улама (69).

 

§ 2.2.   Борелевские и суслинские множества 71

2.2.1. Борелевские семейства (71). 2.2.2, 2.2.3. Аппроксимация замкнутыми подмножествами (72). 2.2.4. Неизмеримые множества (73). 2.2.5. Радоновы меры (74). 2.2.6. Пространство последовательностей натуральных чисел (74). 2.2.7—2.2.9. Лишпицевские отображения (75). 2.2.10—2.2.13. Суслинские множества (76). 2.2.14, 2.2.15. Борелевские и бэровские функции (81). 2.2.16. Сепарабельность носителей (83). 2.2.17. Образы радоновых мер (84).

 

§ 2.3.   Измеримые  функции 84

2.3.1, 2.3.2. Основные свойства (84). 2.3.3—2.3.7. Теоремы аппроксимации (88). 2.3.8—2.3.10. Пространства измеримых функций (90).

 

§ 2.4.   Интеграл Лебега 93

2.4.1—2.4.5. Основные свойства (93). 2.4.6—2.4.9. Теоремы о пределах (97). 2.4.10, 2.4.11. Интегралы по подмножествам (98). 2.4.12— 2.4.17. Лебеговы пространства (99). 2.4.18. Композиции и меры образов (104). 2.4.19. Неравенство Иенсена (104).

 

§ 2.5.  Линейные   функционалы  105

2.5.1. Решетки функций (105). 2.5.2—2.5.6. Интегралы Даниеля (105). 2.5.7—2.5.12. Линейные функционалы на лебеговых пространствах   (112). 2.5.13—2.5.15.  Теорема Рисса о представлении (121). 2.5.16. Длина кривой (123). 2.5.17, 2.5.18. Интеграл Римана — Стилтьеса (125). 2.5.19. Пространства интегралов Даниеля (127). 2.5.20. Разложение интегралов Даниеля (129).

 

§ 2.6.   Произведения мер 129

2.6.1—2.6.4. Теорема Фубини (129). 2.6.5. Мера Лебега (135). 2.6.6. Бесконечные декартовы произведения (135). 2.6.7. Интегрирование по частям (136).

 

§ 2.7.   Инвариантные   меры 137

2.7.1—2.7.3. Определения (137). 2.7.4—2.7.13. Существование и единственность инвариантных интегралов (139). 2.7.14. 2.7.15. Радоно-вость согласованных мер (147). 2.7.16. Примеры (149). 2.7.17. Неизмеримые множества (158). 2.7.18. -непрерывность действий группы (158).

 

§ 2.8.  Теоремы о покрытиях 158

2.8.1—2.8.3. Адекватные семейства (158). 2.8.4—2.8.8. Покрытия с расширением (160). 2.8.9—2.8.15. Центрированные покрытия шарами (162). 2.8.16—2.8.20. Покрытия Витали (167).

 

§ 2.9.  Производные 169

2.9.1—2.9.5. Существование производных (169). 2.9.6—2.9.10. Неопределенные интегралы (172). 2.9.11—2.9.13. Плотность н аппроксимативная непрерывность (175). 2.9.14—2.9.18. Дополнительные результаты о дифференцировании, связанные с центрированными шарами (176). 2.9.19—2.9.25. Производные кривых конечной длины (180).

 

§ 2.10. Конструкция Каратеодори 187

2.10.1. Общая конструкция (187). 2.10.2—2.10.6. Меры Жт, 9т, Тт, $т, %т, У™, &™ (188). 2.10.7. Связь с интегралом Римана — Стилтьеса (192). 2.10.8—2.10.12. Разбиения и интегралы от кратности (192). 2.10.13—2.10.14. Длина кривой (194). 2.10.15, 2.10.16. Интегрально-геометрические меры (195). 2.10.17—2.10.19. Плотности (196), 2.10.20. Замечания о приближающих мерах (199). 2.10.21. Пространства липшицевских функций и замкнутые подмножества (200). 2.10.22, 2.10.23. Приближающие меры возрастающих последовательностей (202). 2.10.24. Прямое построение верхнего интеграла (204). 2.10.25—2.10.27. Интегралы мер прообразов (207). 2.10.28, 2.10.29. Множества типа канторового (209). 2.10.30, 2.10.31. Штейнеровская симметризация (213). 2.10.32—2.10.42. Неравенства между основными мерами (214). 2.10.43, 2.10.44. Лппшицевские продолжения функций (219). 2.10.45, 2.10.46. Декартовы произведения (220). 2.10.47—2.10.49. Подмножества конечной хаусдор-фовой меры (222).

 

Глава 3. СПРЯМЛЯЕМОСТЬ 225

 

§ 3.1. Дифференциалы и касательные 227

3.1.1—3.1.10. Дифференцирование и аппроксимативное дифференцирование (227). 3.1.11. Дифференциалы высших порядков (237). 3.1.12, 3.1.13. Разбиения единицы (242). 3.1.14—3.1.17. Дифференцируемые расширения функций (244). 3.1.18. Факторизация отображений около типичных точек (247). 3.1.19, 3.1.20. Подмногообразия евклидова пространства (249). 3.1.21. Касательные векторы (252). 3.1.22. Относительное дифференцирование (253). 3.1.23. Локальное распрямление подмногообразия (255). 3.1.24. Аналитические функции (256).

 

§ 3.2. Площадь и коплощадь липшицевских отображений 260

3.2.1. Якобианы (260). 3.2.2—3.2.7. Площадь отображений евклидовых пространств (261). 3.2.8—3.2.12. Коплощадь отображений евклидовых пространств (266). 3.2.13. Приложения; Г-функция Эйлера (270). 3.2.14, 3.2.15. Спрямляемые множества (272). 3.2.16— 3.2.19. Аппроксимативные касательные векторы и дифференциалы (273). 3.2.20—3.2.22. Площадь и коплощадь отображений спрямляемых множеств (277). 3.2.23, 3.2.24. Декартовы произведения (280). 3.2.25, 3.2.26. Совпадение мер спрямляемых множеств (281). 3.2.27. Площади проекций спрямляемых множеств (283). 3.2.28. Примеры (283). 3.2.29. Спрямляемые множества и многообразия класса 1 (288). 3.2.30—3.2.33. Дальнейшие результаты о коплощади (288). 3.2.34—3.2.40. Формула Штейнера и объем Минковского (291). 3.2.41—3.2.44. Теорема Бруппа — Минковского (297). 3.2.45. Соотношения между мерами (%™ (299). 3.2.46. Хаусдорфовы меры на римановых многообразиях (301). 3.2.47—3.2.49. Иптегральная геометрия на сферах (303).

 

§ 3.3. Структурная теория 308

3.3.1—3.3.4. Касательные свойства произвольных суслинских множеств (308). 3.3.5—3.3.18. Спрямляемость и проекции (313). 3.3.19— 3.3.21. Примеры неспрямляемых множеств (322). 3.3.22. Спрямляемость и плотность (329).

 

§ 3.4. Некоторые   свойства многократно   дифференцируемых   функций 330 3.4.1—3.4.4. Меры множеств /{ж: сНт пп О/(ж) ^ V}   (330). 3.4.5— 3.4.12. Аналитические множества (339).

 

Глава 4. ГОМОЛОГИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 362

 

§ 4.1. Дифференциальные формы и потоки 365

4.1.1. Распределения (365). 4.1.2—4.1.4. Регуляризация (368). 4.1.5. Распределения, представимые интегрированием (371). 4.1.6. Дифференциальные формы и т-векторные поля (373). 4.1.7. Потоки (377). 4.1.8. Декартовы произведения (382). 4.1.9, 4.1.10. Гомотопии (385). 4.1.11. Соединения, ориентированные симплексы (387). 4.1.12— 4.1.19. Плоские цепи (390). 4.1.20, 4.1.21. Связь с интегрально-гео-метрической мерой (401). 4.1.22, 4.1.23. Полиэдральные цепи и плоская аппроксимация (402). 4.1.24—4.1.28. Спрямляемые потоки (404). 4.1.29. Липшицевскпе окрестностные ретракты (410). 4.1.30. Формула преобразования (411). 4.1.31. Ориентированные подмногообразия (413). 4.1.32. Проективные отображения и полиэдральные цепи (416). 4.1.33. Формулы двойственности (418). 4.1.34. Скобки Ли векторных полей (419).

 

§ 4.2. Деформации и компактность 419

4.2.1. Расслаивание нормальных потоков с помощью вещественно-значных функций (419). 4.2.2. Отображения с особенностями (421). 4.2.3—4.2.6. Кубические разбиения (424). 4.2.7—4.2.9. Теорема о деформации (429). 4.2.10. Изопериметрическое неравенство (433). 4.2.11—4.2.14. Плоские цепи и интегрально-геометрическая мера (433). 4.2.15, 4.2.16. Теорема замкнутости (436). 4.2.17, 4.2.18. Теорема компактности (440). 4.2.19—4.2.24. Аппроксимация полиэдральными цепями (441). 4.2.25. Неразложимые целочисленные потоки (445). 4.2.26. Плоские цепи по модулю V (448). 4.2.27. Локально спрямляемые потоки (458). 4.2.28, 4.2.29. Аналитические цепи (459).

 

§ 4.3. Расслаивание 461

4.3.1—4.3.8. Расслаивание плоских цепей с помощью отображений в К™ (461). 4.3.9—4.3.12. Гомотопии, непрерывность слоев (472). 4.3.13. Расслаивание с помощью отображений в многообразия (479). 4.3.14. Ориентированные   конусы  (479). 4.3.15. Ориентированные цилиндры (482). 4.3.16—4.3.19. Ориентированные касательные конусы (483). 4.3.20. Пересечения плоских цепей (487).

 

§ 4.4. Группы гомологии 491

4.4.1. Теория гомологии с группой коэффициентов 2 (491). 4.4.2, 4.4.3. Изопериметрические неравенства (493). 4.4.4. Свойства компактности классов гомологий (497). 4.4.5, 4.4.6. Теории гомологий с группами коэффициентов К и 2У (500). 4.4.7. Два простых примера (501). 4.4.8. Группы гомотопий циклических групп (501). 4.4.9. Группы когомологий (502).

 

§ 4.5. Нормальные потоки размерности в в К" 502

4.5.1—4.5.4. Множества с локально конечным периметром (502). 4.5.5. Внешние нормали (505). 4.5.6. Теорема Гаусса — Грина (505). 4.5.7—4.5.10. Функции, соответствующие локально нормальным потокам (507). 4.5.11, 4.5.12. Плотности и локально конечный периметр (536). 4.5.13—4.5.17. Примеры и приложения (539).

 

Глава 5. ПРИЛОЖЕНИЯ К ВАРИАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ 543

 

§ 5.1. Интегранды и минимизирующие потоки 545

5.1.1. Параметрические интегранды и интегралы (545). 5.1.2. Эллиптичность параметрических интеграндов (547). 5.1.3. Выпуклость, параметрическое условие Лежандра (548). 5.1.4. Диффеоморфная инвариантность эллиптичности (549). 5.1.5. Полунепрерывность (снизу) интеграла (550). 5.1.6. Минимизирующие потоки (552). 5.1.7, 5.1.8. Изотопические деформации, вариации (555). 5.1.9. Непараметрические интегранды (558). 5.1.10. Непараметрическое условие Лежандра (560). 5.1.11. Формула Эйлера — Лагранжа (562).

 

§ 5.2. Регулярность решений некоторых дифференциальных уравнений 564 5.2.1, 5.2.2. Ь2 и условия Гёльдера (564). 5.2.3. Сильно эллиптические системы (566). 5.2.4. Неравенство Соболева (570). 5.2.5, 5.2.6. Обобщенные гармонические функции (571). 5.2.7—5.2.10. Свертки с существенно однородными функциями (574). 5.2.11—5.2.13. Элементарные решения (580). 5.2.14. Гёльдеровские оценки для линейных систем (586). 5.2.15—5.2.18. Непараметрические вариационные задачи (588). 5.2.19. Принцип максимума для вещественнозпачных решений (594). 5.2.20. Одномерные вариационные задачи (598).

 

§ 5.3. Эксцесс   и   гладкость 599

5.3.1—5.3.6. Оценки, содержащие эксцесс (599). 5.3.7. Переход к пределу (616). 5.3.8—5.3.13. Убывание эксцесса (622). 5.3.14—5.3.17. Регулярность минимизирующих потоков (643). 5.3.18. 5.3.19. Минимизирующие потоки размерности т в Кт+1 (650). 5.3.20. Минимизирующие потоки размерности 1 в К" (654). 5.3.21. Минимизирующие плоские цепи по модулю V (655).

 

§ 5.4. Дальнейшие результаты о потоках, минимизирующих площадь 656 5.4.1. Терминология (656). 5.4.2. Слабая сходимость вариационных мер (657). 5.4.3—5.4.5. Отношения плотностей и касательные конусы (658). 5.4.6, 5.4.7. Регулярность потоков, минимизирующих площадь (666). 5.4.8, 5.4.9. Декартовы произведения (669). 5.4.10—5.4.14. Дифференциально-геометрическое изучение конусов (670). 5.4.15, 5.4.16. Потоки размерности т в Кт+1 (682). 5.4.17. Отсутствие единственности и симметричности (686). 5.4.18. Непараметрические поверхности, теорема Бернштейна (687). 5.4.19. Голоморфные множества (690). 5.4.20. Граничная регулярность (692).

 

Список литературы  694

 

Дополнение 1. Вариации множеств  и энтропия   (Л. Д. Иванов) 708

 

Дополнение 2. Топологические свойства многомерных экстремалей функционала объема и функционала Дирихле   (А. Т. Фоменко) 720

 

§ 1. Функционал многомерного объема, локальная и глобальная минимальность поверхностей 720

§ 2. Многомерные задачи Плато и экстраординарные теории гомологии и когомологий 724

§ 3. Методы конструктивного построения глобально минимальных поверхностей 738

§ 4. Топологические свойства гармонических отображений как экстремалей функционала  Дирихле 744

 

Словарь некоторых стандартных обозначений 754

Список основных обозначении, определяемых в тексте 755

Предметный указатель 757

 

*

ПРЕДИСЛОВИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ

Книга Г. Федерера появилась в 1969 г. С тех пор она оста­ется наиболее полным пособием по теории меры и интеграла. Она практически полностью охватывает материал предшествующих ей учебных пособий, в частности широко известных монографий С. Сакса «Теория интеграла» и П. Халмоша «Теория меры». Наря­ду с этим монография дает систематическое изложение ряда тем (хаусдорфовы меры, теорема Сарда, формула коплощади и др.), изучение которых было ранее возможно лишь по малодоступным журнальным статьям. Все это определило необходимость русского перевода книги Федерера.

С точки зрения приложений книга ориентирована на изучение экстремальных поверхностей, а именно, вслед за теорией меры в ней излагается теория потоков, и методами этой теории решены не­которые варианты задачи Плато.

Издание пополнено двумя обзорными статьями. В первой дается краткий обзор результатов по вариациям множеств и энтропии, примыкающих к тематике монографии. Ряд фундаментальных ре­зультатов, связанных с теорией меры (теорема Сарда, теорема о касательной, вопросы единственности меры и др.), в терминах ва­риаций и энтропии обретают новую, подчас более удобную в при­ложениях форму. Вторая статья дает развернутый обзор результа­тов по задаче Плато.

Книга предназначена для математиков, работающих в различ­ных разделах анализа, геометрии, дифференциальных уравнений. Она доступна широкому кругу читателей, в том числе аспирантам и студентам. Однако при первом знакомстве с теорией меры феде-реровская краткость и насыщенность изложения потребуют от чи­тателя активной работы с текстом и настойчивости.

На русский язык книгу перевели Л. Д. Иванов (предисловие автора, введение, § 7 главы 2, главы 3 и 4), С. П. Байбородов (гла­ва 1 и §§ 1—6 и 8—10 главы 2) и В. В. Трофимов (глава 5). Пер­вое дополнение написано Л. Д. Ивановым, второе — А. Т. Фоменко.

А. Витушкин

*

ПРЕДИСЛОВИЕ

В течение последних трех десятилетий предмет геометриче­ской теории меры прошел путь от набора изолированных частных результатов до связанного в единое целое раздела фундаменталь­ных знаний с богатой естественной внутренней структурой и тесны­ми связями со многими другими частями математики. Это развитие дало нам более глубокое понимание аналитических и топологиче­ских основ геометрии и привело к новому направлению в вариаци­онном исчислении. В последнее время методы геометрической тео­рии меры привели к весьма существенному прогрессу в изучении самых общих эллиптических вариационных задач, включая много­мерную задачу наименьшей площади.

Цель этой книги — создание исчерпывающего трактата по гео­метрической теории меры. Детальное изложение ведется от основа­ний теории до последних открытий и содержит многие ранее не опубликованные результаты. Книга предназначена служить как ис­точником ссылок для сложившихся математиков, так и учебником для подготовленных студентов. Материал главы 2 может быть из­ложен в течение первого года обучения студентов, специализирую­щихся по вещественному анализу. Изучение последующих глав — хорошая подготовка к самостоятельным исследованиям. Для чтения этой книги необходимо некоторое знакомство с элементарной тео­рией множеств, топологией, линейной и коммутативной алгеброй, однако изложение содержит все необходимые сведения из полили­нейной алгебры, анализа, дифференциальной геометрии и алгебра­ической топологии.

Формальному изложению теории в главах 1—5 предшествует короткое предварительное описание главной темы, данное во вве­дении, где содержатся также и более обширные комментарии по истории предмета.

В начале каждой главы указываются оригинальные источники сравнительно нового и важного материала, излагаемого в тексте. Ссылки на литературу по некоторым дополнительным вопросам, ко­торые детально не рассматриваются, даются внутри глав. Некото­рые относящиеся к предмету дальнейшие публикации приведены только в библиографии. Все ссылки на библиографию приводятся в виде аббревиатуры, заключенной в квадратные скобки: например, [С1] означает первую из содержащихся в библиографии работ Ка-ратеодори. К предметному указателю добавлен список основных обозначений, введенных в тексте, и словарь некоторых использу­емых, но не определяемых в тексте, стандартных обозначений.

Я хочу выразить благодарность Браунскому университету и На­циональному научному фонду за поддержку моей работы над кни­гой, п высоко оценить усилия моих коллег, помогавших в осущест­влении плана. Я имел много полезных бесед с Фредериком Альм-греном младшим, касающихся, в частности, его идей, представлен­ных в § 5.3. Каспер Гоффман поставил несколько интересных воп­росов, побудивших меня к написанию части п. 4.5.9. Кацуми Но-мидзу предложил мне элегантное рассуждение, изложенное в 5.4.13. Вильям Аллард внимательно прочел всю рукопись и многочислен­ными полезными вопросами и комментариями внес значительный вклад в качество окончательного варианта книги. Джон Бразес, Лоуренс Эрнст, Джозеф Крал, Артур Сард и Вильям Цимер прочли некоторые части рукописи, представив полезный описок исправ­лений.

Редакторы и персонал издательства «Шпрингер» на всех этапах издания этой книги проявляли неизменную согласованность. Я осо­бенно благодарен Давиду Мамфорду за приглашение включить мою работу в серию «Основы математических знаний» и Клаусу Петер-су за проведенную организационную работу.

Герберт Федерер

Провиденс, Род Айленд Январь 1969