АННОТАЦИЯ
В книге излагается теория геометрий, в достаточно малых частях совпадающих с евклидовой. Разбирается ряд примеров таких геометрий и строится их общая теория, опирающаяся на понятие равномерно-разрывной группы преобразований. Описывается приложение этих понятий к кристаллографии, а также их связь с геометрией Лобачевского. Чисто геометрическое изложение не требует никаких знаний, выходящих за пределы программы по математике средней школы.
Для преподавателей математических факультетов университетов и пединститутов. Может быть использована студентами соответствующих специальностей и преподавателями математики средней школы.
*
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 5
Часть I. Накопление геометрической интуиции и постановка основной задачи 7
§ 1. Постановка вопроса 7
§ 2. Сферическая геометрия 9
§ 3. Геометрия на цилиндрической поверхности 15
1. Первое знакомство (15). 2. Правило измерения расстояний (19). 3. Исследование геометрии на цилиндре (23).
§ 4. Мир, в котором «право» и «лево» неразличимы .... 27
§ 5. Ограниченный мир 31
1. Описание геометрии (31). 2. Прямые на торе (37). 3. Некоторые приложения (41).
§ 6. Что значит задать геометрию? 44
1. Определение геометрии (44). 2. Наложение геометрий (50).
Часть II. Теория геометрий, в малом совпадающих с плоскостью 54
§ 7. Геометрии, в малом совпадающие с плоскостью, и равномерно-разрывные группы перемещений плоскости 54
1. Определение понятия эквивалентности при помощи перемещений (54). 2. Геометрия, соответствующая равномерно-разрывной группе (63).
§ 8. Перечисление всех равномерно-разрывных групп перемещений плоскости 68
1. Перемещения плоскости (68). 2. Перечисление равномерно-разрывных групп перемещений плоскости. Типы I и II (74). 3. Перечисление равномерно-разрывных групп па плоскости. Тип III (78).
§ 9. Новая геометрия 89
§ 10. Перечисление всех геометрий, в малом совпадающих с плоскостью 96
1. Построения в произвольной геометрии (98). 2. Накрытия (102). 3. Построение накрытия (107). 4. Построение группы (112). 5. Завершение доказательства теоремы 1 (116).
Часть III. Обобщения и приложения 120
§ 11. Геометрии, в малом совпадающие с пространством . . . 120
1. Перемещения пространства (120). 2. Гавномерно-разрывные группы в пространстве: общие свойства (123). 3. Гавномерно-разрывные группы в пространстве: перечисление (128). 4. Ориентируемость геометрий (138).
§ 12. Кристаллографические группы и разрывные группы . . 145
1. Группы симметрий (145). 2. Кристаллические вещества и кристаллографические группы (149). 3. Кристаллографические группы и геометрии. Газрывные группы (157). 4. Ти пичный пример: геометрия прямоугольника (162). 5. Перечисление всех геометрий, совпадающих в малом с Сп или Бп (166). 6. О доказательстве теорем 1 и 2 (179). 7. Кристаллические вещества и их «молекулы» (180).
Часть IV. Геометрии на торе, комплексные числа и геометрия Лобачевского 182
§ 13. Подобие геометрий 182
1. Условие совпадения двух геометрий, определенных равно-мерно-разрывными группами (182). 2. Подобие геометрий (186).
§ 14. Геометрии на торе 189
1. Геометрии на торе и модулярная фигура (189). 2. Условие того, что две пары векторов порождают одну и ту же решетку (194). 3. Приложение к теории чисел (198).
§ 15. Алгебра подобий: комплексные числа 202
1. Геометрическое определение комплексных чисел (202).
2. Подобие решеток и модулярная группа (207).
§ 16. Геометрия Лобачевского 211
1. Перемещения (212). 2. Прямые (215). 3. Гасстояние (217). 4. Окончание построения геометрии (223).
§ 17. Плоскость Лобачевского, модулярная группа, модулярная фигура и геометрии на торе 227
1. Газрывность модулярной группы (227). 2. Совокупность геометрий на торе (230). Исторические замечания 233
Список используемых обозначений 236
Предметный указатель 238
*
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга посвящена теории геометрий, в достаточно малых частях совпадающих с евклидовой плоскостью или пространством (иначе говоря, локально-евклидовых пространств). Начав с простейших примеров, мы затем развиваем общую теорию таких геометрий, основываясь на их связи с разрывными группами перемещений евклидовой плоскости или пространства. Далее мы рассматриваем связь разрывных групп перемещений с кристаллографией. Описание одного типа геометрий, в достаточно малых частях совпадающих с плоскостью, показывает, что сами эти геометрии естественно изображать точками некоторой новой геометрии. Систематическое изучение этой новой геометрии приводит нас к геометрии Лобачевского (на плоскости), которая, по логике нашего исследования, строится исходя из свойств ее группы перемещений. Таким образом, в этой книге мы хотим познакомить читателя с теорией геометрий, отличающихся от обычной геометрии плоскости и пространства, причем на таких примерах, которые доступны конкретному и наглядному изучению. Основным же инструментом исследования являются группы перемещений — как разрывные группы, так и группы перемещений геометрии.
Книга не предполагает у читателя никаких предварительных знаний, выходящих за пределы школьного курса. Мы имели в виду широкий круг возможных читателей: студентов математических и физических факультетов или технических институтов, учителей средних школ, школьников старших классов... Мы надеемся, что и читатель, не обладающий профессиональными математическими навыками, сможет при чтении этой книги познакомиться с одной из самых привлекательных черт математики: с тем, что многие ее вопросы решаются при помощи методов и понятий, которые, на первый взгляд, не имеют ничего общего с первоначальным вопросом. Только будучи развиты достаточно далеко, эти методы приводят к решению вопроса, ради которого они возникли, а часто открывают перед исследователем и совершенно новую область. Это внутреннее развитие математики, когда нужды одной области приводят к созданию новых областей, дополняется поразительным явлением ее единства: теории, созданные по разным поводам и развивающиеся в разных направлениях, неожиданно оказываются тесно связанными. Конечно, чтобы почувствовать эти особенности математического исследования, читатель должен быть готов потратить и время, и силы на преодоление трудностей, которые у него могут возникнуть при чтении книги. Они состоят не в привлечении каких-либо сложных средств (например, в этой книжке читатель вполне может обойтись курсом геометрии 8 классов), но в привычке ко все более сложным и длинным математическим рассуждениям.
Книга делится на четыре части. Первую часть, как мы надеемся, сможет прочесть даже ученик старших классов школы, интересующийся математикой. В ней излагаются основные примеры, при помощи которых читатель может выработать некоторую геометрическую интуицию в новой для себя области. Чтение только одной этой части уже дает некоторое, самое первое, представление о той области, которой посвящена- книга.
Вторая часть составляет ядро книги: в ней вводится новый метод, при помощи которого дается решение проблемы, поставленной в конце первой части. Она заметно труднее предшествующей — в ней содержатся доказательства нескольких теорем, из которых некоторые не совсем просты даже с точки зрения математика профессионала. Мы надеемся, однако, что при работе над первой частью читатель приобретет некоторые навыки, которые помогут ему преодолеть трудности второй части. Читатель, разобравший две первые части, уже будет иметь полное представление о теории, составляющей предмет этой книги. Оставшиеся части рассказывают о связи этой теории с другими вопросами.
Третья часть, вероятно, покажется читателю опять более простой. В ее первом параграфе излагается обобщение теории, построенной раньше для случая двух измерений — на трехмерный случай, а во втором — связь этой теории с кристаллографией. В последней части логика развития нашей теории естественно приведет к совершенно новому фундаментальному геометрическому понятию — геометрии Лобачевского.
В конце почти каждого пункта приведено несколько упражнений. Их цель заключается не в том, чтобы познакомить читателя с новыми фактами — главным образом, они должны помочь читателю проверить, насколько он понял предшествующий текст. Поэтому, как правило, они очень просты.
По ходу изложения указаны сочинения, из которых читатель может узнать больше о вопросах, изложенных в этой книге.
Авторы
