Предисловие 5

 

§ 1. Постановка вопроса 7

§ 2. Сферическая геометрия 9

§ 3. Геометрия на цилиндрической поверхности 15

1. Первое знакомство (15). 2. Правило измерения расстояний (19). 3. Исследование геометрии на цилиндре (23).

§ 4. Мир, в котором «право» и «лево» неразличимы    .... 27

§ 5. Ограниченный мир 31

1. Описание геометрии (31). 2. Прямые на торе (37). 3. Некоторые приложения (41).

§ 6. Что значит задать геометрию? 44

1. Определение геометрии (44). 2. Наложение геометрий (50).

 

§ 7. Геометрии, в малом совпадающие с плоскостью, и равномерно-разрывные группы перемещений плоскости    54

1. Определение понятия эквивалентности при помощи перемещений (54). 2. Геометрия, соответствующая равномерно-разрывной группе (63).

§ 8. Перечисление всех равномерно-разрывных групп перемещений плоскости 68

1. Перемещения плоскости (68). 2. Перечисление равномерно-разрывных групп перемещений плоскости. Типы I и II (74). 3. Перечисление равномерно-разрывных групп па плоскости. Тип III (78).

§ 9. Новая геометрия 89

§ 10. Перечисление всех геометрий, в малом совпадающих с плоскостью 96

1. Построения в произвольной геометрии (98). 2. Накрытия (102). 3. Построение накрытия (107). 4. Построение группы (112). 5. Завершение доказательства теоремы 1 (116).

 

§ 11. Геометрии, в малом совпадающие с пространством    .    .    . 120

1. Перемещения пространства (120). 2. Гавномерно-разрывные группы в пространстве: общие свойства (123). 3. Гавномерно-разрывные группы в пространстве: перечисление (128). 4. Ориентируемость геометрий (138).

§ 12. Кристаллографические группы и разрывные группы . . 145

1. Группы симметрий (145). 2. Кристаллические вещества и кристаллографические группы (149). 3. Кристаллографические группы и геометрии. Газрывные группы (157). 4. Ти пичный пример: геометрия прямоугольника (162). 5. Перечисление всех геометрий, совпадающих в малом с Сп или Бп (166). 6. О доказательстве теорем 1 и 2 (179). 7. Кристаллические вещества и их «молекулы» (180).

 

§ 13. Подобие геометрий 182

1. Условие совпадения двух геометрий, определенных равно-мерно-разрывными группами (182). 2. Подобие геометрий (186).

§ 14. Геометрии на торе 189

1. Геометрии на торе и модулярная фигура (189). 2. Условие того, что две пары векторов порождают одну и ту же решетку (194). 3. Приложение к теории чисел (198).

§ 15. Алгебра подобий: комплексные числа 202

1. Геометрическое определение комплексных чисел (202).

2. Подобие решеток и модулярная группа (207).

§ 16. Геометрия Лобачевского 211

1. Перемещения (212). 2. Прямые (215). 3. Гасстояние (217). 4. Окончание построения геометрии (223).

§ 17. Плоскость Лобачевского, модулярная группа, модулярная фигура и геометрии на торе 227

1. Газрывность модулярной группы (227). 2. Совокупность геометрий на торе (230). Исторические замечания 233

 

Список используемых   обозначений 236

Предметный указатель 238

 

*

 

 

Книга посвящена теории геометрий, в достаточно малых ча­стях совпадающих с евклидовой плоскостью или пространством (иначе говоря, локально-евклидовых пространств). Начав с про­стейших примеров, мы затем развиваем общую теорию таких геометрий, основываясь на их связи с разрывными группами перемещений евклидовой плоскости или пространства. Далее мы рассматриваем связь разрывных групп перемещений с кристалло­графией. Описание одного типа геометрий, в достаточно малых частях совпадающих с плоскостью, показывает, что сами эти геометрии естественно изображать точками некоторой новой гео­метрии. Систематическое изучение этой новой геометрии приво­дит нас к геометрии Лобачевского (на плоскости), которая, по логике нашего исследования, строится исходя из свойств ее группы перемещений. Таким образом, в этой книге мы хотим познакомить читателя с теорией геометрий, отличающихся от обычной геометрии плоскости и пространства, причем на таких примерах, которые доступны конкретному и наглядному изуче­нию. Основным же инструментом исследования являются группы перемещений — как разрывные группы, так и группы перемеще­ний геометрии.

Книга не предполагает у читателя никаких предварительных знаний, выходящих за пределы школьного курса. Мы имели в виду широкий круг возможных читателей: студентов математи­ческих и физических факультетов или технических институтов, учителей средних школ, школьников старших классов... Мы на­деемся, что и читатель, не обладающий профессиональными ма­тематическими навыками, сможет при чтении этой книги позна­комиться с одной из самых привлекательных черт математики: с тем, что многие ее вопросы решаются при помощи методов и понятий, которые, на первый взгляд, не имеют ничего общего с первоначальным вопросом. Только будучи развиты достаточно далеко, эти методы приводят к решению вопроса, ради которого они возникли, а часто открывают перед исследователем и совер­шенно новую область. Это внутреннее развитие математики, ког­да нужды одной области приводят к созданию новых областей, дополняется поразительным явлением ее единства: теории, соз­данные по разным поводам и развивающиеся в разных направ­лениях, неожиданно оказываются тесно связанными. Конечно, чтобы почувствовать эти особенности математического исследо­вания, читатель должен быть готов потратить и время, и силы на преодоление трудностей, которые у него могут возникнуть при чтении книги. Они состоят не в привлечении каких-либо сложных средств (например, в этой книжке читатель вполне может обойтись курсом геометрии 8 классов), но в привычке ко все более сложным и длинным математическим рассуждениям.

Книга делится на четыре части. Первую часть, как мы наде­емся, сможет прочесть даже ученик старших классов школы, интересующийся математикой. В ней излагаются основные при­меры, при помощи которых читатель может выработать некото­рую геометрическую интуицию в новой для себя области. Чтение только одной этой части уже дает некоторое, самое первое, пред­ставление о той области, которой посвящена- книга.

Вторая часть составляет ядро книги: в ней вводится новый метод, при помощи которого дается решение проблемы, постав­ленной в конце первой части. Она заметно труднее предшеству­ющей — в ней содержатся доказательства нескольких теорем, из которых некоторые не совсем просты даже с точки зрения мате­матика профессионала. Мы надеемся, однако, что при работе над первой частью читатель приобретет некоторые навыки, которые помогут ему преодолеть трудности второй части. Читатель, разо­бравший две первые части, уже будет иметь полное представле­ние о теории, составляющей предмет этой книги. Оставшиеся части рассказывают о связи этой теории с другими вопросами.

Третья часть, вероятно, покажется читателю опять более про­стой. В ее первом параграфе излагается обобщение теории, по­строенной раньше для случая двух измерений — на трехмерный случай, а во втором — связь этой теории с кристаллографией. В последней части логика развития нашей теории естественно приведет к совершенно новому фундаментальному геометриче­скому понятию — геометрии Лобачевского.

В конце почти каждого пункта приведено несколько упраж­нений. Их цель заключается не в том, чтобы познакомить чита­теля с новыми фактами — главным образом, они должны помочь читателю проверить, насколько он понял предшествующий текст. Поэтому, как правило, они очень просты.

По ходу изложения указаны сочинения, из которых читатель может узнать больше о вопросах, изложенных в этой книге.

Авторы