ОГЛАВЛЕНИЕ
От издательства 8
Из предисловия авторов 9
ГЛАВА 1. ЗДРАВЫЙ СМЫСЛ И СТРОГОЕ РАССУЖДЕНИЕ
§ 1. Два типа задач 13
§ 2. Логически последовательное изложение геометрии 19
Евклид 22
ГЛАВА 2. МНОЖЕСТВА, ДЕЙСТВИТЕЛЬНЫЕ ЧИСЛА И ПРЯМЫЕ
§ 1. Множества 27
§ 2. Порядок на числовой прямой 32
§ 3. Абсолютная величина 37
§ 4. Масштабные линейки и единицы длины 39
Аксиома 1 (аксиома расстояния) 42
§ 5. Бесконечная линейка 43
Аксиома 2 (аксиома масштабной линейки) 45
§ 6. Аксиома прикладывания линейки. Понятие «между». Отрезки и лучи 48
Аксиома 3 (аксиома прикладывания линейки) 48
Аксиома 4 (аксиома прямой) . 51
§ 7. Замена единицы длины 56
ГЛАВА 3. ПРЯМЫЕ, ПЛОСКОСТИ И РАЗБИЕНИЯ
§ 1. Введение 63
§ 2. Прямые и плоскости; чертежи 64
Аксиома 5 65
§ 3. Прямые и плоскости; чертежи (окончание) 67
Аксиома 6 67
Аксиома 7 (аксиома плоскости) 68
Аксиома 8 (аксиома пересечения плоскостей) 68
§ 4. Выпуклые множества 71
Аксиома 9 (аксиома разбиения плоскости) 72
Аксиома 10 (аксиома разбиения пространства) 74
§ 5. Семь кёнигсбергских мостов 76
Леонард Эйлер 78
ГЛАВА 4. УГЛЫ И ТРЕУГОЛЬНИКИ
§ 1. Основные понятия 83
§ 2. Несколько замечаний об углах 88
§ 3. Угловая мера 89
Аксиома 11 (аксиома измерения углов) 90
Аксиома 12 (аксиома построения углов) 91
Аксиома 13 (аксиома сложения углов) 91
Аксиома 14 .(аксиома пополнения) 92
§ 4. Прямые углы, перпендикулярность, конгруэнтные углы 96
Джордж Дэвид Биркгоф . . 103
§ 5. Запись теоремы в форме «предположение — заключение» . 105
§ 6. Запись простых доказательств 106
ГЛАВА 5. КОНГРУЭНТНОСТЬ
§ 1. Идея конгруэнтности 117
§ 2. Конгруэнтность треугольников 124
§ 3. Аксиомы конгруэнтности треугольников . 131
Аксиома 15 (СУС-аксиома) 132
Аксиома 16 (УСУ-аксиома) 132
Аксиома 17 (ССС-аксиома) 132
§ 4, Доказательство постарайтесь придумать сами! 134
§ 5. Биссектрисы углов 146
§ 6. Равнобедренные и равносторонние треугольники 148
§ 7, Перекрывающиеся треугольники. Применение рисунков для передачи информации 153
§ 8. Четырехугольники, квадраты и прямоугольники 159
ГЛАВА 6. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВА
§ 1. Как строится дедуктивная система 171
§ 2. Доказательства от противного 171
§ 3. Теоремы о прямых и плоскостях 174
§ 4. Перпендикуляры 179
§ 5. Введение в доказательствах вспомогательных точек и прямых. Употребление слова «пусть» 187
§ 6. Как обойтись без УСУ-аксиомы 193
§ 7. Как обойтись без ССС*аксиомы 194
§ 8. Отношение «между» и разбиение , 196
ГЛАВА 7. ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ НЕРАВЕНСТВА
§ 1. Разумные гипотезы 203
§ 2. Неравенства между числами, отрезками и углами 205
§ 3. Теорема о внешнем угле 207
§ 4. Теоремы о конгруэнтности, основанные на теореме о внешнем угле 212
§ 5. Неравенства, связывающие элементы треугольника 216
§ 6. Взаимно обратные теоремы 219
§ 7. Расстояние между прямой и точкой. Неравенство треугольника 221
§ 8. Теорема о шарнире и обратная теорема 224
§ 9. Высоты треугольников 227
ГЛАВА 8. ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ В ПРОСТРАНСТВЕ
§ 1. Определение перпендикулярности прямых и плоскостей .... 235
§ 2. Лемма 237
§ 3. Основная теорема о перпендикулярах 238
§ 4. Существование и единственность 241
§ 5. Перпендикулярные прямые и плоскости (сводка результатов) . 245
ГЛАВА 9. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Условия, гарантирующие параллельность 253
§ 2. Соответственные углы 260
§ 3. Аксиома параллельности 262
Аксиома 18 (аксиома параллельности) —
§ 4. Треугольники 266
§ 5. Плоские четырехугольники 269
§ 6. Ромб, прямоугольник и квадрат 275
§ 7. Несколько теорем о прямоугольных треугольниках .. 278
§ 8. Секущие ко многим параллельным прямым 281
§ 9. Как Эратосфен измерил Землю . 285
Эратосфен 287
ГЛАВА 10. ПАРАЛЛЕЛЬНЫЕ ПРЯМЫЕ И ПЛОСКОСТИ
§ 1. Основные факты о параллельных прямых и плоскостях 295
§ 2. Двугранные углы. Перпендикулярные плоскости . 301
§ 3. Проекции 308
Николай Иванович Лобачевский 316
ГЛАВА 11. МНОГОУГОЛЬНЫЕ ОБЛАСТИ И ИХ ПЛОЩАДИ
§ 1. Многоугольные области 319
Аксиома 19 (аксиома площади) 321
Аксиома 20 (аксиома конгруэнтности) —
Аксиома 21 (аксиома сложения площадей) 322
Аксиома 22 (аксиома единицы площади)
§ 2. Площади треугольников и четырехугольников 326
§ 3. Теорема Пифагора Пифагор 335
§ 4. Треугольники специального вида 339
ГЛАВА 12. ПОДОБИЕ
§ 1. Идея подобия. Пропорциональность 349
§ 2. Подобие треугольников 354
§ 3. Основная теорема о пропорциональности и обратная теорема 357
§ 4. Основные теоремы о подобии 362
§ 5. Подобие прямоугольных треугольников 373
§ 6. Площади подобных треугольников 376
§ 7. Тригонометрические отношения 379
§ 8. Тригонометрические расчеты. Применение таблиц 383 .
§ 9. Формулы, связывающие тригонометрические отношения 387
ГЛАВА 13. АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ НА ПЛОСКОСТИ
§ 1. Введение 395
§ 2. Система координат на плоскости — Рене Декарт 400
§ 3. Как изобразить систему координат на бумаге в клетку 401
§ 4. Подъем (невертикальной) прямой 406
§ 5. Параллельные и перпендикулярные прямые 412
§ 6. Формула расстояний 415
§ 7. Формула середины. Деление отрезка в данном отношении 419
§ 8. Применение метода координат для доказательства теорем 424
§ 9. Условие и его график 428
§ 10. Уравнение прямой 431
ГЛАВА 14. ОКРУЖНОСТИ И СФЕРЫ
§ 1. Основные определения 441
§ 2. Касательные к окружности 445
§ 3. Касательные плоскости к сфере 453
§ 4. Дуги окружностей 458
§ 5. Вписанные углы и высекаемые дуги 462
§ 6. Конгруэнтные дуги 468
§ 7. Секущие и касательные отрезки. Степень точки относительно окружности 473
§ 8. Окружность на координатной плоскости 481
ГЛАВА 15. НЕОБХОДИМЫЕ И ДОСТАТОЧНЫЕ УСЛОВИЯ; ПОСТРОЕНИЯ
§ 1. Необходимые и достаточные условия . . 493
§ 2. Роль необходимых и достаточных условий в аналитической геометрии 497
§ 3. Теоремы о конкуррентности , 499
§ 4. Биссектрисы углов треугольника 503
§ 5. Теорема о конкуррентности медиан 505
§ 6. Построения с помощью циркуля и линейки 508
§ 7. Простейшие построения 510
§ 8. Простейшие построения (продолжение) 513
§ 9. Вписанные и описанные окружности 518
§ 10. Неразрешимость некоторых классических задач на построение 520
ГЛАВА 16. ПЛОЩАДЬ КРУГА И СЕКТОРА
§ 1. Многоугольники 529
§ 2. Правильные многоугольники 534
§ 3. Длина окружности. Число я 536
§ 4. Площадь круга 540
§ 5. Длина дуги и площадь сектора 543
ГЛАВА 17. ТЕЛА И ИХ ОБЪЕМЫ
§ 1. Призмы 551
§ 2. Пирамиды 558
§ 3. Объемы призм и пирамид. Принцип Кавальери 563
Аксиома 23 (аксиома единицы объема) 564
Аксиома 24 (принцип Кавальери) 565
Архимед 571
§ 4. Цилиндры и конусы 572
§ 5. Объем шара и площадь его поверхности 578
Дополнения 585
Список аксиом 593
И. М. Яглом. «Метрические» системы обоснования геометрии и книга Моиза — Даунса 595
Литература 606
Указатель символов 614
Предметный указатель 616
Именной указатель 622
**
ОТ ИЗДАТЕЛЬСТВА
Настоящая книга представляет собой учебник геометрии, используемый в старших классах части американских средних школ. Содержащийся здесь материал покрывает полную программу курса: он содержит и разделы, относящиеся к планиметрии, и первоначальные (впрочем, довольно скромные) сведения по стереометрии. В книге произведена удачная попытка частичного объединения планиметрического и стереометрического материала, излагаемого зачастую в рамках одной главы.
Учебник Моиза и Даунса является также и задачником — он содержит полное количество задач, необходимое для целей преподавания. Для удобства преподавателя задачи, которые авторы считают возможным опустить, отмечены крестиками (+); более трудные задачи отмечены звездочками (*). Особо выделены так называемые «конкурсные задачи» (honors problems), адресованные лишь к наиболее успевающим учащимся.
Основной текст книги сопровождается Дополнениями, заимствованными из «учительского издания» учебника, и послесловием редактора перевода, поясняющим основные установки этой книги, а также содержащим некоторые сведения о ее авторах и о том, как используется этот учебник в американских средних школах. В конце книги имеется полный список всех аксиом, позволяющий более полно представить себе избранную авторами дедуктивную систему, а также список всех употребляемых в книге символов и предметный указатель. Немногочисленные подстрочные примечания в тексте книги принадлежат переводчику и редактору.
***
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРОВ
В последние годы происходила оживленная дискуссия о содержании курса геометрии, который проходится в старших классах средней школы. Просмотрев оглавление этой книги, легко заметить, что мы близко следуем рекомендациям Комиссии по математике Совета по вступительным экзаменам в колледжи (Commission on Mathematics of the College Entrance Examination Board) и находимся под сильным влиянием опубликованной исследовательской Группой по школьной математике (School Mathematics Study Group, сокращенно SMSG) книги под названием «Геометрия». При отборе материала для нашей книги мы руководствовались идеями, которые были приняты как этими коллективами, так и некоторыми другими.
Самый простой способ объяснить дух и метод этой книги состоит в том, чтобы сразу выразить глубочайшую признательность нашим коллегам по SMSG. Нам посчастливилось участвовать в проводимой в рамках SMSG коллективной работе, и мы были воодушевлены длительными и серьезными обсуждениями стиля и метода преподавания математики. Естественно, что мы пиеали свою книгу, основываясь на собственных убеждениях, сложившихся после нескольких лет труда и размышлений под влиянием нашего опыта преподавания в средней школе; отступления от выработанной коллективно линии изложения здесь столь многочисленны, что мы не можем претендовать ни на какую поддержку нашей книги авторитетом SMSG. Однако наши взгляды со времени летних месяцев 1958, 1959 и 1960 гг. существенно не изменились; основные установки составленной под эгидой SMSG книги и теперь кажутся нам такими же обоснованными, как и раньше, так что своей задачей мы считаем лишь усовершенствование воплощения этих установок.
Перечислим теперь основные особенности нашей книги.
1. Основные понятия стереометрии вводятся у нас рано, в гл. 3, и с этого момента систематически используются. Они возникают не только в более поздних главах, специально посвященных изучению стереометрии, но и в задачах к главам, посвященным планиметрии. Таким образом, к тому времени, когда мы обратимся к систематическому изучению стереометрии в гл. 8, учащийся будет уже иметь большой и разнообразный (хотя и интуитивный) опыт в этом направлении.
2. Система координат на прямой вводится в гл. 2, и после этого мы свободно пользуемся алгеброй. Расстояния и углы измеряются числами, и при действиях с ними применяются алгебраические методы. Это позволяет легко ввести в гл. 13 (после того, как учащийся познакомится с подобием и теоремой Пифагора) координаты на плоскости.
3. Теорию измерения площадей обычно проходят в конце курса геометрии. Здесь мы излагаем ее в гл. 11, т. е. примерно в середине курса. Для этого есть две причины. Во-первых, понятие площади должно появляться рано потому, что оно является легким, если не считать требований, которые оно предъявляет к алгебраическим навыкам. (Эти навыки так или иначе нужно развивать.) Во-вторых, оно полезно в остающейся части теории, давая простое доказательство теоремы Пифагора, а также теоремы о пропорциональных отрезках, на которую опирается теория подобия.
4. Почти в каждом случае, прежде чем формально определить какое-либо понятие, мы объясняем его интуитивно — путем нефор-мального обсуждения, чаще всего базирующегося на разборе рисунков. (См., например, определение выпуклого множества на стр. 69.)
5. Рисунки в книге используются очень широко; они снабжаются некоторыми пометками, имеющими своей целью увеличение доставляемой рисунками информации. (См. стр. 126—127, где мы объясняем, как пометками обозначать конгруэнтность, а также стр. 141 —142, где мы объясняем пользу проставляемых на рисунках восклицательных знаков: с их помощью мы обозначаем заключения.)
6. Мы постарались придумать названия для возможно большего числа теорем, чтобы облегчить их запоминание и ссылки на них. (См., например, «теорему о шарнире» на стр. 224 и «аксиому масштабной линейки» на стр. 45.)
7. Основная цель этой книги состоит в том, чтобы научить учащегося пользоваться математическим языком —т. е. понимать Математическую книгу и самому использовать усвоенные формы записи. Это —не простая задача. Тому, кто учится пользоваться математическим языком, должны быть сообщены термины и обозначения, быстро и точно передающие смысл математического понятия. Не следует думать, что так поступают все. Например, во многих книгах один и тот же символ А В употребляется для обозначения: а) прямой, содержащей точки А и В; Ь) отрезка с концами А и В; с) луча, исходящего из Л и проходящего через В; d) расстояния между точками А и В. Вовсе не редкость также встретить в какой-либо книге детальное объяснение различия между отрезками и прямой, которое, однако, полностью игнорируется самими авторами (или автором). Но если применяемый язык так неряшлив, учащийся скорее всего придет к (законному!) заключению о том, что предложенный ему учебник для серьезного изучения не годится. В нашей книге мы сделали попытку добиться вдумчивого внимания учащихся, последовательно приучая их к ясности и точности изложения.
Э. Э. М., Ф. Л. Д.
Кембридж и Ньютон, Массачусетс
Октябрь 1963 г.
