Оригинално заглавие:
JEAN LERAY HYPERBOLIC DIFFERENTIAL EQUATIONS, 1953
*
АННОТАЦИЯ
Лекции выдающегося французского математика Ж. Лере посвящены общей теорпп гиперболических уравнений произвольного порядка. В первой частп изучаются линейные уравнения с постоянными коэффициентами; дается простой вывод формулы Герг-лотца — Петровского. Вторая часть посвящена в основном вопросам глобальной разрешимости задачи Коши для линейных уравнений с переменными коэффициентами и содержит подробное изложение важного метода, известного в литературе как метод Лере. В ней дано другое доказательство некоторых результатов И. Г. Петровского о разрешимости задачи Коши.
Книга может быть пепользована для углубленного изучения теории дифференциальных уравнений и будет полезна научным работникам, аспирантам и студентам старших курсов университетов.
Илл. 15. Библ. 63 назв.
*
ОГЛАВЛЕНИЕ
(с много грешки от сканирането на математическите символи)
Предисловие переводчика
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
ЛИНЕЙНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ с постоянными КОЭФФИЦИЕНТАМИ И СИМВОЛИЧЕСКОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ СО МНОГИМИ ПЕРЕМЕННЫМИ
Введение
Глава I. Символическое исчисление ....... 8
§ 1. Преобразования Фурье и Лапласа 8
§ 2. Определение и основные свойства символического исчисления 15
§ 3. Примеры 21
Глава II. Символическое умножение на функцию от ±р\±-±р\ 22
§ 1. Предварительные замечания ....... 22
§ 2. Символическое умножение на функцию от р|-)-...-)-р| 23
§ 3. Символическое умножение на функцию от — Р^+.-.+р^ 29
Глава III. Символическое умножение на яР(р), где я— полином, р — комплексное число. Случаи р = —1 ... 37
§ 1. Вещественная проекция алгебраического многообразия а(С) = 0 и дополнение Д(я) замыкания этой проекции 37
§ 2. Направляющий конус Г (я) для А (я) и двойственный конус С (а) 43
§ 3. Выпуклая область Да(а, р, Ъ) такая, что оператор &(р)аР(р) ограничен для реДа(я, р, 6), где Ъ(р)— полипом 40
§ 4. Элементарное решение 49
§ 5. Выводы 53
Глава IV. Символическое умножение на я_1(р), когда я(р) — однородный полином 54
§ 1. Внешнее дифференциальное исчисление .... 54
§ 2. Формула Герглотца 58
§ 3. Случай четного I, т — 1>1 (Герглотц) .... 62
§ 4. Случай нечетного I, т — I > 1 (Петровский) . . 64
§ 5. Общин случай 69
§ 6. Пример: волновое уравнение 76
ЧАСТЬ ВТОРАЯ
ЛИНЕЙНЫЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИИ С ПЕРЕМЕННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ
Введение
Глава V. Существование глобальных решений на векторном пространстве. Введение к главе
§ 1. Матрицы В, определяющие нормы, в которых заданная матрица Л эрмитова
§ 2. Операторы В, определяющие нормы, в которых эрмитова часть заданного оператора Л ограничена 90
§ 3. Априорная оценка для локальных решений гиперболического уравнения
§ 4. Теоремы существования 100
Глава VI. Обратные операторы для гиперболического оператора на векторном пространстве Ю5
§ 1. Конусы, полости которых разделяют полости заданного конуса
§ 2. Гиперболические операторы порядка т — 1, произведение которых с заданным гиперболическим оператором порядка имеет положительную эрмитову часть 109
§ 3. Обратные операторы регулярно гиперболического оператора ВД
§ 4. Излучение и область зависимости 127
§ 5. Фронт излучения — геометрическое место траекторий 132
Глава VII. Обратные операторы для гиперболического оператора на многообразии 14°
§ 1. Гиперболические операторы и излучение 140
§ 2. Обратные операторы гиперболического оператора 143
§ 3. Элементарные решения 147
§ 4. Задача Коши
Глава VIII. Гиперболические системы 153
§ 1. Обозначения и результаты 153
§ 2. Доказательство предыдущих утверждений 156
Глава IX. Нелинейные уравнения и системы 102
§ 1. Квазилинейные уравнения п системы 163
§ 2. Нелинейные уравнения 171
§ 3. Нелинейные системы 174
ДОПОЛНЕНИЕ К РУССКОМУ ИЗДАНИЮ
Глава X. Теория Гординга линейных гиперболических уравнений 176
§ 1. Энергетическое соотношение гиперболического типа 176
§ 2. Гиперболический оператор 189
§ 3. Оценка снизу гиперболического оператора а 191
§ 4. Оценка снизу оператора а*, сопряженного с гйперболическим оператором а 193
§ 5. Обратные операторы гиперболического оператора 198
Список литературы 201
Предметный указатель , 205
***
ПРЕДИСЛОВИЕ ПЕРЕВОДЧИКА
Припстоиские лекции Ж. Лере (1953 г.) по гиперболическим дифференциальным уравнениям пользуются широкой известностью среди специалистов. Они содержат глубокое изложение общей теории гиперболических уравнений произвольного порядка, написаны лаконично и достаточно просто. К сожалению, эти лекции стали библиографической редкостью, не успев появиться. В пашен стране они имеются лишь в нескольких центральных библиотеках. Предлагаемое русское издание восполняет этот пробел.
В первой части книги изучаются линейные уравпепия с постоянными коэффициентами. Эта часть завершается простым и корректным выводом формулы Герглотца — Петровского, выражающей элементарное решение однородного гиперболического оператора произвольного порядка в терминах абелевых интегралов и лежащей в основе теории лакун И. Г. Петровского [37]. Для дальнейшего изучения примыкающих сюда вопросов можно обратиться к работе [2*]. Часть результатов допускает обобщение па случай переменных коэффициентов, если рассматривать гиперболические уравнения в римановых пространствах и заменить условие однородности оператора условием его конформной инвариантности (см. [6*], гл. 2).
Вторя часть посвящена в основном вопросам глобальной разрешимости задачи Коши для уравнений с переменными коэффициентами и теории гиперболических операторов па многообразии. Читатель найдет здесь подробное изложение важного метода получения энергетических оценок для уравнений произвольного порядка, известного в литературе как метод Лере (краткое описание этого метода имеется в [8*], гл. VI, § 9). В последней главе излагается прямой метод Гординга в редакции Лере. Таким образом, в этой части книги излагается другой подход к построению теории задачи Коши для гиперболических уравнений, впервые созданной в работах И. Г. Петровского.
При переводе исправлены замеченные опечатки (поэтому, в частности, нумерация пунктов 49 — 60 не совпадает с оригиналом) и сделано следующее редакционное изменение: в оригинале имелась третья часть, которую составлял небольшой раздел о нелинейных уравнениях; здесь этот раздел включен во вторую часть в виде гл. IX. Кроме того, добавлена гл. X, представляющая собой перевод с французского лекций Ж. Лере, прочитанных им в 1956 г. в летнем международном математическом центре в Италии. Эта глава существенно дополняет прин-стонские лекции и дает альтернативное изложение материала, содержащегося в гл. V и в §§ 1 — 3 гл. VI.
Профессор Лере любезно прислал мне экземпляр своих лекций, и я весьма признателен ему за это. Я также признателен профессору О. А. Олейник и профессору Л. Р. Во-левичу, которые обратили мое внимание на статью [9*1.
Н. X. Ибрагимов
