Гомологическая алгебра — недавно возникшая и бурно развивающаяся ветвь современной алгебры — занимается изучением алгебраических объектов методами теории гомо-логий, заимствованными из топологии.

Значение предлагаемой книги для этой области матема­тики трудно переоценить; можно сказать, что только с ее появлением гомологическая алгебра стала вполне опре­делившейся научной дисциплиной. Книга чрезвычайно бо­гата новыми идеями и результатами, причем изложение всегда очень четкое и доступное.

Знакомство с этой книгой необходимо каждому мате­матику, желающему быть в курсе последних достижений современной алгебры.

**

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Под гомологической алгеброй понимают ветвь алгебры, посвя­щенную изучению алгебраических объектов (групп, полей, алгебр) заимствованными из топологии методами теории гомологий. Первые шаги в этом направлении были сделаны в сороковых годах этого века в работах С. Эйленберга и С. Маклейна и, независимо от них, в работах ленинградского математика Д. К. Фаддеева. В этих рабо­тах гомологические методы были применены в основном к изучению расширений групп. В дальнейшем (Г. Хохшильд и др.) гомологи­ческие методы были перенесены в теорию алгебр (как ассоциатив­ных, так и алгебр Ли), в теорию полугрупп и т.п. Особо следует отметить значение, которое эти методы приобрели в теории Галуа, К настоящему времени довольно четко определились три основных отдела алгебры, где гомологические методы оказывают существен­ную помощь: это теория групп, теория алгебр и теория Галуа.

Однако, несмотря на большое количество работ, посвященных описанному кругу вопросов, до самого последнего времени еще нельзя было говорить о гомологической алгебре как о сложившейся алгебраической дисциплине. Не существовало общего определения групп гомологий, частными случаями которого были бы опреде­ления групп гомологий групп и алгебр. Ни в какой степени не был очерчен круг вопросов, подлежащих изучению гомологическими методами. Не были развиты общие методы гомологического изучения алгебраических объектов. Короче говоря, существовали гомологи­ческие методы, но не гомологическая алгебра. Появление книги А. Картана и С. Эйленберга, русский перевод которой предлагается читателю, резко изменило положение. Теперь уже совершенно ясно, что гомологическая алгебра представляет собой определившуюся математическую дисциплину, имеющую собствен­ные методы и, что еще существеннее, собственный предмет изучения.

Достигнутая в книге общность построений и результатов опре­деляется в первую очередь систематическим использованием поня­тия функтора. Это понятие, возникшее сначала в результате осмысли­вания общих принципов построения математических понятий и теорий и первое время служившее лишь удобным способом выра­жения, позволяющим формулировать в компактном виде некоторые общие свойства математических объектов, в этой книге приобрело все права гражданства. Впрочем, и здесь оно рассматривается не в полной общности, а лишь в той мере, в какой это необходимо для основной цели книги. Все же, изложенные в этой книге построения, а еще больше некоторые работы последних лет, явно испирированные книгой Картана и Эйленберга, отчетливо показывают, что, несмотря на большую общность понятия функтора, оно допускает плодотворное изучение ; теория функторов не исчерпывается парой тривиальных теорем, легко вытекающих из определения, а выра­стает в разветвленную математическую теорию, содержащую глу­бокие и подчас не легко получаемые результаты.

Основное внимание авторы уделяют так называемым производ­ным функторам. Оказывается, что группы гомологий различных алгебраических объектов являются некоторыми производными функ­торами, а основные общие свойства этих групп — специализациями соответствующих общих свойств производных функторов. С этой точки зрения гомологическую алгебру (по крайней мере на уровне, достигнутом ею ко времени написания этой книги) можно опреде­лить как ветвь алгебры, изучающую производные функторы. Воз­можность дать такого рода четкое определение еще раз показывает, что гомологическая алгебра выросла в самостоятельную дисци­плину.

Книга так богата идеями и результатами, что в рамках краткого предисловия невозможно охватить ее содержание даже в самых общих чертах; некоторое представление о нем можно получить из предисловия авторов и оглавления. Читатель не должен рассчи­тывать найти в этой книге изложение современного состояния гомологической алгебры во всех ее аспектах. Книга посвящена изложению общих конструкций, приводящих к понятию групп гомологий (и когомологий), и выяснению связей между различными их специализациями. В каждом конкретном случае (например, в случае конечных групп) описываются соответствующие специали­зации общих понятий и специфические их свойства (если таковые существуют). Как правило, никаких приложений введенных поня­тий к конкретным вопросам соответствующего отдела алгебры в книге не приводится (за исключением самых простых и поверх­ностных), что вполне естественно, ибо эти приложения относятся уже не к гомологической алгебре, а к теории групп, алгебр и т. д.

В книге изложены также основы алгебраической теории спект­ральных последовательностей, играющих такую важную роль во многих вопросах современной топологии. Приложения спектраль­ных последовательностей к вопросам гомологической алгебры лишь намечены в последней главе. Здесь явно открывается большой простор для дальнейших исследований.

Авторы ограничились рассмотрением функторов от модулей, хотя совершенно ясно, что основные результаты книги могут быть пере­несены в весьма широкий класс абстрактных категорий. Этим вопросам в американском издании книги посвящено Дополнение, написанное Д. Буксбаумом. Поскольку это Дополнение является, по существу, кратким конспектом появившейся несколько позже более подробной статьи¹) Буксбаума, было признано целесообразным заменить его переводом этой статьи. Отметим, что на абстрактные категории можно перенести не только основное содержание гомо­логической алгебры, но и такие более классические вещи, как теория прямых разложений и т. п.

Несмотря на то, что авторами этой книги являются известные топологи, книга имеет чисто алгебраический характер, почти не содержит топологических применений и ориентирована в первую очередь на читателя-алгебраиста. Появление ее американского издания уже дало мощный толчок исследованиям по рассматри­ваемым в ней вопросам. Знакомство с этой книгой необходимо каждому алгебраисту, желающему следить за развитием своей науки и быть в курсе ее последних достижений. Это важно, в част­ности, для советских алгебраистов, так как, хотя исходные опре­деления групп гомологий абстрактных групп были одновременно предложены в Америке и у нас, дальнейшее развитие гомологи­ческой алгебры (особенно в ее общих, принципиальных аспектах) происходило в основном за рубежом.

М. М. Постников

***