Оригинално заглавие:
HOMOLOGY and FEYNMAN INTEGRALS by Rudolph C. HWA, State University of New York at Stony Brook and Vigdor L. TEPLITZ, Massachusetts Institute of Technology
*
Одним из важных направлений современной физики является разработка и применение новых математических методов теоретического анализа, необходимых для решения возникающих в ходе развития науки все новых и все более сложных физических проблем. К числу таких проблем относится анализ фейнмановских интегралов в квантовой теории поля.
В последние годы для рассмотрения этих задач были предложены и начали успешно развиваться методы алгебраической топологии (теория гомоло-гий и когомологий), которые до сих пор не входили в арсенал средств физиков-теоретиков.
Первые его применения к простым и решенным ранее обычными средствами задачам и некоторым новым показали, что этот подход обладает большой эффективностью. По-видимому, в будущем, используя эти методы, удастся получить новые ценные результаты также и для ряда сложных задач, ожидающих своего решения.
Настоящая книга является первой в научной физической литературе попыткой систематического и при этом достаточно простого изложения этих методов для физиков. Она рассчитана на физиков-теоретиков, работающих в области теории поля и физики элементарных частиц, а также математиков, интересующихся методами теоретической физики.
*
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие переводчика 5
Литература 10
Предисловие 11
Глава 1. СИНГУЛЯРНОСТИ 15
§ 1. Введение 15
§ 2. Ландаувская поверхность 18
§ 3. Пинч в пространстве импульсов 24
§ 4. Интегралы скачков и интегралы унитарности 28
§ 5. Узлы и клювы 33
§ 6. Неландаувские сингулярности 36
§ 7. Абелевы интегралы и топология 39
Глава 2. ГОМОЛОГИЯ 42
§ 1. Введение 42
§ 2. Симплициальные комплексы 44
§ 3. Цепи, циклы и границы 47
§ 4. Группы гомологии 48
§ 5. Группы относительных гомологии 50
§ 6. Цепное отображение и индуцированный гомоморфизм ... 53
§ 7. Точные последовательности 54
§ 8. Точная гомологическая последовательность 57
Глава 3. ИНТЕГРАЛЫ 60
§ 1. Введение 60
§ 2. Компактные и замкнутые гомологии 65
§ 3. Кограничный гомоморфизм 69
§ 4. Исчезающий класс 72
§ 5. Кронекеровский индекс 79
§ 6. Теорема Пикара — Лефшеца 84
§ 7. Пример: интеграл унитарности 88
§ 8. Эффективное пересечение 92
Глава 4. СКАЧКИ НА РАЗРЕЗАХ 96
§ 1. Введение 96
§ 2. Дифференциальные формы 97
§ 3. Формула вычетов 100
§ 4. Формулы для скачков на разрезах 104
Глава 5. ЕЩЕ О ГОМОЛОГИИ 106
§ 1. Введение 106
§ 2. Гомотопия 107
§ 3. Многообразия и алгебраические многообразия 109
§ 4. Когомология 113
§ 5. Расслоенные пространства 117
§ 6. Спектральные последовательности 119
§ 7. Категории и функторы .124
§ 8. Пучки 126
Глава 6. РЕЗУЛЬТАТЫ 130
§ 1. Теорема об окружающей изотопии 130
§ 2. Процедура компактификации 133
§ 3. Теорема о разложении 13о
§ 4. Заключение 137
Литература 140
Дополнение 1. ПРИЛОЖЕНИЕ ИЗОТОПИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ (Д. Фотиади, М. Фруассар, Ж. Ласку, Ф. Фам) 142
Введение 142
I. Окружающие изотопические деформации 142
§ 1. Обозначения и определения 143
§ 2. Теорема о деформациях и ее следствие 145
§ 3. 2-окружающая изотопия; отображение, класс, подпространство, компонент 151
§ 4. Аналитичность интеграла (приложение изотопии) 153
II. Теоремы о разложениях 155
§ 1. Лемма об исчезновении 155
§ 2. Компактное когомотопическое разложение пространств . . . 156
§ 3. Компактное гомологическое разложение для многообразий . . 158
Приложение 161
III. Двойственность при точечном пересечении 162
Приложение 164
IV. Формула Пикара — Лефшеца 170
Введение 170
§ 1. Нулевой пинч и квадратичный нулевой пинч для (5] 5г, . .5т) 171
§ 2. Теорема Пикара — Лефшеца 172
§ 3. Локальное ветвление интеграла 181
Литература 182
Дополнение 2. ОТНОСИТЕЛЬНО НЕЛАНДАУВСКИХ СИНГУЛЯРНОСТЕЙ (П. Федербуш) 183
§ 1. Введение 183
§ 2. Собственно-энергетическая и вертексная диаграммы .... 183
§ 3. Лестничная диаграмма шестого порядка 186
§ 4. Заключение 187
Литература 187
Дополнение 3. ВЫЧИСЛЕНИЕ ГОМОЛОГИЧЕСКОЙ ГРУППЫ ДЛЯ ФЕИНМАНОВСКОИ ДИАГРАММЫ ШЕСТОГО ПОРЯДКА (Я. Федербуш) 188
§ 1. Введение 188
§ 2. Математические утверждения и обозначения 189
§ 3. Фейнмановская диаграмма 191
§ 4. Заключение 218
Приложение 1 218
Приложение 2 220
Литература 221
