**
ОГЛАВЛЕНИЕ
(с грешки от сканирането на математическите символи)
Предисловие 7
ОСНОВЫ ТЕОРИИ
Глава I. Введение 9
§ 1. Некоторые понятия функционального анализа . 9
§ 2. Основные способы введения интегральных преобразований обобщенных функций 15
Глава 2. Преобразование Фурье 16
§ 1. Введение Ю
§ 2. Преобразование Фурье в 17
§ 3. Преобразование Фурье в (/?") и %' {Кп) 19
§ 4. Другие определения 21
§ 5. Асимптотические формулы 22
Глава 3. Преобразования Лапласа и Меллина 29
§ 1. Введение 29
§ 2. Правостороннее преобразование Лапласа 30
§ 3. Левостороннее преобразование Лапласа 33
§ 4. Двустороннее преобразование Лапласа 34
§ 5. Многомерное преобразование Лапласа 41
§ 6. Преобразование Меллина 44
Глава 4. Преобразование Бесселя 50
§ 1. Введение 50
§ 2. Преобразование Ганкеля. . 50
§ 3. Многомерное преобразование Ганкеля 56
§ 4. Преобразование Ганкеля —Шварца 57
§ 5. /^-преобразование 59
§ 6. /-преобразование 63
§ 7. Преобразование Харди 64
§ 8. Преобразование Конторовича — Лебедева ....... 67
Глава 5. Преобразования Стилтьеса и Гильберта 68
§ 1. Преобразование Стилтьеса 68
§ 2. Обобщенное преобразование Стилтьеса 71
§ 3. ^-преобразование 74
§ 4. Преобразование Гильберта 75
Глава 6. Преобразование Вейерштрасса 80
§ 1. Преобразование Вейерштрасса 80
§ 2. Многомерное преобразование Вейерштрасса 84
§ 3. Преобразование Вейерштрасса — Ганкеля 85
Глава 7. Другие интегральные преобразования 88
§ 1. Преобразование Варма 88
§ 2. Преобразование Пуассона — Лагерра 90
§ 3. Дробные интегралы 92
§ 4. Преобразование свертки 98
ТАБЛИЦЫ ФОРМУЛ
Перечень обозначений специальных функций и некоторых по- стоянных 99
Глава 8. Преобразование Фурье 102
§ 1. Алгебраические и связанные с ними функции 102
§ 2. Ступенчатые и связанные с ними функции, сосредоточенные на (0, оо) 132
§ 3. Ступенчатые и связанные с ними функции, сосредоточенные на (—оо, оо) 152
§ 4. Показательные функции 181
§ 5. Логарифмические функции 185
§ 6. Тригонометрические функции 200
§ 7. Ряды с дельта-функциями 235
§ 8. Функции вида /(х + Ю) 238
§ 9. Некоторые функции в Кп 244
Глава 9. Правостороннее преобразование Лапласа на [0, оо) 251
§ 1. Дельта-функция, алгебраические и связанные с ними функции 251
§ 2. Логарифмические и связанные с ними функции .... 257
§ 3. Тригонометрические функции 260
§ 4. Некоторые специальные функции 263
Литература 270
Именной указатель 283
Предметный указатель 285
Обозначения 287
***
ПРЕДИСЛОВИЕ
(с грешки от сканирането на математическите символи)
Интегральные преобразования обобщенных функций, в особенности преобразования Фурье и Лапласа, применяются в самых различных задачах математической физики и прикладной математики. В настоящей книге излагаются основы теории интегральных преобразований обобщенных функций и приводятся таблицы преобразований Фурье и Лапласа.
В первой части дается краткий обзор различных методов введения и свойств интегральных преобразований обобщенных функций, а также соответствующих пространств основных и обобщенных функций. Кроме того, в первой главе приведен небольшой вспомогательный материал по функциональному анализу. Наиболее исследованными в настоящее время являются преобразования Фурье, Лапласа, Меллина и Ганкеля; им и в этой книге уделяется наибольшее внимание. Рассмотрены также преобразования Гильберта, Стилтьеса, К, 7, Вейерштрасса, Харди, Вейерштрасса— Ганкеля, Варма, Пуассона—Лагерра, дробное интегрирование. В книге сформулированы свойства гладкости и аналитичности, единственности преобразований, приведены различные формулы обращения, формулы преобразования операций и, для некоторых преобразований, асимптотические формулы.
Для некоторых преобразований ряд результатов формулируется также и в многомерном случае. Теория многомерных интегральных преобразований обобщенных функций подробно изложена в монографии Владимирова [13]. Преобразования, связанные с ортогональными разложениями, изучаются в книге Земаняна [15].
Вторая часть содержит таблицы преобразований Фурье и Лапласа обобщенных функций из пространства <У (обобщенные функции медленного роста). Часть формул, вошедших в таблицы преобразований Фурье, публикуется впервые; некоторые формулы в переработанном виде взяты из книги Лавуана [3]. Таблицы преобразований Лапласа содержат наиболее часто встречающиеся обобщенные функции; соответствующие формулы наряду со многими другими содержатся в книге Лавуана [1].
Обобщенные функции, для которых приведены преобразования Фурье и Лапласа, имеют конечное или счетное число особенностей вида {±\пт^±, \ I \ % \пт \ I \, | * | 1пда \11 з§п /, где к— любое комплексное число, а т — натуральное число или нуль, а также особенности типа б-функции. Следует подчеркнуть, что обобщенные функции 1±г\пт1±у \1\'п\пт\1\, |/|-"1пот|/|5§п/ не являются значениями указанных выше обобщенных функций при к =—1, —2, .... Относительно определений используемых обобщенных функций см., например, книги Владимирова [14], Гельфанда и Шилова [2], Земаняна [1], Лавуана [1], Л. Шварца [1] (а также справочник «Функциональный анализ», «Наука», М., 1972). Щ В справочнике содержатся также преобразования Фурье некоторых обобщенных функций, представимых в виде пределов функций, аналитических в верхней полуплоскости:
/(х + Ю)= Пт!(х + 1у).
Для некоторых преобразований даются два выражения: в виде /(х + Ю) и через функции указанного выше типа. Кроме того, приведены преобразования для рядов с 6-функциями.
Таблицам формул предшествует перечень обозначений специальных функций и некоторых постоянных.
Библиография, помещенная в конце книги, содержит достаточно обширный список монографий и журнальных статей, посвященных интегральным преобразованиям обобщенных функций.
