В настоящем выпуске серии «СМБ» рассматриваются интегральные преобразования в пространствах обобщенных функций. Книга состоит из двух частей. В первой части дается обзор различных методов вве­дения и свойств интегральных преобразований обобщенных функций, а также соответствующих пространств основных и обобщенных функ­ций. Рассмотрены преобразования Фурье, Лапласа, Меллина, Ганкеля, Ганкеля —Шварца, К, 7, Харди, Конторовича —Лебедева, Стилтьеса, Гильберта, Вейерштрасса, Вейерштрасса — Ганкеля, Варма, Пуассона — Лагерра, свертки и дробное интегрирование. Для некоторых преобра­зований ряд результатов формулируется также и в многомерном случае. Вторая часть книги содержит таблицы преобразований Фурье и Лапласа обобщенных функций медленного роста.

Книга предназначается математикам, физикам и специалистам в области прикладной математики.

**

 ***

ПРЕДИСЛОВИЕ

(с грешки от сканирането на математическите символи)

Интегральные преобразования обобщенных функций, в особенности преобразования Фурье и Лапласа, приме­няются в самых различных задачах математической физи­ки и прикладной математики. В настоящей книге изла­гаются основы теории интегральных преобразований обоб­щенных функций и приводятся таблицы преобразований Фурье и Лапласа.

В первой части дается краткий обзор различных мето­дов введения и свойств интегральных преобразований обобщенных функций, а также соответствующих прост­ранств основных и обобщенных функций. Кроме того, в первой главе приведен небольшой вспомогательный мате­риал по функциональному анализу. Наиболее исследован­ными в настоящее время являются преобразования Фурье, Лапласа, Меллина и Ганкеля; им и в этой книге уделяется наибольшее внимание. Рассмотрены также преобразования Гильберта, Стилтьеса, К, 7, Вейерштрасса, Харди, Вейер­штрасса— Ганкеля, Варма, Пуассона—Лагерра, дробное интегрирование. В книге сформулированы свойства глад­кости и аналитичности, единственности преобразований, приведены различные формулы обращения, формулы пре­образования операций и, для некоторых преобразований, асимптотические формулы.

Для некоторых преобразований ряд результатов фор­мулируется также и в многомерном случае. Теория мно­гомерных интегральных преобразований обобщенных функций подробно изложена в монографии Владимирова [13]. Преобразования, связанные с ортогональными раз­ложениями, изучаются в книге Земаняна [15].

Вторая часть содержит таблицы преобразований Фурье и Лапласа обобщенных функций из пространства <У (обобщенные функции медленного роста). Часть формул, вошедших в таблицы преобразований Фурье, публикуется впервые; некоторые формулы в переработанном виде взяты из книги Лавуана [3]. Таблицы преобразований Лапласа содержат наиболее часто встречающиеся обобщенные функ­ции; соответствующие формулы наряду со многими дру­гими содержатся в книге Лавуана [1].

Обобщенные функции, для которых приведены преоб­разования Фурье и Лапласа, имеют конечное или счет­ное число особенностей вида {±\п^т^_±, \ I \ ^% \п^т \ I \, | * | 1п^да \11 з§п /, где к— любое комплексное число, а т — натуральное число или нуль, а также особенности типа б-функции. Следует подчеркнуть, что обобщенные функции 1±^г\п^т1_±у \1\'^п\п^т\1\, |/|-"1п^от|/|5§п/ не являются значениями указанных выше обобщенных функций при к =—1, —2, .... Относительно определений используе­мых обобщенных функций см., например, книги Влади­мирова [14], Гельфанда и Шилова [2], Земаняна [1], Лавуана [1], Л. Шварца [1] (а также справочник «Функ­циональный анализ», «Наука», М., 1972). Щ В справочнике содержатся также преобразования Фурье некоторых обобщенных функций, представимых в виде пределов функций, аналитических в верхней полу­плоскости:

/(х + Ю)= Пт!(х + 1у).

Для некоторых преобразований даются два выражения: в виде /(х + Ю) и через функции указанного выше типа. Кроме того, приведены преобразования для рядов с 6-функциями.

Таблицам формул предшествует перечень обозначений специальных функций и некоторых постоянных.

Библиография, помещенная в конце книги, содержит достаточно обширный список монографий и журнальных статей, посвященных интегральным преобразованиям обоб­щенных функций.