ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Предлагаемая вниманию советского читателя книга А. Г. Земаняна является первой монографией по теории интегральных преобразований обобщенных функций. Книга охватывает почти все важнейшие типы интеграль­ных преобразований. Автор подробно рассматривает при­ложения интегральных преобразований обобщенных фун­кций к решению ряда задач математической физики. Кни­га представляет значительный интерес также и потому, что в последнее время интегральные преобразования обоб­щенных функций находят все более широкое применение в ряде разделов теоретической физики. Отметим, что пер­вые две главы могут служить введением в теорию обоб­щенных функций.

При решении краевых задач для дифференциальных уравнений и задач теории рассеяния в теоретической физике часто приходится исследовать асимптотическое поведение обобщенных функций и их интегральных пре­образований; поэтому представилось целесообразным по­местить в конце книги написанное Ю. А. Брычковым приложение «Асимптотические разложения обобщенных функций», тесно примыкающее к кругу вопросов, затро­нутых в книге.

Еще одно приложение «Преобразование Лапласа од­ного класса обобщенных функций», принадлежащее В. В. Жаринову, посвящено классу обобщенных функций, носители которых ограничены со стороны острого выпук­лого конуса. Этот класс, нашедший важные применения в математической физике, исследован методами, близкими методам А. Г. Земаняна.

При переводе в текст были внесены исправления, лю­безно присланные автором во время работы над перево­дом. Переводчики и редактор русского'перевода выражают за это автору глубокую благодарность.

***

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

Предмет этой книги возник в результате взаимного про­никновения двух математических дисциплин, — теории ин­тегральных преобразований и теории обобщенных функ­ций. Первая теория является классическим предметом математики, литература по которому прослеживается по крайней мере на 150 лет назад. Вторая теория появи­лась совсем недавно в результате работ Лорана Шварца, которые выходили начиная с 1944 года; наиболее значи­тельной из них является его двухтомный труд «Теория распределений», опубликованной в 1950—51 гг. Отдель­ные части этой теории появлялись и раньше, в рабо­тах С. Бохнера [1] в 1927 году и С. Л. Соболева [1] в 1936 году (номера в скобках обозначают ссылки на биб­лиографию, помещенную в конце книги).

Важным достижением было распространение на обоб­щенные функции преобразования Фурье, которое стало после этого мощным орудием, особенно в теории диффе­ренциальных уравнений с частными производными. Тео­рия и приложения преобразования Фурье обобщенных функций были объектом активного исследования в течение последних пятнадцати лет. В 1952 году Л. Шварц [2] перенес на обобщенные функции также и преобразование Лапласа, и с тех пор проводились интенсивные исследо­вания в этой области. Еще одним интегральным преоб­разованием, обобщения которого были исследованы очень подробно, является преобразование Гильберта (см. Бель-трами и Волерс, [1], [2], Бремерман [1], Бремерман и Дюран Ц], Гриффит [2], Гюттингер) [1], Хорват [1], 12], Джоунс [1], ]2], Ловерье [1], Шварц [3], Тиль-ман [Ц, [2]).

Однако исследования, касающиеся распространения на обобщенные функции других интегральных преобразо­ваний, оставались в Зачаточном Состояний до Самого По­следнего времени, несмотря на то, что различные типы таких преобразований весьма многочисленны.

Цель этой книги состоит в том, чтобы изложить послед­ние результаты в теории наиболее простых и в то же вре­мя наиболее часто встречающихся интегральных преоб­разований обобщенных функций, в частности, преобра­зований Лапласа, Меллина, Ганкеля, К, Вейерштрасса и свертки, так же как и преобразований, возникающих из различных ортогональных разложений. Преобразова­ние свертки особенно интересно тем, что оно включает как частные случаи ряд таких преобразований, как одно­стороннее преобразование Лапласа, Стилтьеса и ./^-пре­образование (см. Хиршман и Уиддер [1], стр. 78—91). Мы не рассматриваем ни преобразования Фурье, ни преобразования Гильберта обобщенных функций, по­скольку соответствующие теории уже имеются в ряде книг, и нам нечего к ним добавить. В то же время мы рассмат­риваем преобразование Лапласа, так как преобразования Меллина и Вейерштрасса могут быть получены из него некоторой заменой переменных; теория, представленная здесь, не опирается на преобразование Фурье и поэтому отлична от подхода Шварца в теории преобразования Лап­ласа (но эквивалентна ему).

Фактически любые интегральные преобразования, упо­мянутые выше, совсем не трудно определить для обоб­щенных функций, если наложить достаточные ограниче­ния на эти обобщенные функции. Трудности возникают либо при получении формулы обращения, либо при доказа­тельстве теоремы единственности, а наличие этих ре­зультатов необходимо, если мы хотим, чтобы интегральные преобразования обобщенных функций стали мощным ана­литическим средством. Такие результаты получены для всех интегральных преобразований, рассмотренных в книге.

Как и в теории распределений и обобщенных функций, читатель встретит в этой книге большое количество раз­личных пространств основных функций и сопряженных к ним пространств. Это может привести в замешательство, особенно в связи с тем, что система обозначений становит­ся почти устрашающей. Однако нет возможности из­бежать этой ситуации, если мы желаем достичь той сте­пени общности, к которой мы стремимся в этой книге. Каждое интегральное преобразование требует специаль­ного пространства основных функций, которое приспособ­лено к определенным свойствам ядра преобразования. Од­нако во всех случаях существует один объединяющий момент. Пусть I — интервал интегрирования для рас­сматриваемого обычного преобразования, и пусть Щ' (I) — пространство распределений, носители которых являются компактными подмножествами / (см. п. 2.3). Тогда ока­зывается, что соответствующее интегральное преобразо­вание обобщенных функций всегда определено на элемен­тах ё' (I). Таким образом, во всех случаях при выполне­нии этого простого критерия преобразование применимо.

Между прочим, даже в классической теории интеграль­ных преобразований существует, по крайней мере неяв­но, большое количество пространств функций. Действи­тельно, каждый раз, когда мы налагаем совокупность ус­ловий, при выполнении которых преобразование приме­нимо к функции, мы тем самым выбираем пространство функций в области определения преобразования. Однако в противоположность теории обобщенных функций в клас­сической теории, в общем случае нет необходимости обоз­начать эти пространства функций специальными симво­лами.

Эта книга основана на аспирантском курсе, прочи­танном в Нью-Йоркском государственном университете в Стоуни Брук; курс предназначен как для студентов-ма­тематиков, так и для инженеров. Это отражено в том факте, что значительная часть книги посвящена применению ин­тегральных преобразований обобщенных функций к раз­личным задачам с начальными и граничными условиями, а также к некоторым задачам теории систем. Тем не ме­нее основное внимание уделяется теории этих преобразо­ваний.

Предполагается, что читатель знаком с обычным кур­сом современного анализа и поэтому свободно может поль­зоваться стандартными теоремами о перестановке пре­дельных переходов. Предполагается также некоторое зна­ние теории функций комплексной переменной и интеграла Лебега, включая теорему Фубини. С другой стороны, ре­зультаты, касающиеся топологических линейных нрос-странств и обобщенных функций, которые нам понадобят­ся, рассмотрены в первых двух главах. В немногих слу­чаях имеются ссылки на некоторые результаты, касаю­щиеся распределений (Земанян [1]). Мы свободно исполь­зуем различные свойства специальных функций, которые имеются в таких стандартных справочниках, как Янке, Эмде и Леш [1], Эрдейи [1]. Мы также используем без до­казательства ряд классических результатов из обычной теории интегральных преобразований, в частности ком­плексную формулу обращения для преобразования Лапла­са (и. 3.5), формулу обращения для преобразования Ганке-ля (п. 5.1), разложения в ортонормальные ряды в про­странстве %₂ (а, Ь) (п. 9.2) и теорему Рисса — Фишера (п. 9.2). Поскольку доказательства этих результатов имеются во многих книгах, приводить их еще раз пред­ставляется мало оправданным. Наконец, в пи. 8.5 и 8.6 мы рассматриваем два специальных типа преобразований свертки обобщенных функций на основе некоторых ре­зультатов из книги Хиршмана и Уиддера о преобразова­ниях  типа свертки.

Для всех теорем, следствий, лемм, примеров и рисун­ков используется тройная система нумерации; первыми двумя числами обозначается пункт, в котором они впер­вые появились. Например, лемма 1.8.1 и теорема 1.8.1 — это соответственно первая лемма и первая теорема пунк­та 1.8. В то же время формулы имеют одинарную нумера­цию, начинающуюся с (1) в каждом пункте.

А. Г. Земанян

Сентябрь 1968