Интегральные преобразования обобщенных функций

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Предлагаемая вниманию советского читателя книга А. Г. Земаняна является первой монографией по теории интегральных преобразований обобщенных функций. Книга охватывает почти все важнейшие типы интеграль­ных преобразований. Автор подробно рассматривает при­ложения интегральных преобразований обобщенных фун­кций к решению ряда задач математической физики. Кни­га представляет значительный интерес также и потому, что в последнее время интегральные преобразования обоб­щенных функций находят все более широкое применение в ряде разделов теоретической физики. Отметим, что пер­вые две главы могут служить введением в теорию обоб­щенных функций.

При решении краевых задач для дифференциальных уравнений и задач теории рассеяния в теоретической физике часто приходится исследовать асимптотическое поведение обобщенных функций и их интегральных пре­образований; поэтому представилось целесообразным по­местить в конце книги написанное Ю. А. Брычковым приложение «Асимптотические разложения обобщенных функций», тесно примыкающее к кругу вопросов, затро­нутых в книге.

Еще одно приложение «Преобразование Лапласа од­ного класса обобщенных функций», принадлежащее В. В. Жаринову, посвящено классу обобщенных функций, носители которых ограничены со стороны острого выпук­лого конуса. Этот класс, нашедший важные применения в математической физике, исследован методами, близкими методам А. Г. Земаняна.

При переводе в текст были внесены исправления, лю­безно присланные автором во время работы над перево­дом. Переводчики и редактор русского'перевода выражают за это автору глубокую благодарность.

***

ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА

Предмет этой книги возник в результате взаимного про­никновения двух математических дисциплин, — теории ин­тегральных преобразований и теории обобщенных функ­ций. Первая теория является классическим предметом математики, литература по которому прослеживается по крайней мере на 150 лет назад. Вторая теория появи­лась совсем недавно в результате работ Лорана Шварца, которые выходили начиная с 1944 года; наиболее значи­тельной из них является его двухтомный труд «Теория распределений», опубликованной в 1950—51 гг. Отдель­ные части этой теории появлялись и раньше, в рабо­тах С. Бохнера [1] в 1927 году и С. Л. Соболева [1] в 1936 году (номера в скобках обозначают ссылки на биб­лиографию, помещенную в конце книги).

Важным достижением было распространение на обоб­щенные функции преобразования Фурье, которое стало после этого мощным орудием, особенно в теории диффе­ренциальных уравнений с частными производными. Тео­рия и приложения преобразования Фурье обобщенных функций были объектом активного исследования в течение последних пятнадцати лет. В 1952 году Л. Шварц [2] перенес на обобщенные функции также и преобразование Лапласа, и с тех пор проводились интенсивные исследо­вания в этой области. Еще одним интегральным преоб­разованием, обобщения которого были исследованы очень подробно, является преобразование Гильберта (см. Бель-трами и Волерс, [1], [2], Бремерман [1], Бремерман и Дюран Ц], Гриффит [2], Гюттингер) [1], Хорват [1], 12], Джоунс [1], ]2], Ловерье [1], Шварц [3], Тиль-ман [Ц, [2]).

Однако исследования, касающиеся распространения на обобщенные функции других интегральных преобразо­ваний, оставались в Зачаточном Состояний до Самого По­следнего времени, несмотря на то, что различные типы таких преобразований весьма многочисленны.

Цель этой книги состоит в том, чтобы изложить послед­ние результаты в теории наиболее простых и в то же вре­мя наиболее часто встречающихся интегральных преоб­разований обобщенных функций, в частности, преобра­зований Лапласа, Меллина, Ганкеля, К, Вейерштрасса и свертки, так же как и преобразований, возникающих из различных ортогональных разложений. Преобразова­ние свертки особенно интересно тем, что оно включает как частные случаи ряд таких преобразований, как одно­стороннее преобразование Лапласа, Стилтьеса и ./^-пре­образование (см. Хиршман и Уиддер [1], стр. 78—91). Мы не рассматриваем ни преобразования Фурье, ни преобразования Гильберта обобщенных функций, по­скольку соответствующие теории уже имеются в ряде книг, и нам нечего к ним добавить. В то же время мы рассмат­риваем преобразование Лапласа, так как преобразования Меллина и Вейерштрасса могут быть получены из него некоторой заменой переменных; теория, представленная здесь, не опирается на преобразование Фурье и поэтому отлична от подхода Шварца в теории преобразования Лап­ласа (но эквивалентна ему).

Фактически любые интегральные преобразования, упо­мянутые выше, совсем не трудно определить для обоб­щенных функций, если наложить достаточные ограниче­ния на эти обобщенные функции. Трудности возникают либо при получении формулы обращения, либо при доказа­тельстве теоремы единственности, а наличие этих ре­зультатов необходимо, если мы хотим, чтобы интегральные преобразования обобщенных функций стали мощным ана­литическим средством. Такие результаты получены для всех интегральных преобразований, рассмотренных в книге.

Как и в теории распределений и обобщенных функций, читатель встретит в этой книге большое количество раз­личных пространств основных функций и сопряженных к ним пространств. Это может привести в замешательство, особенно в связи с тем, что система обозначений становит­ся почти устрашающей. Однако нет возможности из­бежать этой ситуации, если мы желаем достичь той сте­пени общности, к которой мы стремимся в этой книге. Каждое интегральное преобразование требует специаль­ного пространства основных функций, которое приспособ­лено к определенным свойствам ядра преобразования. Од­нако во всех случаях существует один объединяющий момент. Пусть I — интервал интегрирования для рас­сматриваемого обычного преобразования, и пусть Щ' (I) — пространство распределений, носители которых являются компактными подмножествами / (см. п. 2.3). Тогда ока­зывается, что соответствующее интегральное преобразо­вание обобщенных функций всегда определено на элемен­тах ё' (I). Таким образом, во всех случаях при выполне­нии этого простого критерия преобразование применимо.

Между прочим, даже в классической теории интеграль­ных преобразований существует, по крайней мере неяв­но, большое количество пространств функций. Действи­тельно, каждый раз, когда мы налагаем совокупность ус­ловий, при выполнении которых преобразование приме­нимо к функции, мы тем самым выбираем пространство функций в области определения преобразования. Однако в противоположность теории обобщенных функций в клас­сической теории, в общем случае нет необходимости обоз­начать эти пространства функций специальными симво­лами.

Эта книга основана на аспирантском курсе, прочи­танном в Нью-Йоркском государственном университете в Стоуни Брук; курс предназначен как для студентов-ма­тематиков, так и для инженеров. Это отражено в том факте, что значительная часть книги посвящена применению ин­тегральных преобразований обобщенных функций к раз­личным задачам с начальными и граничными условиями, а также к некоторым задачам теории систем. Тем не ме­нее основное внимание уделяется теории этих преобразо­ваний.

Предполагается, что читатель знаком с обычным кур­сом современного анализа и поэтому свободно может поль­зоваться стандартными теоремами о перестановке пре­дельных переходов. Предполагается также некоторое зна­ние теории функций комплексной переменной и интеграла Лебега, включая теорему Фубини. С другой стороны, ре­зультаты, касающиеся топологических линейных нрос-странств и обобщенных функций, которые нам понадобят­ся, рассмотрены в первых двух главах. В немногих слу­чаях имеются ссылки на некоторые результаты, касаю­щиеся распределений (Земанян [1]). Мы свободно исполь­зуем различные свойства специальных функций, которые имеются в таких стандартных справочниках, как Янке, Эмде и Леш [1], Эрдейи [1]. Мы также используем без до­казательства ряд классических результатов из обычной теории интегральных преобразований, в частности ком­плексную формулу обращения для преобразования Лапла­са (и. 3.5), формулу обращения для преобразования Ганке-ля (п. 5.1), разложения в ортонормальные ряды в про­странстве %₂ (а, Ь) (п. 9.2) и теорему Рисса — Фишера (п. 9.2). Поскольку доказательства этих результатов имеются во многих книгах, приводить их еще раз пред­ставляется мало оправданным. Наконец, в пи. 8.5 и 8.6 мы рассматриваем два специальных типа преобразований свертки обобщенных функций на основе некоторых ре­зультатов из книги Хиршмана и Уиддера о преобразова­ниях  типа свертки.

Для всех теорем, следствий, лемм, примеров и рисун­ков используется тройная система нумерации; первыми двумя числами обозначается пункт, в котором они впер­вые появились. Например, лемма 1.8.1 и теорема 1.8.1 — это соответственно первая лемма и первая теорема пунк­та 1.8. В то же время формулы имеют одинарную нумера­цию, начинающуюся с (1) в каждом пункте.

А. Г. Земанян

Сентябрь 1968