Интегрални преобразувания на обобщени функции (преводна американска книга на руски език)
Книгата представя теорията на интегралните преобразувания на обобщени функции, основана на оригиналния метод, създаден от автора. В началото на книгата е представена съответната адаптирана за тази цел теория на обобщените функции. Разглежда се и приложението на интегрални преобразувания на обобщени функции към задачи на математическата физика.
А. Г. Земанян (автор)
Издателство: | Наука |
Език: | руски език |
Раздел: | Математика |
Преводачи: | Ю. А. Брычков | А. П. Прудников |
Етикети: |
Твърда корица, среден формат | 400 стр. | 461 гр.
(използвана книга - подчертавано и водени записки върху 41 стр. в началото, останалата част е без следи от употреба)
*
В книге излагается теория интегральных преобразований обобщенных функций на основе созданного автором оригинального метода. Соответствующая приспособленная для этой цели теория обобщенных функций излагается в начале книги. Рассматривается также приложение интегральных преобразований обобщенных функций к задачам математической физики.
**
ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА
Предлагаемая вниманию советского читателя книга А. Г. Земаняна является первой монографией по теории интегральных преобразований обобщенных функций. Книга охватывает почти все важнейшие типы интегральных преобразований. Автор подробно рассматривает приложения интегральных преобразований обобщенных функций к решению ряда задач математической физики. Книга представляет значительный интерес также и потому, что в последнее время интегральные преобразования обобщенных функций находят все более широкое применение в ряде разделов теоретической физики. Отметим, что первые две главы могут служить введением в теорию обобщенных функций.
При решении краевых задач для дифференциальных уравнений и задач теории рассеяния в теоретической физике часто приходится исследовать асимптотическое поведение обобщенных функций и их интегральных преобразований; поэтому представилось целесообразным поместить в конце книги написанное Ю. А. Брычковым приложение «Асимптотические разложения обобщенных функций», тесно примыкающее к кругу вопросов, затронутых в книге.
Еще одно приложение «Преобразование Лапласа одного класса обобщенных функций», принадлежащее В. В. Жаринову, посвящено классу обобщенных функций, носители которых ограничены со стороны острого выпуклого конуса. Этот класс, нашедший важные применения в математической физике, исследован методами, близкими методам А. Г. Земаняна.
При переводе в текст были внесены исправления, любезно присланные автором во время работы над переводом. Переводчики и редактор русского'перевода выражают за это автору глубокую благодарность.
***
ПРЕДИСЛОВИЕ АВТОРА
Предмет этой книги возник в результате взаимного проникновения двух математических дисциплин, — теории интегральных преобразований и теории обобщенных функций. Первая теория является классическим предметом математики, литература по которому прослеживается по крайней мере на 150 лет назад. Вторая теория появилась совсем недавно в результате работ Лорана Шварца, которые выходили начиная с 1944 года; наиболее значительной из них является его двухтомный труд «Теория распределений», опубликованной в 1950—51 гг. Отдельные части этой теории появлялись и раньше, в работах С. Бохнера [1] в 1927 году и С. Л. Соболева [1] в 1936 году (номера в скобках обозначают ссылки на библиографию, помещенную в конце книги).
Важным достижением было распространение на обобщенные функции преобразования Фурье, которое стало после этого мощным орудием, особенно в теории дифференциальных уравнений с частными производными. Теория и приложения преобразования Фурье обобщенных функций были объектом активного исследования в течение последних пятнадцати лет. В 1952 году Л. Шварц [2] перенес на обобщенные функции также и преобразование Лапласа, и с тех пор проводились интенсивные исследования в этой области. Еще одним интегральным преобразованием, обобщения которого были исследованы очень подробно, является преобразование Гильберта (см. Бель-трами и Волерс, [1], [2], Бремерман [1], Бремерман и Дюран Ц], Гриффит [2], Гюттингер) [1], Хорват [1], 12], Джоунс [1], ]2], Ловерье [1], Шварц [3], Тиль-ман [Ц, [2]).
Однако исследования, касающиеся распространения на обобщенные функции других интегральных преобразований, оставались в Зачаточном Состояний до Самого Последнего времени, несмотря на то, что различные типы таких преобразований весьма многочисленны.
Цель этой книги состоит в том, чтобы изложить последние результаты в теории наиболее простых и в то же время наиболее часто встречающихся интегральных преобразований обобщенных функций, в частности, преобразований Лапласа, Меллина, Ганкеля, К, Вейерштрасса и свертки, так же как и преобразований, возникающих из различных ортогональных разложений. Преобразование свертки особенно интересно тем, что оно включает как частные случаи ряд таких преобразований, как одностороннее преобразование Лапласа, Стилтьеса и ./^-преобразование (см. Хиршман и Уиддер [1], стр. 78—91). Мы не рассматриваем ни преобразования Фурье, ни преобразования Гильберта обобщенных функций, поскольку соответствующие теории уже имеются в ряде книг, и нам нечего к ним добавить. В то же время мы рассматриваем преобразование Лапласа, так как преобразования Меллина и Вейерштрасса могут быть получены из него некоторой заменой переменных; теория, представленная здесь, не опирается на преобразование Фурье и поэтому отлична от подхода Шварца в теории преобразования Лапласа (но эквивалентна ему).
Фактически любые интегральные преобразования, упомянутые выше, совсем не трудно определить для обобщенных функций, если наложить достаточные ограничения на эти обобщенные функции. Трудности возникают либо при получении формулы обращения, либо при доказательстве теоремы единственности, а наличие этих результатов необходимо, если мы хотим, чтобы интегральные преобразования обобщенных функций стали мощным аналитическим средством. Такие результаты получены для всех интегральных преобразований, рассмотренных в книге.
Как и в теории распределений и обобщенных функций, читатель встретит в этой книге большое количество различных пространств основных функций и сопряженных к ним пространств. Это может привести в замешательство, особенно в связи с тем, что система обозначений становится почти устрашающей. Однако нет возможности избежать этой ситуации, если мы желаем достичь той степени общности, к которой мы стремимся в этой книге. Каждое интегральное преобразование требует специального пространства основных функций, которое приспособлено к определенным свойствам ядра преобразования. Однако во всех случаях существует один объединяющий момент. Пусть I — интервал интегрирования для рассматриваемого обычного преобразования, и пусть Щ' (I) — пространство распределений, носители которых являются компактными подмножествами / (см. п. 2.3). Тогда оказывается, что соответствующее интегральное преобразование обобщенных функций всегда определено на элементах ё' (I). Таким образом, во всех случаях при выполнении этого простого критерия преобразование применимо.
Между прочим, даже в классической теории интегральных преобразований существует, по крайней мере неявно, большое количество пространств функций. Действительно, каждый раз, когда мы налагаем совокупность условий, при выполнении которых преобразование применимо к функции, мы тем самым выбираем пространство функций в области определения преобразования. Однако в противоположность теории обобщенных функций в классической теории, в общем случае нет необходимости обозначать эти пространства функций специальными символами.
Эта книга основана на аспирантском курсе, прочитанном в Нью-Йоркском государственном университете в Стоуни Брук; курс предназначен как для студентов-математиков, так и для инженеров. Это отражено в том факте, что значительная часть книги посвящена применению интегральных преобразований обобщенных функций к различным задачам с начальными и граничными условиями, а также к некоторым задачам теории систем. Тем не менее основное внимание уделяется теории этих преобразований.
Предполагается, что читатель знаком с обычным курсом современного анализа и поэтому свободно может пользоваться стандартными теоремами о перестановке предельных переходов. Предполагается также некоторое знание теории функций комплексной переменной и интеграла Лебега, включая теорему Фубини. С другой стороны, результаты, касающиеся топологических линейных нрос-странств и обобщенных функций, которые нам понадобятся, рассмотрены в первых двух главах. В немногих случаях имеются ссылки на некоторые результаты, касающиеся распределений (Земанян [1]). Мы свободно используем различные свойства специальных функций, которые имеются в таких стандартных справочниках, как Янке, Эмде и Леш [1], Эрдейи [1]. Мы также используем без доказательства ряд классических результатов из обычной теории интегральных преобразований, в частности комплексную формулу обращения для преобразования Лапласа (и. 3.5), формулу обращения для преобразования Ганке-ля (п. 5.1), разложения в ортонормальные ряды в пространстве %2 (а, Ь) (п. 9.2) и теорему Рисса — Фишера (п. 9.2). Поскольку доказательства этих результатов имеются во многих книгах, приводить их еще раз представляется мало оправданным. Наконец, в пи. 8.5 и 8.6 мы рассматриваем два специальных типа преобразований свертки обобщенных функций на основе некоторых результатов из книги Хиршмана и Уиддера о преобразованиях типа свертки.
Для всех теорем, следствий, лемм, примеров и рисунков используется тройная система нумерации; первыми двумя числами обозначается пункт, в котором они впервые появились. Например, лемма 1.8.1 и теорема 1.8.1 — это соответственно первая лемма и первая теорема пункта 1.8. В то же время формулы имеют одинарную нумерацию, начинающуюся с (1) в каждом пункте.
А. Г. Земанян
Сентябрь 1968
При покупка на стойност:
Срок за доставка до офис на Еконт или Спиди: Поръчваш днес, получаваш утре!
За редовни клиенти, закупили книгите си с регистрация, се определя персонална отстъпка с код за отстъпка, за пазаруване независимо от стойността на покупката.
За пазаруващите само с "Бърза поръчка", не се предлага код за постоянна отстъпка, поради невъзможността да бъде вписан такъв.
Поръчки направени до 17.00 ч. в делничен ден - за София и страната, обикновено се изпращат в същия ден и се доставят на следващия, или според графика на куриерската фирма. При пристигането на пратката в офиса на Еконт клиентите, направили поръчка с регистрация, получават имейл и SMS, а с "Бърза поръчка" - само SMS.
След преглед на пратката в присъствието на куриера, се заплаща наложен платеж. Към книгите от всяка поръчка се издава фискален бон, а при заявено желание и опростена фактура, както на фирми, така и на физически лица.
Ако книгата или книгите не отговарят на описаното състояние при поръчката, то той се освобождава от заплащане на пратката в двете посоки, след разговор по телефона с подателя.
Ако клиента след преглед прецени, че книгата или книгите не са му необходими, то той следва да ги върне на подателя, като заплати пощенските разходи в двете посоки.
За София - лично предаване
Среща с предварителна уговорка на две места в кв. Орландовци:
1. За пристигащите с трамвай (№ 3, 4 или 18): трамвайна спирка "Католически гробищен парк" (виж на картата) около 7-9 мин от пл. Лъвов мост.
2. За пристигащите с автомобил: кв. Орландовци, ул. Железопътна 18, пред магазин Билла (виж на картата)
Предимствата на този начин за получаване: възможност за внимателно разглеждане на книгите, получаване в същия ден и спестяване на пощенските разходи.
След уточняване на всички подробности и потвърждение от страна на клиента.