В книге изложены классические теории Фредгольма и Гильбер­та — Шмидта, которые существенно дополнены изложением теории интегральных уравнений с неотрицательными ядрами и уравнений, содержащих вполне непрерывные операторы.

Две главы посвящены изложению теории сингулярных урав­нений — одномерных и многомерных, одна глава содержит изложе­ние теории интегральных уравнений с почти разностным ядром и одна глава, последняя в книге, посвящена нелинейным интеграль­ным уравнениям. В этой главе приводятся признаки полной непрерыв­ности нелинейных интегральных операторов и рассмотрены вопросы существования и единственности, продолжения и ветвления реше­ний уравнений, содержащих нелинейные интегральные операторы.

Одна глава содержит приложения теории интегральных урав­нений к некоторым задачам математической физики.

Книга предназначена для математиков, физиков, механиков, инженеров, использующих в своей деятельности методы теории интегральных уравнений. Она может быть использована аспирантами и студентами старших курсов механико-математических и физико-математических факультетов университетов, инженерно-физических, физико-технических и педагогических институтов.

**

ПРЕДИСЛОВИЕ

Под общим названием «интегральные уравнения» известны вещи, порой мало похожие одна на другую. Их объединяет, однако, такая важная черта: в подавляющем большинстве слу­чаев дело идет об уравнениях, содержащих неизвестную функцию под знаком ограниченного, а часто и вполне непре­рывного оператора, действующего в некотором функциональ­ном банаховом пространстве.

Авторы имели целью дать изложение основных резуль­татов, относящихся к интегральным уравнениям.

В книге изложены классические теории Фредгольма и Гильберта — Шмидта (главы II и III); предшествующая этому глава I содержит описание важнейших типов интегральных уравнений и некоторые сведения об интегральных уравнениях, решаемых в «замкнутом» виде. Важным дополнением к главе II и III является глава IV, содержащая теорию интегральных уравнений с неотрицательными ядрами; развитием этой теории мы в значительной мере обязаны работам М. Г. Крейна. Изложение первых четырех глав достаточно элементарное.

Как известно, теория Фредгольма была обобщена на урав­нения, содержащие вполне непрерывные операторы. Этому обобщению посвящена глава V.

В главе VI рассмотрены одномерные (т. е. с одной незави­симой переменной) сингулярные интегральные уравнения. От уравнений, рассмотренных в предшествующих главах, их существенно отличает то обстоятельство, что сингулярные ин­тегральные, операторы не вполне непрерывны, а только огра­ничены в обычных функциональных пространствах.

Перечисленные выше типы интегральных уравнений дали наибольшее количество приложений, поэтому непосредственно следующая глава VII посвящена приложениям интегральных уравнений к математической физике.  Глава VIII содержит изложение теории «почти разностных» интегральных уравнений; сюда относятся такие важные типы интегральных уравнений, как уравнения Винера — Хопфа или парные интегральные уравнения. В главе IX приведены основные результаты теории многомерных сингулярных интегральных уравнений. В гла­вах VIII и IX, как и в главе VI, дело идет об интегральных операторах ограниченных, по не вполне непрерывных.

До сих пор речь шла только о линейных уравнениях. Глава X — последняя в книге—посвящена нелинейным инте­гральным уравнениям. В этой главе излагаются признаки полной непрерывности нелинейных интегральных операторов; для уравнений, содержащих такие операторы, рассмотрены вопросы существования и единственности, а также продолже­ния и ветвления решений.

Главы I—III, VI, IX написаны С. Г. Михлиным. Главы IV, V, X написали совместно П. П. Забрейко, М. А. Красно­сельский и В. Я. Стеценко. Главу VII написал А. И, Коше-лев, главу VIII — Л. С. Раковщик.

25 мая 1966 г.

Авторы