ПЕРЕВОД С ФРАНЦУЗСКОГО

Е. И. СТЕЧКИНОЙ

ПОД РЕДАКЦИЕЙ

Ю. В. ПРОХОРОВА

*

От вътрешната страна на обложката:

Группа французских матема­тиков, объединенная под псев­донимом «Бурбаки», поставила перед собой цель — написать под общим заглавием «Элементы математики» полный трактат современной математической науки.

Много томов этого трактата уже вышло во Франции. Они вызвали большой интерес мате­матиков всего мира как новиз­ной изложения, так и высоким научным уровнем.

Книга рассчитана на матема­тиков — научных работников, аспирантов и студентов старших курсов.

*

ОТ РЕДАКЦИИ

Настоящий выпуск, завершающий книгу VI «Интегрирование», носит не совсем обычный характер: он содержит главы III — V и главу IX. Главы I — VIII уже были опубликованы в русском переводе: в 1967 г. (гл. I - V) и в 1970 г. (гл. VI - VIII).

При написании последней, девятой, главы были существенным образом переработаны главы III — V с целью распространения излагаемых понятий и результатов на более общие пространства. Изложение IX главы в значительной мере построено при помощи системы ссылок (в основном на указанные главы).

В связи с этим в настоящей книге вместе с переводом гла­вы IX представлен перевод глав III — V со второго француз­ского издания.

Во избежание путаницы система ссылок оставлена в том виде, как она дана в оригинале — указываются номера француз­ских изданий; отсутствие номера означает первое издание (или ссылку внутри главы).

Глава IX посвящена интегрированию в отделимых топологи­ческих пространствах, не обязательно локально компактных, и в частности, в локально выпуклых пространствах, что дает возможность распространить на них теорию преобразований Фурье. В этой главе избран способ изложения, позволяющий, в случае компактных пространств, использовать предыдущие главы.

Главы III, IV отличаются от первого издания прежде всего многочисленными изменениями, связанными с рассмотрением комплексных мер. Глава IV — кроме того, введением понятия сходимости по мере и добавлением нового параграфа, посвящен­ного барицентрам компактных связных множеств и теоремам Шоке об их выражении при помощи мер.

Основные изменения главы V носят следующий характер. Учи­тывая, что существенный верхний интеграл с нескольких точек зрения обладает более удовлетворительными свойствами, чем обыч­ный верхний интеграл, посвященный ему параграф был расширен. Точно так же более подробно изучена теория суммируемых семейств положительных мер. Введено понятие диффузии; понятие ц-согла-сованного семейства положительных мер слегка обобщено, с тем чтобы  иметь  возможность  определить  композицию диффузий.

Для систематического изучения комплексных мер потребовалось частично отказаться от точки зрения пространств Рисса. Наконец, были изменены различные доказательства, с тем чтобы результаты могли в дальнейшем использоваться для случая отделимых про­странств (не обязательно локально компактных), каковые изучают­ся в главе IX.

Терминология настоящего выпуска в некоторых случаях отлична от принятой в других выпусках: она приближена к тер­минологии, употребляющейся в соответствующей русской научной литературе по теории вероятностей. Все расхождения будут отмечены в предметном указателе.