ПРЕДИСЛОВИЕ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Прошло всего два года с тех пор, как вышло первое издание нашей книги, однако мы решили подвергнуть многие главы коренной переработке. Дело в том, что хотя книга вышла в 1947 году, но её составление относится ещё к предвоенному времени, между тем, в последнее десятилетие был получен целый ряд новых результатов качественной теории, и стали ясными те направления, по которым идёт её приложение к практике. В связи с этим оказалось мало обоснованным рассматривать лишь такие системы дифференциальных уравнений, которые не содержат явно «времени» в правых частях. Таким образом подвергся коренной переработке материал, заключающийся во введении, первой и второй главах. В эти главы включено изложение многих важных теорий, в первую очередь основ теории А. М. Ляпунова. Внесены значительные дополнения в теорию динамических систем: эти дополнения отражают достижения советских математиков. Относительно мало изменена лишь глава VI «Системы с интегральным инвариантом».
Авторы надеются, что в этом виде книга, во-первых, ярче выявит большие достижения русской науки в качественной теории и, во-вторых, станет более полезной для прикладников.
В заключение отметим, что материал различных глав в равной мере перерабатывался обоими авторами, поэтому уже нельзя указать, какие главы написаны одним автором и какие другим.
Монография в этом издании попрежнему тесно связана с работой руководимого авторами семинара по качественной теории дифференциальных уравнений в Московском университете; многие новые теоремы и доказательства принадлежат молодым участникам этого семинара, что каждый раз оговорено в тексте.
Май 1949 Г. Авторы
**
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Настоящая монография возникла в результате совместной работы авторов в качестве руководителей ряда семинаров в Московском университете. Это в значительной мере определило содержание книги. Она не ставит своей целью дать энциклопедию качественных методов в теории дифференциальных зфавнений; выбор материала обусловлен научными интересами авторов и общим направлением московской математической школы. Разбираемые в этой книге темы объединены одной общей идеей: по существу это теория геометрических и даже, точнее, топологических свойств семейства интегральных кривых. Некоторым отступлением от этой программы являются главы II и III, где рассматриваются также аффинные инварианты этого семейства, а также глава V, где мы имеем дело с метрической геометрией семейства интегральных кривых. Ввиду такого плана монографии в ней, в частности, совершенно не представлена столь богатая результатами и приложениями теория устойчивости по Ляпунову, бесспорно относящаяся к качественной теории дифференциальных уравнений.
В заключение укажем, что хотя работа над книгой проходила в тесном контакте между авторами, но отдельные главы написаны отдельными авторами. Именно: введение игл. IV и V написаны В. В. Степановым, а гл. I, II и III —В. В. Немыцким.
Авторы
***
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие ко второму изданию 5
Предисловие к первому изданию 6
Введение 7
Глава I. Теоремы существования и непрерывности 11
§ 1. Теорема существования 11
§ 2. Некоторые теоремы единственности и непрерывности . . 19
§ 3. Динамические системы, определяемые системой дифференциальных уравнений 26
§ 4. Выпрямляемые семейства интегральных кривых 39
§ 5. Поле линейных элементов 44
Глава II. Интегральные кривые системы двух дифференциальных уравнений 48
§ 1. Общие свойства интегральных кривых на плоскости 48
§ 2. Траектории на торе 65
§ 3. Геометрическая классификация особых точек 77
§ 4. Аналитические критерии для различения типов особой точки 84
§ 5. Критерии существования периодических решений 142
Глава III. Общее исследование системы п дифференциальных уравнений (асимптотическое поведение решений) 165
Введение 165
§ 1. Общие теоремы о системах линейных уравнений 169
§ 2. Приводимые системы 176
§ 3. Теория характеристичных чисел А. М. Ляпунова 182
§ 4. Качественное исследование систем линейных уравнений с постоянными коэффициентами и приводимых систем 201
§ 5. Почти линейные системы 218
Глава IV. Исследование окрестности особей точки и периодического решения для системы п дифференциальных уравнений 232
§ 1. Исследование окрестности особой точки в аналитическом случае 232
§ 2. Исследование окрестности особой точки в общем случае 261
§ 3. Устойчивость по Ляпунову по первому приближению 285
§ 4. Исследование интегральных кривых в окрестности периодического движения . 291
§ 5. Метод поверхностей сечения 314
Глава V. Общая теория динамических систем 345
§ 1. Общие свойства динамических систем 346
§ 2. Локальная структура динамической системы 351
§ 3. Предельные свойства динахмических систем 357
§ 4. Устойчивость по Пуассону 363
§ 5. Возврадаемость областей. Центральные движения 372
§ 6. Минимальный центр притяжения 389
§ 7. Минимальные множества и рекуррентные движения 400
§ 8. Пойти периодические движения 411
§ 9. Асимптотические траектории 426
§10. Вполне неустойчивые динамические системы 429
§11. Динамические системы, устойчивые по Ляпунову . 443
Глава VI. Системы с интегральным инвариантом 449
§ 1. Определение интегрального инварианта . 449
§ 2. Мера Каратеодоря 456
§ 3. Теоремы возвращения 469
§ 4. Теоремы Гопфа 475
§ 5. Эргодическая теорема Биркгофа 480
§ 6. Добавления к эргодической теореме 490
§ 7. Статистические эргодические теоремы 493
§ 8. Обобщения эргодической теоремы 495
§ 9. Инвариантные меры произвольной динамической системы 507
Библиография 541
Алфавитный указатель 546
