В книге излагаются комбинаторные методы решения обширного класса задач теории случайных процессов. Методы эти отличаются изяществом и простотой, а решаемые задачи имеют многочисленные приложения в теории очередей, теории запасов, в процессах страхо­вания и в непараметрической статистике. Автор начинает с рассмо­трения классических задач и постепенно переходит к постановке более сложных современных проблем.

Книга предназначена в первую очередь для специалистов по теории вероятностей и ее применениям, но она, несомненно, заинте­ресует и читателей других специальностей, так как комбинаторные методы в настоящее время широко используются не только в тео­рии вероятностей, но и в ряде прикладных инженерных и биологи­ческих дисциплин. Она доступна аспирантам и студентам старших курсов университетов и пединститутов.

**

ОТ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Хотя имя Лайоша Такача хорошо известно советскому чита­телю по многочисленным работам, посвященным теории массового обслуживания, это —первая его монография, появляющаяся в рус­ском переводе. В ней развиты методы, позволяющие получать эффективные решения задач теории случайных блужданий, теории массового обслуживания, математической статистики и т. п.

Суть этих методов, изложенных во второй и третьей главах книги, состоит в следующем. Изучается последовательность пере­ставляемых случайных величин, т. е. величин, совместное распре­деление которых не меняется при любой их перестановке. Такую последовательность можно интерпретировать как последователь­ность случайных величин, зависящих от одного и того же слу­чайного параметра. Если придать этому параметру фиксированное значение, то условные величины будут независимы и одинаково распределены. Таким образом, переставляемые величины можно рассматривать как прямое обобщение последовательности неза­висимых и одинаково распределенных величин. Автор находит распределения ряда случайных величин, связанных с этой после­довательностью, а затем, переходя к непрерывному времени, изучает переставляемые случайные процессы и строит аналогич­ную теорию.

В последующих главах выясняется, что многие случайные последовательности и случайные процессы, естественным образом возникающие в теории массового обслуживания, статистике и дру­гих приложениях теории вероятностей, оказываются переставляе­мыми, что позволяет применить развитую выше теорию к реше­нию ряда задач.

Книга написана довольно сжато, доказательства и выводы в ней предельно лаконичны, что несколько затрудняет чтение. От читателя требуется не только знание основ теории вероят­ностей, но и вообще достаточно высокая математическая куль­тура. Для менее подготовленного читателя, интересующегося приложениями теории вероятностей, книга может служить непло­хим справочником.

Нам кажется, что читателю, который, не пожалев времени и усилий, разберется в содержании этой книги, она принесет боль­шую пользу.

А. Д. Соловьев

***

ПРЕДИСЛОВИЕ

В теории вероятностей есть много задач, для решения которых требуется находить распределение максимума случайных вели­чин или распределение верхней грани значений случайного про­цесса. Подобные задачи часто возникают в теории очередей, водохранилищ, запасов, страховом деле, физике, технике, в тео­рии порядковых статистик, азартных игр, случайных блужданий и т. д. В этой книге будет показано, что для широкого класса случайных величин и широкого класса случайных процессов результаты в явном виде можно получить просто и элементар­ными методами, если использовать обобщение классической теоремы о баллотировке. Эта теорема, относящаяся к 1887 г., связана с именем Бертрана. Интересно отметить, однако, что теорема Бертрана эквивалентна более раннему результату в тео­рии азартных игр, полученному Муавром в 1708 г.

В этой книге мы докажем сначала ряд общих теорем о рас­пределениях максимума случайных величин и верхней грани зна­чений случайного процесса. Затем дадим много примеров приме­нения этих общих теорем. Будет охвачен довольно широкий круг их применений, включая вышеупомянутые области. В книге при­ведены задачи для решения, большинство которых являются не просто упражнениями, а расширяют и дополняют теоретический материал.

Книга разделена на восемь глав. В конце каждой главы дается литература, включающая как статьи и книги, упомянутые в дан­ной главе, так и другие работы, относящиеся к тематике этой главы. Главы разделяются на параграфы; нумерация формул и теорем в каждом параграфе своя. Если ссылка делается на фор­мулу или теорему другого параграфа, то это указывается особо.

Материал данной книги основывается только на элементах теории вероятностей и теории случайных процессов. Большинство представленных здесь результатов получено автором в течение последних шести лет, некоторые из них опубликованы в ряде статей.

Лайош Такач

Пало-Альто, США

****