Твърда корица, среден формат | 256 стр. | 328 гр.
Монография выдающегося польского математика Анджея Мостовского фактически представляет собой вторую часть уже известной читателю книги К. Куратовского и А. Мостовского «Теория множеств», переведенной на русский язык («Мир», 1970).
Она посвящена описанию исследований по аксиоматике теории множеств и содержит современные достижения в этой области, включая методы Коэна. Высокие научные и методические достоинства книги, несомненно, привлекут к ней внимание широкого круга математиков — от студентов до специалистов.
**
ОГЛАВЛЕНИЕ (виж изображенията под корицата)
***
ПРЕДИСЛОВИЕ
В первом (польском) издании книги по теории множеств, написанной проф. К. Куратовским и мною в 1952 г., была глава, в которой излагался ряд проблем, связанных с независимостью и непротиворечивостью некоторых теоретико-множественных утверждений. Во втором издании нашей книги мы вынуждены были опустить эту главу. Английский перевод, появившийся в 1967 г. в серии "Studies in Logic and the Foundations of Mathematics", никакой метаматематической теории множеств не содержит.
Представленный здесь труд первоначально планировался как второй том упомянутой выше книги. Однако в процессе работы я убедился, что брать за основу изложения аксиомы типа Цермело — Френкеля, которые использовались в предыдущей книге, не совсем удобно. Особенно трудно излагать метаматематические результаты, не используя понятия класса, которого нам не требовалось в работе, посвященной «классическим» разделам теории множеств. Поэтому я воспользовался более сложной системой, в которой допускаются классы, и решил излагать результаты по теории множеств Цермело — Френкеля на основе теории классов Морса. Можно спросить, не лучше ли излагать метаматематические результаты по теории Гёделя — Бер-найса на основе той же теории или, возможно, даже на основе финитной математики? Я считаю, что каждый из этих подходов имеет свои преимущества и недостатки. Преимущество выбора в качестве основы изложения системы Морса заключается в том, что непротиворечивость теории множеств Цермело — Френкеля и существование фундированных моделей в этом случае доказуемо и нет необходимости принимать это в качестве гипотезы.
Книга не содержит почти ничего сверх теории конструктивных множеств Гёделя и коэновского построения моделей с помощью генерических множеств. Я попытался изложить здесь две теории полностью, без всяких пробелов, которые надо было бы заполнять читателям. Из-за этого в некоторых местах встречаются длинные, хотя и нетрудные вычисления. Я думаю, что этого нельзя устранить без радикального изменения всего подхода. Возможно, что от вычислений можно полностью избавиться, пользуясь последними идеями Скотта и Вопенки, заменяющими коэновский «форсинг» булевознач-ными моделями, или следуя Саксу, использующему понятия теории меры. Я не пытался этого делать.
Книгу условно можно разделить на четыре части. В главах I — III вводится определение относительно конструктивных множеств. Они образуют подкласс универсального класса, и мною доказано, что они образуют модель теории множеств Цермело — Френкеля. В главах IV — VII рассматриваются конструктивные множества, содержащиеся в данной транзитивной модели и полученные из некоторого элемента этой модели итерированием процесса построения столько раз, сколько ординалов содержится в модели. Исследуя эти множества, приходим к результату Гёделя о непротиворечивости обобщенной континуум-гипотезы. В главах VIII — XII излагается коэновский метод генерических множеств. Модели, которые мы получаем в этой части книги, также содержат относительно конструктивные множества и процесс их построения итерируется столько раз, сколько и раньше, но элементы, с которых мы начинаем, теперь не являются элементами данной модели. Теория Коэна представлена в таком виде, который позволяет использовать топологию. Этот метод восходит к Рыль-Нардзевскому и Такеути. Наконец, в главах XIII — XV метод Коэна применяется для доказательства некоторых результатов о независимости.
Анджей Мостовский
* Русский перевод: К. Куратовский, А. Мостовский, Теория множеств, Мир», М., 197 0.— Прим. ред.
