**
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В третьем издании книги, учитывая пожелания кафедры математического анализа Московского университета, добавлены следующие параграфы: к гл. XI, «Понятие о правиле Лоииталя» и к гл. XVI, «Производная функции по данному направлению» (включая понятие о модуле градиента функции), «Условие полного дифференциала». Кроме того, в книгу включены две новые главы: XX — «Криволинейные интегралы» и XXI — «Двойные и тройные интегралы». Здесь понятие криволинейного интеграла предшествует понятию двойного интеграла, что автору представляется более естественным. В случае необходимости порядок изложения может быть изменен. Основные понятия теории криволинейных и кратных интегралов вводятся на основе рассмотрения конкретных физических и геометрических задач (масса линии, работа силы, объем цилиндроида и др.). Сохраняя стиль книги, для вывода части формул используют наглядные соображения.
Благодаря более богатому содержанию курса, увеличивается контингент лиц, могущих пользоваться этой книгой в качестве учебного пособия. В частности, новое издание «Краткого курса» может являться учебником по курсу высшей математики для студентов ряда специальностей геологического и географического факультетов с несколько повышенным числом часов по высшей математике (порядка 300 часов), как например гидрогеологов, инженеров-геологов, климатологов и др.Приношу благодарность доцентам кафедры математического анализа Московского университета А. Д. Соловьеву и Н. И. Щетинину за ценные замечания и пожелания, которые позволили улучшить качество нового издания книги.
Москва, 1962 г.
Б. П. Демидович
***
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию
Предисловие ко второму изданию 10
Предисловие к первому изданию 12
Введение 13
Глава I. Прямоугольная система координат на плоскости и ее применение к простейшим задачам 15
§ 1. Прямоугольные координаты точки на плоскости 15
§ 2. Расстояние между двумя точками на плоскости 17
§ 3. Деление отрезка в данном отношении 18
§ 4. Площадь треугольника 19
Упражнения 21
Глава II. Уравнение линии 22
§ 1. Метод координат на плоскости 22
§ 2. Геометрическое место точек на плоскости 23
§ 3. Уравнение линии на плоскости 23
§ 4. Построение линии по ее уравнению 26
§ 5. Некоторые элементарные задачи 27
§ 6. Две основные задачи аналитической геометрии на плоскости . 29
Упражнения 30
Глава III. Прямая линия 31
§ 1. Уравнение прямой с угловым коэффициентом 31
§ 2. Угол между двумя прямыми 33
§ 3. Уравнение прямой, проходящей через данную точку в данном направлении 35
§ 4. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки ... 36
§ 5. Уравнение прямой в «отрезках» 37
§ 6. Нормальное уравнение прямой 38
§ 7. Общее уравнение прямой 39
§ 8. Исследование общего уравнения прямой 42
§ 9, Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых, заданных общими уравнениями 44
§ 10. Пересечение двух прямых 45
§ 11. Расстояние точки до прямой 47
Упражнения 48
Глава IV. Линии второго порядка 50
§ 1. Окружность 50
§ 2. Эллипс 53
§ 3. Гипербола 60
§ 4. Асимптоты гиперболы 63
§ 5. Парабола 65
Упражнения 69
Глава V. Преобразования прямоугольной системы координат. Полярные координаты. Параметрические уравнения линии 71
§ 1. Преобразования прямоугольных координат 71
§ 2. Перенос начала координат 71
§ 3. Поворот осей координат 72
§ 4. График квадратного трехчлена 73
§ 5. Уравнение равносторонней гиперболы относительно ее асимптот 75
§ 6, Полярные координаты . . . , 76
§ 7. Связь между прямоугольными и полярными координатами . . 77
§ 8. Параметрические уравнения линии 78
§ 9. Параметрические уравнения циклоиды 80
Упражнения 81
Глава VI. Функция 83
§ 1. Величины постоянные и переменные 83
§ 2. Понятие функции 83
§ 3. Простейшие функциональные зависимости 87
§ 4. Способы задания функции , . . 89
§ 5. Функции от нескольких переменных 93
§ 6. Понятие неявной функции 94
§ 7. Понятие обратной функции 95
§ 8. Классификация функций одного аргумента 96
§ 9. Графики основных элементарных функций 98
Упражнения 105
Глава VII. Теория пределов 107
§ 1. Действительные числа 107
§ 2. Погрешности приближенных чисел 110
§ 3. Бесконечно малая величина 114
§ 4. Предел переменной величины 116
§ 5. Бесконечно большая величина 119
§ 6. Основные теоремы о бесконечно малых величинах 120
§ 7. Основные теоремы о пределах 122
§ 8. Признаки существования предела переменной величины ... 126
§ 9. Предел отношения синуса бесконечно малой дуги к самой дуге 127
§ 10. Число е 128
§ 11. Понятие о натуральных логарифмах 132
Упражнения 133
Глава VIII. Непрерывность функции 135
§ 1. Приращение аргумента и функции. Непрерывность функции . 135
§ 2. Другое определение непрерывности функции 138
§ 3. Непрерывность основных элементарных функций 140
§ 4. Основные теоремы о непрерывных функциях 141
§ 5. Раскрытие неопределенностей 142
Упражнения 144
Глава IX. Производная 145
§ 1. Задача о касательной 145
§ 2. Задача о скорости движения точки 147
§ 3. Общее определение производной 148
§ 4. Другие применения производной 151
§ 5. Зависимость между непрерывностью и дифференцируемостью функции 152
Упражнения 153
Глава X. Основные теоремы о производных 154
§ 1. Вводные замечания 154
§ 2. Производные от некоторых простейших функций 154
§ 3. Основные правила дифференцирования функций 159
§ 4. Производная сложной функции 164
§ 5. Производная обратной функции 167
§ 6. Производная неявной функции 169
§ 7. Производная логарифмической функции 171
§ 8. Понятие о логарифмической производной 173
§ 9. Производная показательной функции 174
§ 10. Производные обратных тригонометрических функций 174
§ 11. Производная функции, заданной параметрически 176
§ 12. Сводка формул дифференцирования 178
§ 13. Понятие о производных высших порядков 178
§ 14. Механическое значение производной второго порядка 178
Упражнения 179
Глава XI. Приложения производной 181
§ 1. Теорема о конечном приращении функции и ее следствия . . 181
§ 2. Возрастание и убывание функции одной переменной 183
§ 2а. Понятие о правиле Лопиталя 186
§ 3. Экстремум функции одной переменной 189
§ 4. Вогнутость и выпуклость. Точки перегиба 196
§ 5. Построение графиков функций 199
Упражнения 202
Глава XII. Дифференциал 205
§ 1. Понятие о дифференциале функции 205
§ 2. Связь дифференциала функции с производной. Дифференциал независимой переменной 208
§ 3. Геометрический смысл дифференциала 209
§ 4. Механическое значение дифференциала 210
§ 5. Приближенное вычисление малых приращений функции . . .211
§ 6. Эквивалентность приращения функции и дифференциала функции 212
§ 7. Свойства дифференциала 214
§ 8. Дифференциалы высших порядков от функции и от независимой переменной 216
Упражнения 218
Глава XIII. Неопределенный интеграл 219
§ 1. Первообразная функция. Неопределенный интеграл 219
§ 2. Основные свойства неопределенного интеграла ...... . 222
§ 3. Таблица простейших неопределенных интегралов 224
§ 4. Независимость вида неопределенного интеграла от выбора независимой переменной 225
§ 5. Понятие об общих методах интегрирования 228
§ 6. Интегрирование рациональных дробей с квадратичным знаменателем 233
§ 7. Интегрирование простейших иррациональностей 237
§ 8. Интегрирование произведений положительных степеней синуса и косинуса одной и той же дуги 239
§ 9. Интегрирование некоторых трансцендентных функций .... 240
§ 10. Теорема Коши. Понятие о неберущихся интегралах 240
Упражнения 241
Глава XIV. Определенный интеграл 244
§ 1. Задачи о вычислении площади криволинейной трапеции .244
§ 2. Задача о нахождении пройденного пути точки по заданной скорости 247
§ 3. Понятие определенного интеграла 248
§ 4. Определенный интеграл с переменным верхним пределом . . . 251
§ 5. Связь между определенным и неопределенным интегралами . . 253
§ 6. Свойства определенного интеграла 255
§ 7. Теорема о среднем 258
§ 8. Интегрирование по частям в определенном интеграле 259
§ 9. Замена переменной в определенном интеграле 260
§ 10. Понятие о приближенном вычислении определенных интегралов 261
§ 11. Несобственные интегралы . 263
Упражнения 265
Глава XV. Приложения определенного интеграла 267
§ 1. Площадь в прямоугольных координатах 267
§ 2. Площадь в полярных координатах 271
§ 3. Длина дуги в прямоугольных координатах 274
§ 4. Длина дуги в полярных координатах 280
§ 5. Вычисление объема тела по известным поперечным сечениям . 281
§ 6. Объем тела вращения ' 283
§ 7. Работа переменной силы 285
§ 8. Давление жидкости 286
Упражнения 288
Глава XVI. Сведения из аналитической геометрии в пространстве . . 290
§ 1. Прямоугольные координаты в пространстве 290
§ 2. Расстояние между двумя точками в пространстве 291
§ 3. Направление отрезка в пространстве. Направляющие косинусы 292
§ 4. Косинус угла между двумя прямыми в пространстве 293
§ 5. Уравнения поверхности и линии в пространстве 295
§ 6. Нормальное уравнение плоскости 300
§ 7. Общее уравнение плоскости. Приведение к нормальному виду . 301
§ 8. Исследование общего уравнения плоскости 303
§ 9. Уравнения прямой линии в пространстве 305
§ 10. Уравнение сферы 309
§ 11. Уравнение эллипсоида 311
§ 12. Уравнение параболоида вращения 314
Упражнения 315
Глава XVII. Функции нескольких переменных 317
§ 1. Понятие функции от нескольких переменных 317
§ 2. Непрерывность 320
§ 3. Частные производные первого порядка 322
§ 4. Полный дифференциал 324
§ 5. Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям 329
§ 5а. Понятие о производной функции по данному направлению . . 331
§ 6. Частные производные высших порядков 338
§ 6а. Условие полного дифференциала 339
§ 7. Максимум и минимум функции от двух и нескольких переменных 343
§ 8. Построение эмпирических формул по способу наименьших квадратов 345
Упражнения 348
Глава XVIII. Ряды 351
§ 1. Примеры бесконечных рядов 351
§ 2. Сходимость ряда 352
§ 3. Необходимый признак сходимости ряда 355
§ 4. Признак сравнения рядов 357
§ 5. Признак сходимости Даламбера 360
§ 6. Абсолютная сходимость 363
§ 7. Знакочередующиеся ряды. Признак сходимости Лейбница. . . 366
§ 8. Степенные ряды 367
§ 9. Дифференцирование и интегрирование степенных рядов .... 369
§ 10. Разложение данной функции в степенной ряд 370
§ 11. Ряд Маклорена 372
§ 12. Применение ряда Маклорена к разложению в степенные ряды некоторых функций 373
§ 13. Применение степенных рядов к приближенным вычислениям . 375
§ 14. Ряд Тейлора 378
§ 15. Ряды в комплексной области 380
§ 16. Формулы Эйлера 382
Упражнения 383
Глава XIX. Дифференциальные уравнения 385
§ 1. Основные понятия 385
§ 2. Дифференциальные уравнения первого порядка 388
§ 3. Уравнения первого порядка с разделяющимися переменными . 389
§ 4. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка . . 394
§ 5. Линейные дифференциальные уравнения первого порядка . . . 399
§ 6. Дифференциальные уравнения второго порядка 404
§ 7. Интегрируемые типы дифференциальных уравнений второго порядка 406
§ 8. Случаи понижения порядка 411
§ 9. Общие свойства решений линейных однородных дифференциальных уравнений второго порядка 413
§ 10. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 416
§ 11. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами 421
Упражнения 429
Глава XX. Криволинейные интегралы 431
§ 1. Масса линии 431
§ 2. Криволинейный интеграл 1-го рода 432
§ 3. Механические приложения криволинейного интеграла 1-го рода 435
§ 4. Работа переменной силы 438
§ 5. Криволинейный интеграл 2-ого рода 441
§ 6. Криволинейные интегралы 2-ого рода, не зависящие от пути интегрирования 446
§ 7. Работа силы в потенциальном поле 448
Упражнения 450
Глава XXI. Двойные и тройные интегралы 453
§ 1. Объем цилиндроида 453
§ 2. Двойной интеграл 455
§ 3. Двойной интеграл с прямоугольной областью интегрирования 457
§ 4. Двойной интеграл в прямоугольных декартовых координатах 460
§ 5. Двойной интеграл в полярных координатах 466
§ 6. Понятие об обобщенных полярных координатах 470
§ 7. Геометрические приложения двойного интеграла 472
§ 8. Механические приложения двойного интеграла 473
§ 9. Формула Грина 477
§ 10. Условия независимости криволинейного интеграла 2-ого рода от пути интегрирования . 481
§ 11. Понятие о тройном интеграле 486
§ 12. Тройной интеграл в цилиндрических координатах 490
§ 13. Тройной интеграл в сферических координатах 491
§ 14. Механические приложения тройного интеграла 493
Упражнения 496
Приложения:
А. Важнейшие постоянные 498
Б. Сводка формул 498
Ответы 516
Предметный указатель 525
