Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для студентов физико-математических и инженерно-физических специальностей вузов.
**
Том 1 (688 стр.)
Аннотация
Книга написана профессором, доктором физико-математических наук, заведующим кафедрой высшей математики МФТИ, ст. научным сотрудником Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. Учебник соответствует новой программе для вузов.
Особое внимание в учебнике обращено на изложение качественных и аналитических методов, в нем нашли отражение и некоторые геометрические приложения анализа. В первом томе излагаются дифференциальное и интегральное исчисления функций одной переменной, простейшие сведения о функциях многих переменных и теория рядов.
Предназначается студентам университетов и физико-математических й инженерно-физических специальностей втузов, а также студентам других специальностей для углубленной математической подготовки.
------
Предисловие
Предлагаемый курс математического анализа написан на основе двухтомного учебника автора «Математический анализ». [1]) Настоящий учебник соответствует новым требованиям, предъявляемым математическому образованию. Благодаря более четкому выделению вопросов, относящихся к основным понятиям математического анализа и их применению к решению задач, этот учебник южно использовать как в высших технических учебных заведе-ниях, так и в университетах. Изложение материала ведется на овне, доступном широкому кругу студентов. Вопросы, выходящие за рамки программы по высшей математике для втузов и посвященные более глубокому изучению анализа на университетском уровне, отмечены звездочкой.
В курсе излагаются как традиционные классические методы математического анализа, так и современные, которые возникли з последние десятилетия. Действительные числа вводятся аксиоматически. Этот путь дает возможность наиболее компактно и полно изложить необходимые для анализа сведения о числах, месте.с тем он и логически наиболее совершенен, ибо при дру-их, так называемых «конструктивных», методах построения теории .-йствительных чисел (когда за основу берутся бесконечные десятичные дроби или сечения в области рациональных чисел, или классы эквивалентных фундаментальных последовательностей рациональных чисел) все равно необходимо вводить аксиому ществования (непротиворечивости) множества действительных чисел, что, правда, далеко не всегда отмечается в учебниках. Поскольку же при построении теории действительных чисел использование аксиом неизбежно, то проще всего их сразу сформулировать и перейти к изучению математического анализа з собственном смысле слова.
За исключением параграфов, посвященных теории действитель-мх чисел, в курсе за основу принят индуктивный метод изложения материала. Так, например, понятие предела сначала изучается 1Я числовых последовательностей, затем для функций одной хствительной переменной, далее вводится понятие предела по множеству в евклидовом пространстве, предела интегральных [м и, наконец, все завершается рассмотрением общего понятия редела по фильтру в топологическом пространстве.
Доказываемые теоремы не всегда формулируются с наибольшей ; лностью; иногда для лучшего выявления сущности изучаемого вопроса и идеи проводимого доказательства рассмотрение прово-тся лишь для достаточно гладких функций. Такая точка зрения авдана также тем, что благодаря плотности гладких функций в соответствующих функциональных пространствах многие теоремы, доказанные для гладких функций, могут быть единым методом с помощью предельного перехода перенесены на более широкие классы функций. К сожалению, эту идею невозможно довести до конца без существенного увеличения объема книги. Поэтому вопрос о плотности «хороших» функций в различных функциональных пространствах рассмотрен в курсе лишь в простейших случаях.
Большое внимание в учебнике уделяется решению задач методами, основанными на изложенной теории. Кроме того, читателю для самостоятельной работы рекомендуются упражнения и задачи. Решение упражнений весьма полезно для активного усвоения математического анализа. Отдельные же из предлагаемых задач довольно трудны. Их решение не является необходимым для овладения материалом и может потребовать довольно длительного времени. Как правило, они связаны с интересными и достаточно глубокими математическими фактами, для подробного изложения которых не нашлось места в книге. Нумерация упражнений ведется отдельно в каждом параграфе, нумерация же задач, как и рисунков — сквозная.
Значительная часть материала, вошедшего в книгу, в течение многих лет излагается автором в Московском физико-техническом институте в лекционном курсе математического анализа. Автор обсуждал многие вопросы, относящиеся к изложению различных тем, со своими коллегами по кафедре высшей математики Московского физико-технического института и получил от них много полезных советов, которые все были приняты во внимание при подготовке рукописи к печати.
Автор выражает свою глубокую благодарность С. М. Никольскому, О. В. Бесову и Г. Н. Яковлеву, с которыми он много лет читает параллельно курс математического анализа и постоянно обсуждает различные аспекты курса. Раздел, посвященный обобщенным функциям, написан под несомненным влиянием В. С. Владимирова, которому автор выражает свою искреннюю признательность за многие полезные замечания.
Особенно признателен автор рецензентам книги-—Н. В. Ефимову и В. А. Ильину, подробные и обстоятельные рецензии которых позволили во многом улучшить изложение материала.
Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность преподавателям кафедры математики Московского физико-технического института И. А. Борачинскому, К. А. Бежанову, Ф. Г. Бу-лаевской, В. А. Ходакову, сделавшим много полезных предложений, которые все были учтены при окончательном редактировании текста.
Автор также приносит свою искреннюю признательность научному редактору Н. М. Флайшеру, проделавшему большую работу, содействовавшую несомненному улучшению учебника.
[1]Второе издание этого учебника выходило в 1973 г. в издательстве Высшая школа.
**
Том 2 (584 стр.)
Аннотация
Во втором томе содержится интегральное и дифференциальное исчисления функций многих переменных, теория дифференцируемых отображений, теория рядов Фурье и преобразования Фурье, элементы функционального анализа и теория обобщенных функций.
Предназначается студентам университетов и физико-математических и инженерно-физических специальностей втузов, а также студентам других специальностей для углубленной математической подготовки.
-------
Настоящая книга является второй частью двухтомного курса математического анализа. В ней изложены вопросы, изучаемые обычно студентами на втором курсе. Нумерация глав, параграфов и рисунков в этом томе продолжает соответствующую нумерацию первого тома.
Глава пятая, с которой начинается этот том, посвящена дифференциальному исчислению функций многих переменных и по существу является непосредственным продолжением главы второй первого тома. Дальнейшие главы содержат изложение интегрального исчисления функций многих переменных, теории рядов и интеграла Фурье. Преобразование Фурье излагается сначала в классическом виде, а затем даются его обобщения для пространства Ь2 и для обобщенных функций. Заканчивается том небольшим «Дополнением», основная часть которого касается численных методов для вычисления приближенных значений функций приближенных решений уравнений и приближенных вычислений интегралов.
