Курс математического анализа. В двух томах. Том 1-2 (1981 г.)

Учебник за студенти по физико-математически и инженерно-физически специалности на университетите на руски език.

Л. Д. Кудрявцев   (автор) 

Твърда корица, среден формат  |  1272 стр. |  1393 гр.

(неизползвани книги в отлично състояние)

*

Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для студентов физико-математических и инженерно-физических специальностей вузов.

**

Том 1 (688 стр.)

Аннотация 

Книга написана профессором, доктором физико-математических наук, заведующим кафедрой высшей математики МФТИ, ст. научным сотрудником Математического института им. В. А. Стеклова АН СССР. Учебник соответст­вует новой программе для вузов.

Особое внимание в учебнике обращено на изложение качественных и аналитических методов, в нем нашли отражение и некоторые геометрические приложения анализа. В первом томе излагаются дифференциальное и инте­гральное исчисления функций одной переменной, простейшие сведения о функ­циях многих переменных и теория рядов.

Предназначается студентам университетов и физико-математических й инженерно-физических специальностей втузов, а также студентам других спе­циальностей для углубленной математической подготовки.

------

Предисловие

Предлагаемый курс математического анализа написан на основе двухтомного учебника автора «Математический анализ». [1]) Настоя­щий учебник соответствует новым требованиям, предъявляемым математическому образованию. Благодаря более четкому выде­лению вопросов, относящихся к основным понятиям математиче­ского анализа и их применению к решению задач, этот учебник южно использовать как в высших технических учебных заведе-ниях, так и в университетах. Изложение материала ведется на овне, доступном широкому кругу студентов. Вопросы, выходя­щие за рамки программы по высшей математике для втузов и посвященные более глубокому изучению анализа на университет­ском уровне, отмечены звездочкой.

В курсе излагаются как традиционные классические методы математического анализа, так и современные, которые возникли з последние десятилетия. Действительные числа вводятся аксио­матически. Этот путь дает возможность наиболее компактно и полно изложить необходимые для анализа сведения о числах, месте.с тем он и логически наиболее совершенен, ибо при дру-их, так называемых «конструктивных», методах построения теории .-йствительных чисел (когда за основу берутся бесконечные деся­тичные дроби или сечения в области рациональных чисел, или классы   эквивалентных   фундаментальных последовательностей рациональных  чисел)  все равно  необходимо вводить аксиому ществования (непротиворечивости) множества действительных чисел, что, правда, далеко не всегда отмечается в учебниках. Поскольку же   при   построении теории действительных чисел использование аксиом неизбежно, то проще всего их сразу сфор­мулировать   и   перейти  к  изучению  математического анализа з собственном смысле слова.

За исключением параграфов, посвященных теории действитель-мх чисел, в курсе за основу принят индуктивный метод изложе­ния материала. Так, например, понятие предела сначала изучается 1Я  числовых последовательностей,  затем для функций одной хствительной переменной, далее вводится понятие предела по множеству в евклидовом  пространстве,   предела интегральных [м и, наконец, все завершается рассмотрением общего понятия редела по фильтру в топологическом пространстве.

Доказываемые теоремы не всегда формулируются с наибольшей ; лностью; иногда для лучшего выявления сущности изучаемого вопроса и идеи проводимого доказательства рассмотрение прово-тся лишь для достаточно гладких функций. Такая точка зрения авдана также тем, что благодаря плотности гладких функций в соответствующих функциональных пространствах многие тео­ремы, доказанные для гладких функций, могут быть единым методом с помощью предельного перехода перенесены на более широкие классы функций. К сожалению, эту идею невозможно довести до конца без существенного увеличения объема книги. Поэтому вопрос о плотности «хороших» функций в различных функциональных пространствах рассмотрен в курсе лишь в про­стейших случаях.

Большое внимание в учебнике уделяется решению задач мето­дами, основанными на изложенной теории. Кроме того, читателю для самостоятельной работы рекомендуются упражнения и задачи. Решение упражнений весьма полезно для активного усвоения математического анализа. Отдельные же из предлагаемых задач довольно трудны. Их решение не является необходимым для овладения материалом и может потребовать довольно длительного времени. Как правило, они связаны с интересными и достаточно глубокими математическими фактами, для подробного изложения которых не нашлось места в книге. Нумерация упражнений ведется отдельно в каждом параграфе, нумерация же задач, как и рисунков — сквозная.

Значительная часть материала, вошедшего в книгу, в течение многих лет излагается автором в Московском физико-техническом институте в лекционном курсе математического анализа. Автор обсуждал многие вопросы, относящиеся к изложению различных тем, со своими коллегами по кафедре высшей математики Москов­ского физико-технического института и получил от них много полезных советов, которые все были приняты во внимание при подготовке рукописи к печати.

Автор выражает свою глубокую благодарность С. М. Николь­скому, О. В. Бесову и Г. Н. Яковлеву, с которыми он много лет читает параллельно курс математического анализа и постоянно обсуждает различные аспекты курса. Раздел, посвященный обоб­щенным функциям, написан под несомненным влиянием В. С. Вла­димирова, которому автор выражает свою искреннюю признатель­ность за многие полезные замечания.

Особенно признателен автор рецензентам книги-—Н. В. Ефи­мову и В. А. Ильину, подробные и обстоятельные рецензии кото­рых позволили во многом улучшить изложение материала.

Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность преподавателям кафедры математики Московского физико-техни­ческого института И. А. Борачинскому, К. А. Бежанову, Ф. Г. Бу-лаевской, В. А. Ходакову, сделавшим много полезных предло­жений, которые все были учтены при окончательном редактиро­вании текста.

Автор также приносит свою искреннюю признательность научному редактору Н. М. Флайшеру, проделавшему большую работу, содействовавшую несомненному улучшению учебника.

[1]Второе издание этого учебника  выходило в 1973 г. в издательстве Высшая школа.

**

Том 2 (584 стр.)

Аннотация

Во втором томе содержится интегральное и дифференциальное исчисле­ния функций многих переменных, теория дифференцируемых отображений, теория рядов Фурье и преобразования Фурье, элементы функционального анализа и теория обобщенных функций.

Предназначается студентам университетов и физико-математических и инженерно-физических специальностей втузов, а также студентам других специальностей для углубленной математической подготовки.

-------

Настоящая книга является второй частью двухтомного курса математического ана­лиза. В ней изложены вопросы, изучаемые обычно студентами на втором курсе. Нуме­рация глав, параграфов и рисунков в этом томе продолжает соответствующую нумера­цию первого тома.

Глава пятая, с которой начинается этот том, посвящена дифференциальному исчис­лению функций многих переменных и по существу является непосредственным про­должением главы второй первого тома. Дальнейшие главы содержат изложение интегрального исчисления функций многих переменных, теории рядов и интеграла Фурье. Преобразование Фурье излагается сначала в классическом виде, а затем да­ются его обобщения для пространства Ь₂ и для обобщенных функций. Заканчивается том небольшим «Дополнением», основная часть которого касается численных мето­дов для вычисления приближенных значе­ний функций приближенных решений урав­нений и приближенных вычислений интег­ралов.