Допущено Министерством высшего и среднего специального образования СССР в качестве учебника для студентов физических и механико-математических специальностей высших учебных заведений

*

АННОТАЦИЯ

Учебник для студентов физических и механико-ма­тематических специальностей вузов написан на основе курса лекций, читаемого автором в Московском физико-техническом институте. Фактически принят как учебное пособие в некоторых втузах с повышенной программой по математике.

Второй том (илл.83) содержит кратные интегралы, теорию поля, ряды Фурьо и интеграл Фурье, обобщенные функции, дифференцируемые многообразия, дифференциальные формы, интеграл Лебега — Стилтьеса.

Для третьего издания учебник существенно перера­ботан и дополнен.

*

ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ

Этот учебник, выходящий в двух томах, соответствует, если не считать некоторых добавлений, программе курса математиче­ского анализа, читаемого мною уже много лет в Московском физико-техническом институте.

Первая глава носит вводный характер. В ней на основе интуи­тивных представлений о пределе вводятся основные понятия ма­тематического анализа и даже на основании наглядных и физи­ческих соображений устанавливается связь между производной и интегралом и даются элементы техники дифференцирования и интегрирования, нужные читателю, изучающему параллельно физику.

Вторая глава посвящена действительному числу. В основу по­нятия числа взято его представление в виде бесконечной десятич­ной дроби. Только часть этой главы — крупный шрифт,— рас­сматривается как обязательная. При желании она может быть еще уменьшена.

Я придерживаюсь точки зрения, впрочем, традиционной, что основные факты математического анализа сначала должны быть изложены для функций одной переменной, а затем уже для мно­гих переменных. Здесь неизбежны повторения, по они незначи­тельны. С другой стороны, для такой аудитории, какой являются студенты наших мехматов, физматов и физтехов, вполне воз­можно переходить от одной не к двум и не к тре.м, а сразу же к п переменным. Весь вопрос тут только в удачных обозначени­ях. Но они уже выработаны в журнальной и монографической литературе, целесообразность их уже проверена и теперь они должны становиться достоянием наших учебников. Такой под­ход обеспечивает правильную перспективу. Ведь во второй поло­вине курса,—-в таких разделах как ряды Фурье, интеграл ^Фурье,— читателю придется овладевать представлением о беско-нечяомерности функциональных пространств.

В своем изложении я достаточно рано ввожу понятие «-мер­ного евклидова пространства, пространства со скалярным произ­ведением, банахова пространства и широко пользуюсь этими, по­нятиями, однако, в меру необходимости выполнения программы.

Как требуется программами, изложение курса ведется на ос­нове интеграла Римана. Я старался аналогичные теоремы в одно­мерном н многомерном случаях, доказывать аналогично, чтобы сэкономить силы читателя для других, вопросов.

Очень деликатный вопрос — как быть с полнотой пространств Ь и Ь-Р. Чтобы решить этот вопрос, я не строю абстрактные эле­менты, заменяющие функции, интегрируемые по Лебегу, и в ос­новном тексте ограничиваюсь только разъяснениями о том, как соответствующий факт выглядел бы в терминах интеграла Лебега.

Впрочем, учебник снабжен добавочной главой 19 (том II), посвященной интегралу Лебега. Я уверен, что многие мои чита­тели по собственной инициативе будут заглядывать в нее. Они от этого ничего не потеряют. Современная математическая физи­ка, которую им придется изучать, нуждается в интеграле Лебега. Например, прямые вариационные методы математической физики немыслимы без употребления интеграла Лебега. К чтению главы 19 читатель будет вполне подготовлен после того как он позна­комится с понятием меры Жордана.

Главы 17 и 18 (том II) тоже дополнительные. В главе 18 уде­лено место таким важным понятиям современного анализа, как усреднение функции по Соболеву и разбиение единицы. По-на­стоящему они должны входить в обязательные программы повы­шенных курсов анализа.

Глава 17 посвящена дифференцируемым многообразиям и дифференциальным формам. Кульминационным ее пунктом яв­ляется доказательство теоремы Стокса в га-мерном пространстве. Эта глава может служить проверкой того, насколько оказался подготовленным читатель, освоивший эту книгу.

Я желал, чтобы мой читатель, освоив курс, легче ориентиро­вался в методах математической физики. Ряд добавлений сделан именно исходя из интересов математической физики. Большое поле деятельности здесь возникает при изложении вопросов, свя­занных с функциями многих переменных. Здесь наша педагоги­ческая мысль должна еще поработать. Я надеюсь, что и моя кни­га вносит некоторую лепту в это трудное дело.

Я хочу отметить книги, оказавшие на меня большое влияние.

Во-первых, это «Курс анализа бесконечно малых» Ш. Ж. де ла Валле-Пуссена. Двухтомник Валле-Пуссена, память которого я хочу здесь почтить, я старательно изучал будучи студентом, а теперь он служит моей настольной книгой.

Во-вторых, это книга «Введение в теорию функций действи­тельного переменного» П. С. Александрова и А. Н. Колмогорова, которую я тоже в свое время старательно изучил и, следуя ей, читал свои курсы в Днепропетровском университете. Но я, кроме того, неоднократно слушал лекции этих двух выдающихся авто­ров, один из них — А. Н. Колмогоров — мой научный учитель. Выражаю им здесь свою глубокую благодарность. 

Я хочу выразить свою признательность коллективу кафедры математики Московского физико-технического института, в ко­тором я работаю двадцать пять лет, в течение которых много раз обсуждались вопросы преподавания математического анализа. Конечно, при этом я должен особо выделить моих коллег проф. Л. Д. Кудрявцева, заведующего кафедрой, и проф. О. В. Бе­сова, беседы с которыми были особенно интенсивными.

С первыми главами рукописи книги детально ознакомились мои коллеги проф. Е. А. Волков и проф. П. И. Лнзоркин, отме­тив имеющиеся там недочеты, которые я устранил. Главу 17, посвященную дифференциальным формам, внимательно прочи­тал нроф. Р. В. Гамкрелидзе; многие его советы я учел. Мне были очень полезны также советы проф. А. А. Дезина, с которым я беседовал по этому вопросу.

Мои официальные рецензенты академик И. Н. Векуа н ка­федра математики Московского института электронного машино­строения весьма благожелательно отнеслись к моей книге; они дали ряд полезных советов, которыми я воспользовался.

Я учел, конечно, и советы моего коллеги, редактора книги А. А. Вашарина. тщательно прочитавшего текст рукописи и про­верившего его во всех деталях.

Всем указанным липам я приношу свою глубокую благо­дарность.

С. М. Никольский

1970