ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 9
Введение 12
Раздел I. Средние функции и обобщенные производные 17
Глава 1. Средние функции 17
§ 1. Усредняющее ядро 17
§ 2. Средние функции 19
§ 3. Сходимость средних функций 21
Упражнения 24
Глава 2. Обобщенные производные 25
§ 1, Понятие обобщенной производной 25
§ 2. Простейшие свойства обобщенной производной 31
§ 3, Предельные свойства обобщенных производных 33
§ 4. Случай одной независимой переменной 34
§ 5. Соболевские пространства и теоремы вложения 36
Упражнения 37
Раздел II. Элементы вариационного исчисления 39
Глава 3. Основные понятия 39
§ 1. Примеры на экстремум функционала 39
§ 2. Постановка задачи вариационного исчисления 41
§ 3. Вариация и градиент функционала 44
§ 4. Уравнение Эйлера . . . ., 52
§ 5. Вторая вариация. Достаточное условие экстремума ... 56
§ 6. Изопериметрическая задача 57
§ 7. Минимизирующая последовательность 63
Упражнения 64
Глава 4. Функционалы, зависящие от числовых функций вещественных "переменных 66
§ 1. Простейшая задача вариационного исчисления 66
§ 2. Исследование второй вариации ; 99
§ 3. Случай многих независимых переменных 72
§ 4. Функционалы, зависящие от производных высших порядков 75
§ 5. Функционалы, зависящие от нескольких функций .... 78
§ 6. Естественные краевые условия ' 80
Глава 5. Минимум квадратичного функционала 89
§ 1. Понятие о квадратичном функционале 89
§ 2. Положительно определенные операторы 91
§ 3. Энергетическое пространство 97
§ 4. Задача о минимуме квадратичного функционала .... 106
§ 5. Обобщенное решение 109
§ 6. О сепарабельности энергетического пространства ... 112
§ 7. Расширение положительно определенного оператора . . 115
§ 8. Простейшая краевая задача для обыкновенного линейного дифференциального уравнения 120
§ 9. Более общая задача о минимуме квадратичного функционала 126
§ 10. Случай только положительного оператора 130
Упражнения 130
Глава 6. Собственный спектр положительно определенного оператора 132
§ 1. Понятие о собственном спектре оператора 132
§ 2. Собственные числа и собственные элементы симметричного оператора 134
§ 3. Обобщенный собственный спектр положительно определенного оператора 135
§ 4. Вариационная формулировка задачи о собственном спектре 138
§ 5. Теорема о наименьшем собственном числе 141
§ 6. Теорема о дискретности спектра 144
§ 7. Задача Штурма—Лиувилля 148
§ 8. Элементарные случаи 154
§ 9. Минимаксимальный принцип 155
§ 10. О росте собственных чисел задачи Штурма—Лиувилля 158
Упражнения 160
Раздел III. Элементы'теории интегральных уравнений. . 161
Глава 7. Вполне непрерывные операторы 161
§ 1. Необходимые сведения из функционального анализа . . 161
§ 2. Оператор Фредгольма 163
§ 3. Интегральный оператор со слабой особенностью 166
§ 4. Операторы со слабой особенностью в пространстве непрерывных функций 170
Упражнения 173
Глава 8. Теория Фредгольма 174
§ 1. Уравнения с в. н. о. Интегральные уравнения 174
§ 2. Сведение к конечномерному уравнению. Доказательство первой и второй теорем Фредгольма 177
§ 3. Доказательство третьей теоремы Фредгольма 180
§ 4. Доказательство четвертой теоремы Фредгольма 182
§ 5. Альтернатива Фредгольма 185
§ 6. О непрерывности решений уравнения со слабой особенностью 187
Раздел IV. Общие сведения об уравнениях в частных производных 190
Глава 9. Уравнения и краевые задачи 190
§ 1. Дифференциальное выражение и - дифференциальное уравнение 190
§ 2. Классификация уравнений второго порядка 192
§ 3. Краевые условия и краевые задачи 196
§ 4. Задача Коши 200
§ 5. Проблемы существования, единственности и корректности для краевой задачи 202
Глава 10. Характеристики. Канонический вид. Формулы Грина 207
§ 1. Преобразование независимых переменных 207
§ 2. Характеристики. Соотношение между данными Коши на характеристике 209
§ 3. Приведение уравнений второго порядка к каноническому виду 212
§ 4. Случай двух независимых переменных 213
§ 5. Формально сопряженные дифференциальные выражения 216
§ 6. Формулы Грина 217
Раздел V. Уравнения эллиптического типа 222
Глава 1. Уравнение Лапласа и гармонические функции . . . 222
§ 1. Основные понятия 222
§ 2. Сингулярное решение уравнения Лапласа 225
§ 3. Интегральное представление функций класса С'2'.... 226
§ 4. Интегральное представление гармонической функции . . 229
§ 5. Понятие о потенциалах « 231
§ 6. Свойства объемного потенциала 234
§ 7. Теорема о среднем 241
§ 8. Принцип максимума 245
§ 9. О сходимости последовательностей гармонических функций 247
§ 10. Гаспространение на уравнения с переменными коэффициентами 251
Глава 12. Задачи Дирихле и Неймана 259
§ 1. Постановка задач 259
§ 2. Теоремы единственности для уравнения Лапласа 261
§ 3. Гешение задачи Дирихле для шара 265
§ 4. Теорема Лиувилля 272
§ 5. Задача Дирихле для внешности сферы 273
§ 6. Производные гармонической функции на бесконечности 274
§ 7. Теорема единственности для внешней задачи Неймана 275
Глава 13. Элементарные решения задач Дирихле и Неймана 278
§ 1. Задачи Дирихле и Неймана для круга 278
§ 2. Задача Дирихле для кругового кольца 283
§ 3. Применение конформного преобразования 284
§ 4. Сферические функции и их свойства 288
§ 5. Задачи Дирихле и Неймана, решаемые с помощью сферических функций 291
Упражнения 295
Глава 14. Вариационный метод в задаче Дирихле. Другие положительно определенные задачи 296
§ 1. Неравенство Фридрихса 296
§ 2. Оператор задачи Дирихле 298
§ 3. Энергетическое пространство задачи Дирихле 302
§ 4. Обобщенное решение задачи Дирихле 306
§ 5. Задача Дирихле для однородного уравнения 308
§ 6. О существовании вторых производных решения задачи Дирихле 311
§ 7. Эллиптические уравнения высших порядков и системы уравнений 313
§ 8. Задача Дирихле для бесконечной области 317
Упражнения 320
Глава 15. Спектр задачи Дирихле 321
§ 1. Интегральное представление функции, равной нулю на границе конечной области 321
§ 2. Спектр задачи Дирихле для конечной области 323
§ 3. Элементарные случаи 324
§ 4. Оценка роста собственных чисел 328
Глава 16. Задача Неймана 333
§ 1. Случай положительного С (х) 333
§ 2. Случай С (х) = 0 . . . 335
§ 3. Интегральное представление С. Л. Соболева 337
§ 4. Исследование оператора 910 340
§ 5. Обобщенное решение задачи Неймана 344
Упражнения 346
Глава 17. Несамосопряженные эллиптические уравнения. . . 347
§ 1. Обобщенное решение 347
§ 2. Теоремы Фредгольма 349
Глава 18. Метод потенциалов для однородного уравнения Лапласа 353
§ 1. Поверхности Ляпунова 354
§ 2. Телесный угол 359
§ 3. Потенциал двойного слоя и его прямое значение . . . 365
§ 4. Интеграл Гаусса 367
§ 5. Предельные значения потенциала двойного слоя .... 370
§ 6. Непрерывность потенциала простого слоя 374
§ 7. Нормальная производная потенциала простого слоя . . 377
§ 8. Сведение задач Дирихле . и Неймана к интегральным уравнениям 382
§ 9. Задачи Дирихле и Неймана в полупространстве .... 384
§ 10. Исследование первой пары сопряженных уравнений . . 386
§ 11. Исследование второй пары сопряженных уравнений. . 388
§ 12. Решение внешней задачи Дирихле 391
§ 13. Случай двух независимых переменных 394
§ 14. Уравнения теории потенциала для круга 400
Глава 19. Задача о косой производной 403
§ 1. Постановка задачи 403
§ 2. Оператор Гильберта 405
§ 3. Уравнения с оператором Гильберта 410
§ 4. Число решений и индекс задачи о косой производной на двумерной плоскости 418
Раздел VI. Нестационарные уравнения 421
Глава 20. Уравнение теплопроводности 422
§ 1. Уравнение теплопроводности и его характеристики. . . 422
§ 2. Принцип максимума 424
§ 3. Задача Коши и смешанная задача 427
§ 4. Теоремы, единственности 429
§ 5. Абстрактные функции вещественной переменной 431
§ 6. Обобщенное решение смешанной задачи 432
Глава 21. Волновое уравнение , 436
§ 1. Понятие о волновом уравнении 436
§ 2. Смешанная задача и ее обобщенное решение 487
§ 3. Волновое уравнение с постоянными коэффициентами. Задача Коши. Характеристический конус 441
§ 4. Теорема единственности для задачи Коши. Область зависимости 442
§ 5. Явление распространения волн 445
§ 6. Обобщенное решение задачи Коши 447
Глава 22. Метод Фурье 451
§ 1. Метод Фурье для уравнения теплопроводности 451
§ 2. Обоснование метода 453
§ 3. О существовании классического решения. Частный случай 457
§ 4. Метод Фурье для волнового уравнения 459
§ 5. Обоснование метода для однородного уравнения 462
§ 6. Обоснование метода для однородных начальных условий 466
§ 7. Уравнение колебаний струны. Условия существования классического решения 468
Глава 23. Задача Коши для уравнения теплопроводности . . 472
§ 1. Некоторые свойства преобразования Фурье 472
§ 2. Вывод формулы Пуассона 477
§ 3. Обоснование формулы Пуассона 481
§ 4. Бесконечная скорость теплопередачи 485
Глава 24. Задача Коши для волнового уравнения 486
§ 1. Применение преобразования Фурье 486
§ 2. Преобразование решения 489
§ 3. Случай трехмерного пространства 493
§ 4. Обоснование формулы Кирхгофа 495
§ 5. Задний фронт волны , 498
§ 6. Случай /л =2 (уравнение колебаний мембраны) 500
§ 7. Уравнение колебаний струны 501
§ 8. Волновое уравнение с переменными коэффициентами. . 503
Раздел VII. Корректные и некорректные задачи 507
Глава 25. О корректности задач математической физики . . . 507
§ 1. Основная теорема 507
§ 2. Положительно определенные задачи 509
§ 3. Задача Дирихле для однородного уравнения Лапласа . . 510
§ 4. Внешняя задача Неймана 511
§ 5. Внутренняя задача Неймана 514
§ 6. Задачи теплопроводности 517
§ 7. Задачи для волнового уравнения 519
§ 8. О некорректности задач математической физики ..... 521
Добавления . 524
Добавление 1. Эллиптические системы 524
Добавление 2. О задаче Коши для гиперболических уравнений. В. М. Бабич 532
Добавление 3. Некоторые вопросы теории общих дифференциальных операторов. В. Г. Мазья 545
Добавление 4. Нелинейные эллиптические уравнения второго порядка. И. Я. Бакельман 555
Литература. 569
Предметный указатель 574
*
ПРЕДИСЛОВИЕ
Предлагаемый вниманию читателей курс представляет собой несколько расширенное изложение лекций по математической физике, которые я читал студентам-математикам Ленинградского университета в течение последних лет.
Как обычно, курс содержит только теорию линейных уравнений в частных производных, почти исключительно второго порядка. Естественным образом основное место в книге занимают наиболее разработанные и наиболее важные для приложений три классических типа уравнений: эллиптические, параболические и гиперболические.
Уравнения двух последних типов можно, по крайней мере локально, рассматривать как абстрактные обыкновенные дифференциальные уравнения, содержащие неизвестную функцию также и под знаком эллиптического оператора. Отсюда можно сделать вывод, что эллиптический тип — основной для классической математической физики и что начинать изучение нужно именно с него.
Легко выявляются особая роль и особая разработанность положительно определенных задач (т. е. задач с положительно определенной энергией). Они хорошо решаются вариационным методом, при этом естественным образом вводятся обобщенные решения. Такая точка зрения позволяет без дополнительной затраты труда получать решения многих положительно определенных задач и тем самым сразу выйти далеко за пределы классического курса.
Я считаю целесообразным до перехода к нестационарным уравнениям и к методу Фурье дать теорию собственного спектра положительно определенных операторов, что легко делается с помощью вариационного метода. На основе этой теории решается смешанная задача для нестационарных уравнений: метод Фурье сводится к разложению по собственному спектру и без большого труда может быть обоснован в терминах обобщенных (а иногда и классических) решений. Спектральное разложение используется и для решения задачи Коши, но для уравнений с постоянными коэффициентами—теплопроводности и волнового — она проще и с достаточной общностью решается через преобразование Фурье по координатам.
Свое место в курсе находит и теория потенциала. Ограничиться только положительно определенными задачами невозможно: это видно хотя бы на задачах Дирихле и Неймана для уравнения Лапласа в случае бесконечной области или на задаче о косой производной. Метод потенциалов излагается для уравнения Лапласа, где его легче применять и где он сразу дает убедительные результаты.
Все изложение строится для общего случая многомерного пространства.
Сказанное приводит к следующему построению курса. Основной текст делится на семь разделов неодинаковой величины. Из них первые три раздела — вспомогательные. Впрочем, раздел II («Элементы вариационного исчисления») имеет и самостоятельное значение. Небольшой раздел IV содержит необходимый формальный аппарат, а также формулировку основных понятий и постановку важнейших задач.
Раздел V — самый большой в книге, что вполне объясняется особой ролью эллиптических уравнений. Отметим в этом разделе последнюю главу, посвященную задаче о косой производной в двумерной области, задаче, индекс которой может быть отличен от нуля.
В разделе VI рассмотрены уравнение теплопроводности и волновое уравнение как с постоянными, так и с переменными коэффициентами. Объединение их в одном разделе кажется мне целесообразным: несмотря на различие свойств этих уравнений, решаются они достаточно сходными методами. Небольшой раздел VII посвящен вопросу о корректности задач математической физики.
Кроме основного текста, книга содержит еще четыре небольших по объему добавления, в которых излагаются некоторые более современные идеи и результаты теории уравнений в частных производных. Только добавление 1 написано мною; -остальные добавления любезно согласились написать В. М. Бабич, В. Г. Мазья и И. Я. Бакельман, которым я рад принести свою искреннюю признательность.
Общий план и основное содержание книги я неоднократно обсуждал с моими коллегами по кафедре математической физики Ленинградского университета, возглавляемой акад. В. И. Смирновым. Всем им приношу свою глубокую благодарность. Особой благодарностью я обязан В. М. Бабичу и В. Г. Мазья, советами которых я воспользовался в ряде случаев. В частности, на их соображениях построено изложение вопроса о поверхностях Ляпунова в гл. 18. Хочу поблагодарить также моих слушателей И. Н. Кроля, С. М. Минееву и К. Г. Семенову за помощь при подготовке рукописи. Наконец, особой благодарностью я обязан редактору книги В. В. Арестову, который чрезвычайно внимательно прочитал рукопись и значительно способствовал ее улучшению.
Ленинград, С. Михлин
январь 1968 г.
