ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к шестому изданию 5
Введение 7
Глава первая. Системы линейных уравнений. Определители 15
§ 1. Метод последовательного исключения неизвестных 15
§ 2. Определители второго и третьего порядков 23
§ 3. Перестановки и подстановки 28
§ 4. Определители п-го порядка 37
§ 5. Миноры и их алгебраические дополнения 43
§ 6. Вычисление определителей 46
§ 7. Правило Крамера 53
Глава вторая. Системы линейных уравнений (общая теория) 60
§ 8. п-мерное векторное пространство 60
§ 9. Линейная зависимость векторов 63
§ 10. Ранг матрицы 70
§ 11. Системы линейных уравнений 77
§ 12. Системы линейных однородных уравнений 83
Глава третья. Алгебра матриц 89
§ 13. Умножение матриц 89
§ 14. Обратная матрица 95
§ 15. Сложение матриц и умножение матрицы на число 102
§ 16*. Аксиоматическое построение теории определителей 105
Глава четвертая. Комплексные числа 110
§ 17. Система комплексных чисел ПО
§ 18. Дальнейшее изучение комплексных чисел 115
§ 19. Извлечение корня из комплексных чисел 123
Глава пятая. Многочлены и их корни . 130
§ 20. Операции над многочленами 130
§ 21. Делители. Наибольший общий делитель 135
§ 22. Корни многочленов 143
§ 23. Основная теорема 147
§ 24. Следствия из основной теоремы 156
§ 25*. Рациональные дроби 161
Глава шестая. Квадратичные формы 166
§ 26. Приведение квадратичной формы к каноническому виду . . 166
§ 27. Закон инерции 174
§ 28. Положительно определенные формы 179
Глава седьмая. Линейные пространства 184
§ 29. Определение линейного пространства. Изоморфизм 184
§ 30. Конечномерные пространства. Базы 188
§ 31. Линейные преобразования 194
§ 32*. Линейные подпространства 201
§ 33. Характеристические корни и собственные значения 206
Глава восьмая. Евклидовы пространства 211
§ 34. Определение евклидова пространства. Ортонормированные базы 211
§ 35. Ортогональные матрицы, ортогональные преобразования . . 217
§ 36. Симметрические преобразования 222
§ 37. Приведение квадратичной формы к главным осям. Пары форм 226
Глава девятая. Вычисление корней многочленов 233
§ 38*. Уравнения второй, третьей и четвертой степени 233
§ 39. Границы корней 241
§ 40. Теорема Штурма 246
§ 41. Другие теоремы о числе действительных корней 252
§ 42. Приближенное вычисление корней 259
Глава десятая. Поля и многочлены 266
§ 43. Числовые кольца и поля 266
§ 44. Кольцо 270
§ 45. Поле 276
§ 46*. Изоморфизм колец (полей). Единственность поля комплексных чисел 281
§ 47. Линейная алгебра и алгебра многочленов над произвольным полем 285
§ 48. Разложение многочленов на неприводимые множители . . . 290
§ 49*. Теорема существования корня 298
§ 50. Поле рациональных дробей 305
Глава одиннадцатая. Многочлены от нескольких неизвестных 312
§ 51. Кольцо многочленов от нескольких неизвестных 312
§ 52. Симметрические многочлены 321
§ 53*. Дополнительные замечания о симметрических многочленах 328
§ 54*. Результант. Исключение неизвестного. Дискриминант . . . 334
§ 55*. Второе доказательство основной теоремы алгебры комплексных чисел 345
Глава двенадцатая. Многочлены с рациональными коэффициентами . . 350
§ 56*. Приводимость многочленов над полем рациональных чисел 350
§ 57* Рациональные корни целочисленных многочленов 355
§ 58*. Алгебраические числа 358
Глава тринадцатая. Нормальная форма матрицы 364
§ 59. Эквивалентность Х-матриц 364
§ 60. Унимодулярные Х-матрицы. Связь подобия числовых матриц с эквивалентностью их характеристических матриц 371
§ 61. Жорданова нормальная форма 379
§ 62. Минимальный многочлен 387
Глава четырнадцатая. Группы 392
§ 63. Определение и примеры групп 392
§ 64. Подгруппы 398
§ 65. Нормальные делители, фактор-группы, гомоморфизмы .... 404
§ 66. Прямые суммы абелевых групп 410
§ 67. Конечные абелевы группы 417
Указатель литературы 425
Предметный указатель 427
**
ПРЕДИСЛОВИЕ К ШЕСТОМУ ИЗДАНИЮ
Первое издание этoй книги вышло в 1946 г., а затем она переиздавалась в 1950, 1952, 1955 и 1956 гг. Перед вторым и четвертым изданиями книга подвергалась значительной переработке, имевшей целью отразить опыт алгебраического преподавания в Московском университете. При подготовке к настоящему шестому изданию книга подверглась еще более серьезной переработке, столь серьезной, что с достаточными основаниями ее можно было бы считать новой книгой, а не шестым изданием старой книги.
Эта переработка определялась двумя задачами. Прежде всего, неоднократно высказывались пожелания о расширении книги для того, чтобы она обеспечивала весь обязательный университетский курс высшей алгебры, а не только его первые два семестра, как это было до сих пор. С этой целью в книгу включено несколько новых глав. Одна из них посвящена основам теории групп, а остальные относятся к линейной алгебре — теория линейных пространств, теория евклидовых пространств, теория 7-матриц и жордановой нормальной формы матрицы.
Конечно, в советской алгебраической литературе в настоящее время имеется ряд хороших книг по линейной алгебре, различных по объему, содержанию, характеру изложения. Настоящая книга, даже после столь значительного добавления к ней материала, относящегося к линейной алгебре, не может претендовать на замену какой-либо из этих книг. Тем не менее бесспорно, что студентам будет удобно иметь весь обязательный материал собранным в одном учебнике и изложенным единым стилем.
С другой стороны, расположение глав, принятое в предшествующих изданиях книги, уже давно не соответствует действующему в Московском университете фактическому порядку изложения материала— этот последний в большой мере определяется необходимостью к определенному сроку выполнять определенные заказы курсов аналитической геометрии и математического анализа. Больше того, три года тому назад в Московском университете была введена новая программа курса высшей алгебры. За эти годы она успешно прошла испытания и поэтому казалось целесообразным перестроить книгу, расположив в ней материал в точном соответствии с указанной программой. Появление учебника, соответствующего этой программе, облегчит, вероятно, ее введение и в других университетах страны.
Укажем распределение материала по семестрам: 1-й семестр — главы 1—5, 2-й семестр — главы 6 — 9, 3-й семестр — главы 10, 11, 13 и 14. Следует отметить, что студенты-механики Московского университета изучают высшую алгебру лишь в объеме первых двух семестров.
Несомненно, что эта перестройка книги не затруднит, а, быть может, даже и облегчит ее использование в педагогических институтах.
Предшествующие переработки книги удавалось выполнить без всякого увеличения ее объема. На этот раз сделать это было, конечно, невозможно. Желание в какой-то мере сократить объем книги заставило исключить из нее некоторый материал, в частности параграфы, посвященные теореме Гурвица, теории алгебр и теореме Фробениуса. Тем не менее не казалось разумным ограничиться изложением в книге лишь того материала, который входит сейчас в обязательную программу, т. е. превратить эту книгу в простой конспект лекций. Сохраненный в книге необязательный материал — параграфы, целиком к нему относящиеся, отмечены звездочкой,— как правило, таков, что в свое время он входил в обязательную программу курса высшей алгебры, в некоторых университетах или педагогических институтах входит в программу и сейчас и во всяком случае был бы включен в программу, если бы курс высшей алгебры располагал большим числом часов.
При переработке книги были изменены также некоторые детали, на которых мы не будем, однако, сейчас останавливаться.
А. Курош
Москва, декабрь 1958 г.
