ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к третьему изданию 5
Из предисловия к первому изданию 5
Из предисловия ко второму изданию 6
Глава I. Введение. Классификация уравнений 7
§ 1. Определения. Примеры 7
§ 2. Задача Коши. Теорема Ковалевской 22
§ 3. Обобщение задачи Коши. Понятие о характеристике 38
§ 4. О единственности решения задачи Коши в области неаналитических функций 49
§ 5. Приведение к каноническому виду в точке и классификация уравнений второго порядка с одной неизвестной функцией 59
§ 6. Приведение к каноническому виду уравнения с частными производными второго порядка по двум независимым переменным в окрестности точки 63
§ 7. Приведение к каноническому виду системы линейных уравнений с частными производными первого порядка по двум независимым переменным 73
Глава II. Гиперболические уравнения 84
Раздел I
ЗАДАЧА КОШИ В ОБЛАСТИ НЕАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ
§ 8. Корректность постановки задачи Коши 84
§ 9. Понятие об обобщенных решениях 88
§ 10. Задача Коши для гиперболических систем с двумя независимыми переменными 92
§ 11. Задача Коши для волнового уравнения. Теорема о единственности решения . . 102
§ 12. Формулы, дающие решение задачи Коши для волнового уравнения 107
§ 13. Исследование формул, дающих решение задачи Коши 113
§ 14. Преобразования Лоренца 118
§ 15. Математические основы специальной теории относительности 128
§ 16. Обзор основных фактов в теории задачи Коши и некоторые исследования для общих гиперболических уравнений 131
Раздел II
КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛ
§ 17. Введение 145
§ 18. Единственность решения смешанной задачи 148
§ 19. Непрерывная зависимость решения от начальных условий . 151
§ 20. Метод Фурье для уравнения струны 157
§ 21. Общий метод Фурье (предварительное рассмотрение) 163
§ 22. Общие свойства собственных функций и собственных значений 168
§ 23. Обоснование метода Фурье 191
§ 24. Применение функции Грина к задаче о собственных значениях и к обоснованию метода Фурье 203
§ 25. Изучение колебаний мембраны 215
§ 26. Дополнительные сведения о собственных функциях и о разрешимости смешанной задачи для гиперболических уравнений 225
Глава III. Эллиптические уравнения 237
§ 27. Введение 237
§ 28. Свойство максимума и минимума и его следствия . . . 239
§ 29. Решение задачи Дирихле для круга 244
§ 30. Теоремы об основных свойствах гармонических функций 253
§ 31. Доказательство существования решения задачи Дирихле 262
§ 32. Внешняя задача Дирихле 272
§ 33. Вторая краевая задача . 276
§ 34. Теория потенциала 280
§ 35. Решение краевых задач с помощью потенциалов . , . 297
§ 36. Метод сеток для приближенного решения задачи Дирихле 316
§ 37. Обзор некоторых результатов для более общих эллиптических уравнений 324
Глава IV. Параболические уравнения 337
§ 38. Первая краевая задача. Теорема о максимуме и минимуме 337
§ 39. Решение первой краевой задачи для прямоугольника методом Фурье 340
§ 40. Задача Коши 344
§ 41. Обзор некоторых дальнейших исследований уравнений параболического типа 349
Дополнение 353
§ 42. Решение первой краевой задачи для уравнения теплопроводности методом сеток 353
§ 43. Замечания о методе сеток 367
**
ПРЕДИСЛОВИЕ К ТРЕТЬЕМУ ИЗДАНИЮ
В настоящее издание внесен ряд изменений и дополнений; наиболее значительные из них относятся к §§ 9, 16, 24, 26, 29, 30, 37, 41, 43. Добавлены также новые задачи. Работу по подготовке этого издания провели О. А. Олейник и А. С. Калашников. Л. А. Чудов заново написал § 43. Я очень им благодарен.
3 мая 1960 г. И. Петровский
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ
Эти лекции я читал несколько раз для студентов-математиков механико-математического факультета Московского государственного университета. При подготовке к печати я несколько дополнил их.
При работе над этой книгой большую помощь оказали мне К. С. Кузьмин, А. Д. Мышкис, 3. Я. Шапиро, Б, М. Левитан и М. И. Вишик. К. С. Кузьмин предоставил записки моих лекций. 3. Я. Шапиро оказала особенно большую помощь: она проредактировала рукопись, целиком написала §§ 22—25 и некоторые части других параграфов, Без ее помощи эта книга еще долго не была бы готова к печати. А. Д. Мышкис и М. И. Вишик прочитали всю рукопись и сделали ряд весьма ценных замечаний. Кроме того, А. Д. Мышкис написал §§ 34, 35 и часть § 4. Б. М. Левитан написал п. 3 из § 26. Всем им я глубоко благодарен.
9 апреля 1950 г. И. Петровский
ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ КО ВТОРОМУ ИЗДАНИЮ
Большую работу по подготовке этого издания провела О. А. Олейник. В частности, ею заново написаны §§ 23, 28, 42, 43 и некоторые части других параграфов, добавлены новые задачи. Я очень благодарен Ольге Арсеньевне Олейник за все это. Я также благодарен академику В. И. Смирнову, А. Д. Мышкису, О. А. Ладыженской и Л. А. Чудову за их ценные замечания.
2 августа 1953 г.
