ОГЛАВЛЕНИЕ

Предисловие 6

Глава 1. Введение. Классификация уравнений 7

§ 1. Определения. Примеры . 7
§ 2. Задача Коши. Теорема Ковалевской 23
§ 3. Обобщение задачи Коши. Понятие о характеристике. 37

§ 4. О единственности решения задачи Коши в области неаналитических функций 47
§ 5. Приведение к каноническому виду в точке и классификация уравнений второго порядка с одной неизвестной функцией 56
§ 6. Приведение к каноническому виду в области уравнения с частными производными второго порядка по двум независимым переменным 60
§ 7. Приведение к каноническому виду системы линейных уравнений с частными производными первого порядка по двум независимым переменным 70

Глава 2. Гиперболические уравнения 80

Раздел I
ЗАДАЧА КОШИ В ОБЛАСТИ НЕАНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

§ 8. Корректность постановки задачи Коши 80
§ 9. Понятие об обобщённых решениях 84
§ 10. Задача Коши для гиперболических систем с двумя независимыми переменными 86
§ 11. Задача Коши для волнового уравнения. Теорема о единственности решения 96
§ 12. Формулы, дающие решение задачи Коши для волнового уравнения 101
§ 13. Исследование формул, дающих решение задачи Коши 105
§ 14. Преобразования Лоренца 111
§ 15. Математические основы специального принципа относительности 121
§ 16. Обзор основных фактов в теории задачи Коши для общих гиперболических уравнений 124

Раздел II
КОЛЕБАНИЯ ОГРАНИЧЕННЫХ ТЕЛ

§ 17. Введение 132
§ 18. Единственность решения смешанной задачи .... 135
§ 19. Непрерывная зависимость решения от начальных условий 138
§ 20. Метод Фурье для уравнения струны 144
§ 21. Общий метод Фурье (предварительное рассмотрение) 150
§ 22. Общие свойства собственных функций и собственных значений . 154
§ 23. Обоснование метода Фурье 168
§ 24. Другое обоснование метода Фурье 184
§ 25. Изучение колебаний мембраны 191
§ 26. Дополнительные сведения о собственных функциях 201

Глава 3. Эллиптические уравнения 209

§ 27. Введение 209
§ 28. Свойства максимума и минимума и его следствия . 211
§ 29. Решение задачи Дирихле для круга 213
§ 30. Теоремы об основных свойствах гармонических функций 218
§ 31. Доказательство существования решения задачи Дирихле 225
§ 32. Внешняя задача Дирихле 234
§ 33. Вторая краевая задача 233
§ 34. Теория потенциала 244
§ 35. Решение краевых задач с помощью потенциалов . . 260
§ 36. Метод сеток для приближённого решения задачи Дирихле 276
§ 37. Обзор главнейших результатов для более общих эллиптических уравнений 284

Глава 4. Параболические уравнения 291

§ 38. Распространение тепла в ограниченном стержне (первая краевая задача) 291
§ 39. Распространение тепла в бесконечном стержне (задача Коши) 297
§ 40. Обзор некоторых дальнейших исследований уравнений параболического типа 302