АННОТАЦИЯ
За последние годы получила заметное развитие идея построения математического анализа на базе современной теории алгорифмов. Такое построение, отличаясь от традиционного простотой и интуитивной убедительностью исходных концепций, вместе с тем значительно лучше учитывает реальные вычислительные возможности.
В предлагаемой монографии в рамках конструктивного направления последовательно излагается система вычислимого анализа, развитая в СССР за последние 20 лет. Книга дает отчетливое представление о характере и свойствах таких понятий, как вычислимое действительное число, вычислимая действительная функция и т. д. Большой интерес представляют также точные постановки и доказательства неразрешимости ряда алгорифмических проблем анализа. Значительная часть материала освещается в мировой монографической литературе впервые.
Книга может быть рекомендована как специалистам в области математической логики и оснований математики, так и более широкому кругу читателей, работающих в области вычислительной математики и приложений теории алгорифмов.
**
Серия «Математическая логика и основания математики» состоит из публикаций, посвященных вопросам теории математического доказательства, теории алгоритмов, логическим исчислениям (классическим и конструктивным), истории математической логики и оснований математики, а также приложениям математической логики к вопросам автоматики и лингвистики. В серию входят монографии, обзорные работы и сборники статей на определенную тему, принадлежащие перу как отечественных, так и зарубежных ученых. Эти работы носят различный характер: некоторые из них рассчитаны на широкий круг научных работников, преподавателей и студен тов, между тем как другие имеют в виду более узкие круги специалистов разных профилей.
***
ОГЛАВЛЕНИЕ
От автора 7
Введение 9
Глава 1
Нормальные алгорифмы и перечислимые множества
§ 1. Нормальные алгорифмы 47
§ 2. Некоторые неразрешимые алгорифмические проблемы теории алгорифмов 92
§ 3. Разрешимые и перечислимые множества 98
Глава 2
Конструктивные действительные числа
§ 1. Натуральные, целые и рациональные числа 115
§ 2. Конструктивные действительные числа (КДЧ). Основные определения 126
§ 3. Отношения равенства и порядка на множестве КДЧ . 130
§ 4. Арифметические операции над КДЧ 149
§ 5. Рациональные числа в конструктивном континууме . .160
Глава 3
Конструктивная сходимость. Эффективная несчетность конструктивного континуума
§ 1. Основные определения. Первоначальные теоремы о пределах 163
§ 2. Полнота конструктивного континуума. Теорема о вложенных сегментах . 169
§ 3. Пример монотонной ограниченной не сходящейся последовательности рациональных чисел 179
§ 4. Эффективная несчетность конструктивного континуума . 187
Глава 4
Невозможность некоторых алгорифмов, связанных с конструктивными действительными числами
§ 1. Некоторые алгорифмические проблемы, связанные с отношениями равенства и порядка на конструктивном континууме. Приложения к алгебре 191
§ 2. Невозможность некоторых алгорифмов, связанных сосходимостью 202
§ 3. Конструктивные действительные числа и систематические дроби 209
Глава 5
Конструктивные функции
§ 1. Основные определения. Некоторые примеры .... 216
§ 2. Свойства непрерывности. Равномерно непрерывные функции 223
§ 3. Структура конструктивных функций 235
§ 4. Теоремы о среднем значении для конструктивных функций 258
Глава 6
Дифференцирование конструктивных функций
§ 1. Основные определения 265
§ 2. Теоремы о среднем значении дифференциального исчисления ...... 269
§ 3. Невозможность некоторых алгорифмов, связанных с дифференцированием 276
Глава 7.
Интегрирование конструктивных функций по Риману
§ I. Основные определения. Теорема об ограниченности интегрируемых функций 284
§ 2. Некоторые критерии интегрируемости. Интегрируемость равномерно непрерывных функций. Интегрируемость модуля и произведения интегрируемых функций .... 293
§ 3. Интеграл как функция верхнего предела. Теорема Ньютона — Лейбница. Теорема о замене переменной . , . 303
Глава 8
Сингулярные покрытия и некоторые их применения
§ 1. Основные определения. Существование сингулярных покрытий 311
§ 2. Примеры конструктивных функций с необычными свойствами 323
§ 3. Невозможность некоторых алгорифмов, связанных с интегрированием 341
Глава 9
Конструктивные метрические пространства
§ 1. Конструктивные метрические пространства. Основные определения, некоторые примеры. Пополнение конструктивных метрических пространств .. 356
§ 2. Согласованные множества. Алгорифмические операторы. Теорема непрерывности (первая формулировка) . . . 379
§ 3. Теорема о выборе перечислимого покрытия. Усиленная форма теоремы непрерывности. Некоторые контрпримеры 403
Библиография . 427
Указатель имен 441
Предметный указатель 443
Указатель обозначений 446
