Предисловие

В последние десятилетия весьма актуальными стали вопросы наилучшего (в том или ином смысле) управления различными процессами физики, техники, экономики и др. Сюда относится, например, задача опранизации производства с целью получения максимальной прибыли при заданных затратах ресурсов; задача управления системой гидростанций и водо­хранилищ с целью получения максимального количества электроэнергии; задача о космическом перелете из одной точки пространства в другую наибыстрейшим образом или с наименьшей затратой энергии; задача о быстрейшем нагреве печи до заданного температурного режима и многие другие задачи. К таким проблемам приводят также многие задачи вычис­лительной математики, как, например, задача наилучшего приближения функций, задача минимизации невязки уравнения и др.

В математической постановке задачи сводятся к отысканию экстре­мума (максимума или минимума) некоторой функции или функционала /(а), выражающего собой качество (цену) управления и из заданного множества V некоторого пространства. Требование принадлежности управления и некоторому множеству V выражает собой ограничения, обычно вытекающие из ограниченности наличных ресурсов, возможностей технической реализации управления, нежелательности каких-либо запре­щенных (аварийных) состояний и т. п. Задачи отыскания экстремума функционала 1(и) на множестве V принято называть экстремальными за­дачами. Заметим, что задача максимизации функционала У(и) на множе­стве V эквивалентна задаче минимизации функционала —I {и) на том же множестве .17, поэтому можно ограничиться рассмотрением задач мини­мизации.

С 50-х годов теория экстремальных задач обогатилась фундамен­тальными результатами, потребности практики способствовали бурному развитию методов приближенного решения экстремальных задач.

В основу настоящей книги положен курс лекций по численным мето­дам решения экстремальных задач, который автор в течение ряда лет чи­тает студентам 3—4-го курса факультета вычислительной математики и кибернетики Московского университета. В книге изложены основы наи­более часто используемых на практике методов приближенного решения экстремальных задач, теоретическое обоснование и краткая характеристи­ка этих методов. Содержание книги можно разделить на две части. К первой относятся две первые главы, где рассматриваются методы мини­мизации функций конечного числа переменных, во второй части — методы минимизации функционалов, заданных на множествах из функциональных (в основном гильбертовых) пространств и связанных с процессами, опи­сываемыми системами обыкновенных дифференциальных уравнений или уравнениями с частными производными.

Заманчиво было изложить методы минимизации в общем виде на языке функционального анализа в первой же части лекций, охватив при этом как частный случай многие методы минимизации функций конечного числа переменных и различных других классов функционалов. Однако такой способ изложения, несмотря на свою привлекательность и удобства для читателя-знатока, видимо, все же труден для первого знакомства с предметом, не говоря уже о том, что он не может отразить всю специфику конечномерных задач.

Таким образом, принятое в книге расположение материала объяс­няется стремлением автора, с одной стороны, сделать книгу доступной читателям, владеющим математикой в объеме программ технических вузов и желающим впервые ознакомиться с теорией и методами решения экстре­мальных задач, с другой стороны, сохранить математическую строгость изложения. По этой причине материал, требующий для своего полного усвоения знаний элементов функционального анализа, излагается в более поздних главах книги. Заметим, впрочем, что отсутствие знаний по функ­циональному анализу не будет мешать пониманию и усвоению излагае­мых в этих главах основ методов и иллюстрирующих их конкретных при­меров экстремальных задач, если только читатель будет готов некоторые утверждения принять не в их максимально общей форме.

Многие параграфы завершаются упражнениями, помогающими усво­ить содержание основного текста и дополняющими его. Объем книги заставил автора ограничиться лишь небольшим количеством примеров экстремальных задач, иллюстрирующих описываемые в книге методы. Список литературы, приводимый в конце книги, никак не может претен­довать на библиографическую полноту и не имеет целью отразить исто­рические аспекты и чей-либо приоритет в рассматриваемых вопросах, а содержит лишь те работы, которые были непосредственно использованы в книге или близко примыкают к ней, дополняя ее содержание.

Нумерация формул, теорем, лемм, определений, упражнений в каж­дом параграфе самостоятельная; ссылки на материалы, расположенные в пределах данного параграфа, имеют вид (А), вне данного параграфа, но в пределах данной главы — (В. А) вне данной главы — (С. В. А), где С — номер главы, В — номер параграфа, в котором находится упоми­наемая формула, теорема или другой материал с номером А. Так, напри­мер, теорема 3 из § 1 главы 2 в пределах данного § 1 именуется просто теоремой 3, в других параграфах 2-й главы — теоремой 1.3, в других главах — теоремой 2.1.3. Аналогично, при ссылках на § В главы С в пределах главы С этот параграф будет именоваться просто § В, вне гла­вы С — § С. А. Значок А в тексте означает окончание доказательства теорем, лемм.

Автор выражает глубокую благодарность академику А. Н. Тихонову за внимание и поддержку при написании книги, В. Г. Карманову, М. С. Никольскому, Н. X. Розову, прочитавшим книгу в рукописи и сде­лавшим ряд ценных замечаний, И. С. Березину, взявшему на себя труд по научному редактированию книги и своими советами способствовавшему улучшению содержания книги, устранившему многочисленные погрешности изложения. Автор весьма признателен В. Г. Курилову, В. И. Селиверсто­вой, А. С. Стрекаловскому за большую помощь в подготовке рукописи к изданию.

Автор будет благодарен читателям за все замечания по содержа­нию книги.