Оригинално заглавие:

L. C. YOUNG, Distinguished Research Professor of Mathematics University of Wisconsin Former Fellow of Trinity College Cambridge University

LECTURES ON THE CALCULUS OF VARIATIONS AND OPTIMAL CONTROL THEORY

W. B. SAUNDERS COMPANY, Philadelphia London Toronto 1969

*

На задната корица:

Иногда даже от выдающихся математиков можно услы­шать, что математическая теория тем более ценна и ин­тересна, чем больше тяжелого труда в нее вложено. Это, конечно, правильно, но следует помнить, что весь этот тяжкий труд выполняется за кулисами и большая его часть тратится на то, чтобы придать материалу доступ­ную форму. Если • читатель ценит только то, что нахо­дит трудным для восприятия, он рискует получить весь­ма превратное представление о современной математике. Тем, кто определял значение результата в математике, взвешивая страницы, занятые его доказательством, или засекая секундомером время, затраченное на его освое­ние, пришлось пережить несколько сильных потрясений, когда были найдены, простые доказательства теорем, ко­торые раньше требовали длинных и запутанных рассуж­дений. По правде говоря, математик похож на худож­ника: его труд полон страданий, хотя конечный резуль­тат не содержит и намека на них. Точно так же, созер­цая произведение искусства, мы думаем о том, что хотел сказать автор, а не о том, каких усилий это ему стоило.

Л. Янг

*

От вътрешната страна на обложката:

Лоренс Чисхолм ЯНГ родился в 1905 г. в Геттингене. Его родители — Уильям Генри и Грейс Эмили— английские математики, известные своими работа­ми по математическому анализу и тео­рии функций. В 1928 г. Л. Янг по­лучил свою первую ученую степень «бакалавр искусств», окончив с отли­чием Тринити Колледж. С 1931 г. Л. Янг—«магистр искусств», с 1938 — «доктор точных наук». В 1939 — 49 гг. Янг возглавляет математический фа­культет Кейптаунского университета, затем переезжает в США. С 1949 г. он профессор Висконсинского универ­ситета, в 1962 — 64 гг.— декан, с 1968 — почетный профессор. Свои математические исследования Л. Янг, продолжая традиции родите­лей, начал в области теории функций (одна из первых его работ посвящена теории меры). В дальнейшем он пере­ходит к исследованию задач вариаци­онного исчисления. Предложенные им понятия обобщенных кривых и поверх­ностей дали возможность по-новому взглянуть на вопросы существования решений как в классической, так и в современной проблематике.

------

Из предисловия У. X. Флеминга к английскому изданию:

...Лекции проф. Л. Ч. Янга начина­ются с изложения классических воп­росов вариационного исчисления (том I) и заканчиваются недавно полученны­ми результатами по теории оптималь­ного управления (том II). Это не про­сто компиляция полезных теорем и их доказательств — в этих лекциях, на­писанных весьма своеобразно, автор приглашает познакомиться с его точкой зрения на предмет, для которого он сделал так много...

Можно думать, что вариационное ис­числение наука весьма «чистая», имеющая отдаленное отношение к при­кладной математике. Дело обстоит как раз наоборот. Не только конкретные задачи вариационного исчисления иг­рают основополагающую роль в пов­седневной жизни и в таких областях, как экономика, техника и т. п. (ведь человечество старается действовать наилучшим образом, в пределах тех возможностей, которыми оно распола­гает), но и сама эта теория всем сво­им развитием обязана нуждам оптики, а позднее нуждам космических наук и других подобных вопросов. Задачи вариационного исчисления тре­буют не только новых методов, но, что более существенно, новых понятий. Необходимые понятия вырабатывались довольно медленно, и хотя сейчас они пронизывают всю современную мате­матику, многие даже не подозревают, что эти понятия возникли именно в нашем предмете.

Это означает, что вариационное исчи­сление выступает не только как об­ласть математики, но и как летопись математических понятий. А поскольку сейчас прогресс в математике во мно­гом связан именно с появлением новых понятий, изучаемый здесь пред­мет предоставляет нам насущное ру­ководство к дальнейшим исследовани­ям, и в этом отношении ни одна об­ласть математики не идет ни в какое сравнение с вариационным исчисле­нием.

Л. Янг

*

Аннотация

В «Лекциях» проф. Л. Янга дано нестандартное изложение различных аспектов вариационного исчисления и теории опти­мального управления. Книга состоит из двух томов. В первом из­ложены классические результаты вариационного исчисления. Во втором большое внимание уделено обобщенному оптимальному управлению.

Написанная живо и занимательно (без ущерба для строгости изложения), книга предназначена для математиков, вычислителей, астрономов, специалистов по теории управления и инженеров. Она доступна студентам старших курсов, специализирующимся в области оптимального управления.

*

ОГЛАВЛЕНИЕ

ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА 5
ПРЕДИСЛОВИЕ 9

ТОМ I. ЛЕКЦИИ ПО ВАРИАЦИОННОМУ ИСЧИСЛЕНИЮ ВСТУПЛЕНИЕ. ОБЩИЕ ЗАМЕЧАНИЯ И ТИПИЧНЫЕ ПРОБЛЕМЫ . 13

§ 1. Введение 13
§ 2. Место вариационного исчисления в математике и в космических науках 14
§ 3. Постановка простейшей задачи и некоторые родственные вопросы 16
§ 4. Экстремали в некоторых классических задачах 21
§ 5. Решение задач (а), (Ь), (с) 23
§ 6. Лемма Эйлера — Лагранжа и обобщенные функции в смысле Шварца 33
§ 7. Варианты той же леммы 35
§ 8. Доказательство основной формы леммы 37
§ 9. Первая вариация, уравнение Эйлера, трансверсальность ... 39
§ 10. Парадокс Перрона 41

ГЛАВА I. МЕТОД ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПОКРЫТИЙ 44

§ 11. Введение 44
§ 12. Вариационный алгоритм Гюйгенса 45
§ 13. Связь с элементарным понятием выпуклости 49
§ 14. Снова появляется уравнение Эйлера 52
§ 15. Теорема Малюса 56
§ 16. Достаточные условия инвариантности интеграла Гильберта . . 58
§ 17. Свойства инвариантности и теорема об огибающей 60
§ 18. Общие замечания и приложение теории к задачам на плоскости . 64
§ 19. Необходимые сведения о неподвижных точках и о теоремах существования для дифференциальных уравнений и неявных функций 66

ГЛАВА II. ДВОЙСТВЕННОСТЬ И ЛОКАЛЬНОЕ ПОГРУЖЕНИЕ 74

§ 20. Введение 74
§ 21. Преобразование Лежандра 74
§ 22. Гамильтонианы и их свойства 75
§ 23. Характеристики в смысле Коши 78
§ 24. Двойскенность и стандартный гамильтониан в параметрическом случае 80
§ 25. Другие допустимые параметрические гамильтонианы 84
§ 26. Локальный переход от параметрического случая к непараметрическому 86
§ 27. Погружение экстремалей в трубки «в малом» . . 88
§ 28. Локальная теория существования решений непараметрических вариационных задач и краевых задач для обыкновенных дифференциальных уравнении второго порядка 92
§ 29. Локальная параметрическая теория существования решений для эллиптического случая 99

ГЛАВА III. ПОГРУЖЕНИЕ В ЦЕЛОМ 108

§ 30. Введение 108
§ 31. Первая и вторая вариации и условие трансверсальности .... 109
§ 32. Как обманчива вторая вариация! 112
§ 33. Вторичный гамильтониан 113
§ 34. Геометрическая интерпретация понятия точности 116
§ 35. Отмеченные семейства 119
§ 36. Каноническое погружение и фокальные точки 123
§ 37. Теория сопряженных точек по Якоби 127
§ 38. Индекс устойчивости экстремали 133
§ 39. Вторая ступень теории Морса 138

ГЛАВА IV. ГЛОБАЛЬНЫЕ ГАМИЛЬТОНИАНЫ, ВЫПУКЛОСТЬ, НЕРАВЕНСТВА И ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ .... 142

§ 40. Введение 142
§ 41. Центр тяжести и зона рассеивания 143
§ 42. Выпуклость и теорема Хана — Банаха 148
§ 43. Идейное наследие Георга Кантора 153
§ 44. Двойственность выпуклых фигур 159
§ 45. Двойственность выпуклых функций 163
§ 46. Глобальные гамильтонианы и обновленное вариационное исчисление 166
§ 47. Замечания о классических неравенствах 170
§ 48. Дуальный единичный шар в функциональном пространстве ... 172
§ 49. Риссовское представление 180

ГЛАВА V. ТЕОРЕМЫ СУЩЕСТВОВАНИЯ И ИХ СЛЕДСТВИЯ .... 185

§ 50. Введение 185
§ 51. Гильбертова конструкция и некоторые ее следствия для стандартной параметрической задачи 187
§ 52. Параметрическая теория сопряженных точек и параметрическое условие Якоби 194
§ 53. Теорема единственности Тонелли — Каратеодори 200
§ 54. Абсолютный и гомотопический минимумы на Б...и-компактных областях и многообразиях 213
§ 55. На пути к автоматической теории существования 219
§ 56. Первая ступень абстрактного подхода: полунепрерывность в Б...и-компактном множестве 224
§ 57, 58, 59 229

ГЛАВА VI. ОБОБЩЕННЫЕ КРИВЫЕ И ПОТОКИ 230

§ 60. Введение 230
§ 61. Интуитивные соображения 231
§ 62. Немного о семантике 236
§ 63. Параметрические кривые в вариационном исчислении .... 237
§ 64. Допустимые кривые — элементы дуального пространства . . . 240
§ 65. Аналогия с человеческой жизнью 243
§ 66. Обобщенные кривые и потоки и их границы 245
§ 67. Параметрическое задание обобщенных кривых 252
§ 68. Существование минимума 263
§ 69. Свойства обобщенных решений 264

ПРИЛОЖЕНИЕ I. ЕЩЕ НЕМНОГО ОБ ОСНОВНЫХ ПОНЯТИЯХ ВЫПУКЛОГО АНАЛИЗА II ТЕОРИИ ИНТЕГРИРОВАНИЯ 272

§ 70. Введение 272
§ 71. Теорема отделимости для выпуклого конуса в %^{А) 272
§ 72. Лемма о недостаточном радиусе 274
§ 73. Дуальная теорема отделимости 276
§ 74. Лемма локализации для Б...и-компактного множества .... 278
§ 75. Риссовские меры 279
§ 76. Евклидова аппроксимация банаховой вектор-функции .... 280
§ 77. Элементарная оценка нормы 281
§ 78. Векторное интегрирование 282
§ 79. Замыкание выпуклой оболочки 283

ПРИЛОЖЕНИЕ II. СТРУКТУРА ОБОБЩЕННЫХ ПОТОКОВ И ИХ РОЛЬ В ВАРИАЦИОННОМ ИСЧИСЛЕНИИ ... 285

§ 80. Введение 285
§ 81. Полигональные потоки 286
§ 82. Основы современной двойственности в вариационном исчислeнии 289
§ 83. Элементарная форма вариационного принципа выпуклости . . 290
§ 84. Первое расширение 291
§ 85. Принцип расширения и первая теорема замыкания для обобщенных потоков 293
§ 86. Дальнейшее расширение: плотные потоки и их границы .... 294
§ 87. Предварительные сведения о смесях и о лагранжевом представлении 297
§ 88. Дополнительные сведения о мерах, смесях и плотных потоках 300
§ 89. Лагранжево представление плотного потока 307

ТОМ II. ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ВСТУПЛЕНИЕ. ЧТО ТАКОЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ | 315

§ 1. Введение 315
§ 2. Правило множителей 317
§ 3. Оптимальное управление и задача Лагранжа 319
§ 4. Печальные факты жизни 321
§ 5. Первая поправка к уравнению Эйлера и правилу множителей . 322
§ 6. Условие Вейерштрасса, трансверсальность, гамильтонианы и усовершенствованный рецепт Эйлера 325
§ 7. Классические гамильтонианы с ограничениями 328
§ 8. Управления и принцип максимума 334
§ 9. Принцип максимума и его частные случаи как определения . . . 338
§ 10. Решение двух элементарных задач об оптимальном быстродействии 342

ГЛАВА I. НАИВНАЯ ТЕОРИЯ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ . 355

§ 11. Введение 355
§ 12. Дискретное время и программирование 357
§ 13. Некоторые замечания о линейных дифференциальных уравнениях 361
§ 14. Подозрительные на оптимальность решения в простейшей задаче об оптимальном быстродействии 365
§ 15. Единственность и оптимальность 368
§ 16. Двумерные задачи: моменты переключений и основные конструкции 370
§ 17. Исследование случая (а) 375
§ 18. Исследование случая (Ь,) 377
§ 19. Исследование случая (Ь2) 381

ГЛАВА II. ПРИМЕНЕНИЕ СТАНДАРТНЫХ МЕТОДОВ ВАРИА¬ЦИОННОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ЗАДАЧАМ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ 384

§ 20. Введение 384
§ 21. Траектории и трассы 387
§ 22. Условие синхронизации, стандартная проекция и представительное отображение 391
§ 23. Пучок трасс 393
§ 24. Инвариантный интеграл Гильберта 396
§ 25. Вспомогательные леммы 400
§ 26. Теорема Малюса 403
§ 27. Цепь трасс 405
§ 28. Соединение фрагментов кривых 406
§ 29. Фундаментальная теорема и ее следствия 410

ГЛАВА III. ОБОБЩЕННОЕ ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ . . . 414

§ 30. Введение 414
§ 31. Празадача 419
§ 32. Снова семантика 421
§ 33. Стандартные управления и скользящие режимы в дифференциальных уравнениях 424
§ 34. Принцип отдыха на полпути и лемма Филиппова 430
§ 35. Единственность и ключевая лемма об аппроксимациях .... 437
§ 36. Распределенные управления 442
§ 37. Правильная постановка задач оптимального управления . . . 448
§ 38. Принцип минимума Гильберта 452
§ 39. Принцип максимума Понтрягина 453
§ 39А. Возмущение 460
§ 39В. Редукция к теореме отделимости 465
§ 39С. Эквивалентная форма условия отделимости 468
§ 39Б. Доказательство принципа максимума 470
§ 39Е. Эпилог 472

ЛИТЕРАТУРА 473
ИМЕННОЙ УКАЗАТЕЛЬ 479
ПРЕДМЕТНЫЙ УКАЗАТЕЛЬ . 480