АННОТАЦИЯ
Предметом книги является объединенный курс линейной алгебры и многомерной аналитической геометрии. Главное место в ней занимают основы теории конечномерных линейных пространств и линейных преобразований. В книге изложена тензорная алгебра и на соответствующих примерах показаны ее приложения. На примере групп преобразований читатель познакомится с элементами теории групп. В последней главе дается введение в проективную геометрию. Книга рассчитана на студентов механико-математических факультетов университетов. Она может быть полезна студентам втузов, инженерам и научным работникам разных специальностей, изучающим или использующим методы линейной алгебры и многомерной геометрии.
*
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Введение 9
Глава I. Линейные пространства 12
§ 1. Аксиомы линейного пространства
§ 2. Примеры линейных пространств 15
§ 3. Простейшие следствия из аксиом линейного пространства 22
§ 4. Линейная комбинация. Линейная зависимость 24
§ 5. Лемма о базисном миноре 27
§ 6. Основная лемма о двух системах векторов ... 30
§ 7. Ранг матрицы 32
§ 8. Конечномерные и бесконечномерные пространства. Базис 34
§ 9. Линейные операции в координатах 37
§ 10. Изоморфизм линейных пространств 39
§ 11. Соответствие между комплексными и действительными пространствами 42
§ 12. Линейное подпространство 44
§ 13. Линейная оболочка 47
§ 14. Сумма подпространств. Прямая сумма 51
Глава II. Линейные преобразования переменных. Преобразования координат 57
§ 1. Сокращенная запись суммирования 57
§ 2. Линейное преобразование переменных. Произведение линейных преобразований переменных и произведение матриц 60
§ 3. Квадратные матрицы и невырожденные преобразования 64
§ 4. Ранг произведения матриц 70
§ 5. Преобразование координат при изменении базиса 72
Глава III. Системы линейных уравнений. Плоскости в аффинном пространстве 76
§ 1. Аффинное пространство 76
§ 2. Аффинные координаты 78
§ 3. Плоскости 80
§ 4. Системы уравнений первой степени 84
§ 5. Однородные системы 89
§ 6. Неоднородные системы 96
§ 7. Взаимное расположение плоскостей 100
§ 8. Системы линейных неравенств и выпуклые многогранники 108
Глава IV. Линейные, билинейные и квадратичные формы 119
§ 1. Линейные формы 119
§ 2. Билинейные формы 124
§ 3. Матрица билинейной формы 128
§ 4. Квадратичные формы 131
§ 5. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Лагранжа 134
§ 6. Нормальный вид квадратичной формы 137
§ 7.-Закон инерции квадратичных форм 138
§ 8. Приведение квадратичной формы к каноническому виду методом Якоби 140
§ 9. Положительно определенные и отрицательно определенные квадратичные формы 143
§ 10. Определитель Грама. Неравенство Коши—Буняковского 146
§ 11. Нулевое подпространство билинейной и квадратичной формы 149
§ 12. Нулевой конус квадратичной формы 152
§ 13. Простейшие примеры нулевых конусов квадратичных форм 153
Глава V. Тензорная алгебра 157
§ 1. Взаимные базисы. Контравариантные и ковариантные векторы 157
§ 2. Тензорное произведение линейных пространств 166
§ 3. Базис в тензорном произведении. Координаты тензора 170
§ 4. Тензоры билинейных форм 176
§ 5. Многовалентные тензоры. Произведение тензоров 180
§ 6. Координаты многовалентных тензоров 184
§ 7. Полилинейные формы и их тензоры 186
§ 8. Симметрирование и альтернирование. Косые формы 188
§ 9. Второй вариант изложения понятия тензорного произведения двух линейных пространств ... 192
Глава VI. Понятие группы й некоторые его приложения 199
§ 1. Группы и подгруппы. Распределение базисов на классы по данной подгруппе матриц. Ориентация 199
§ 2. Группы преобразований. Изоморфизм и гомоморфизм групп 206
§ 3. Инварианты. Осевые инварианты. Псевдоинварианты 212
§ 4. Тензорные величины 219
§ 5. Ориентированный объем параллелепипеда. Дискриминантный тензор 224
Глава VII. Линейные преобразования линейных пространств 230
§ 1. Общие сведения230
§ 2. Линейное преобразование как тензор 233
§ 3. Геометрический смысл ранга и определителя линейного преобразования. Группа невырожденных линейных преобразований 237
§ 4. Инвариантные подпространства 240
§ 5. Примеры линейных преобразований 242
§ 6. Собственные векторы и характеристический многочлен преобразования . . 249
§ 7. Основные теоремы о характеристическом многочлене и собственных векторах 252
§ 8. Нильпотентные преобразования. Общая структура вырожденных преобразований 255
§ 9. Канонический базис нильпотентного преобразования 259
§ 10. Приведение матрицы преобразования к жордановой нормальной форме 270
§ 11. Преобразования простой структуры 276
§ 12. Эквивалентность матриц 278
§ 13. Формула Гамильтона—Кэли 281
Глава VIII. Пространства с квадратичной метрикой . . . 283
§ 1. Скалярное произведение 283
§ 2. Норма вектора 285
§ 3. Ортонормированные базисы 287
§ 4. Ортогональная проекция. Ортогонализация . . . 289
§ 5. Метрический изоморфизм 295
§ 6. /{-ортогональные матрицы и /{-ортогональные группы 297
§ 7. Группа евклидовых поворотов 301
§ 8. Группа гиперболических поворотов 310
§ 9. Тензорная алгебра в пространствах с квадратичной метрикой 320
§ 10. Уравнение гиперплоскости в пространстве с квадратичной метрикой 328
§ 11. Евклидово пространство. Ортогональные матрицы. Ортогональная группа 331
§ 12. Нормальное уравнение гиперплоскости в евклидовом пространстве 337
§ 13. Объем параллелепипеда в евклидовом пространстве. Дискриминашный тензор. Векторное произведение 339
Глава IX. Линейные преобразования евклидова пространства 344
§ 1. Сопряженное преобразование 344
§ 2. Лемма о характеристических корнях симметричной матрицы 347
§ 3. Самосопряженные преобразования 348
§ 4. Приведение квадратичной формы к каноническому виду в ортонормированном базисе .... 355
§ 5. Совместное приведение к каноническому виду двух квадратичных форм 357
§ 6. Кососопряженные преобразования 361
§ 7. Изометричные преобразования 364
§ 8. Канонический вид изометричного преобразования 369
§ 9. Движение твердого тела с одной неподвижной точкой 375
§ 10. Кривизна и кручение пространственной кривой 377
§ 11. Разложение произвольного линейного преобразования в произведение самосопряженного и изометричного преобразований 380
§ 12. Приложения к теории упругости. Тензор деформаций и тензор напряжений 383
Глава X. Поливекторы и внешние формы 387
§ 1. Альтернация 387
§ 2. Поливекторы. Внешнее произведение 393
§ 3. Бивекторы 399
§ 4. Простые поливекторы 410
§ 5. Векторное произведение 414
§ 6. Внешние формы и действия над ними 421
§ 7. Внешние формы и ковариантные поливекторы 425
§ 8. Внешние формы в трехмерном евклидовом пространстве 433
Глава XI. Гиперповерхности второго порядка 438
§ 1. Общее уравнение гиперповерхности второго порядка 438
§ 2. Изменение левой части уравнения при переносе начала координат 439
§ 3. Изменение левой части уравнения при изменении ортонормированного базиса 442
§ 4. Центр гиперповерхности второго порядка 445
§ 5. Приведение к каноническому виду общего уравнения гиперповерхности второго порядка в евклидовом пространстве 447
§ 6. Классификация гиперповерхностей второго порядка в евклидовом пространстве 451
§ 7. Аффинные преобразования 459
§ 8. Аффинная классификация [гиперповерхностей второго порядка 464
§ 9. Пересечение прямой с гиперповерхностью второго порядка. Асимптотические направления . . 465
§ 10. Сопряженные направления 468
Глава XII. Проективное пространство 472
§ 1. Однородные координаты в аффинном пространстве. Бесконечно удаленные точки 472
§ 2. Понятие проективного пространства 476
§ 3. Связка плоскостей в аффинном пространстве 487
§ 4. Центральное проектирование 496
§ 5. Проективная эквивалентность фигур 500
§ 6. Проективная классификация гиперповерхностей второго порядка 507
§ 7. Пересечение гиперповерхности второго порядка и прямой. Поляры 514
Приложение. Доказательство теоремы о классификации линейных величин 524
Литература 528
