Твърда корица, среден формат | 472 стр. | 562 гр.
(неизползвана, здрава и чиста книга с отлично книжно тяло и леко захабен външен вид)
АННОТАЦИЯ
Книга написана на основании лекций, которые читались автором в точение многих лет на 3-м курсе математического факультета Новосибирского университета.
Книга охватывает широкий круг вопросов, включающий в себя основания современной математической статистики, предельные теоремы для эмпирических распределений и основных типов статистик, основы теории оценок и теории проверки гипотез. Излагаются, в частности, методы отыскания оптимальных и асимптотически оптимальных процедур.
Книга рассчитана на аспирантов и студентов математических и физических специальностей высших учебных заведений.
Илл. 5. Библ. 80 назв.
***
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие 7
Введение 13
Глава 1
Выборка. Эмпирическое распределение. Асимптотические свойства статистик
§ 1. Понятие выборки 17
§ 2. Эмпирическое распределение (одномерный случай) ... 21
§ 3. Выборочные характеристики. Два типа статистик .... 25 1. Примеры выборочных характеристик (25). 2. Два типа статистик (2(3).
§ 4. Многомерные выборки 28
1. Эмпирические распределения (28). 2*. Более общие варианты теоремы Гливенко — Каятелли. Закон повторного логарифма (29). 3. Выборочные характеристики (30).
§ 5. Теоремы непрерывности 31
§ 6*. Эмпирическая функция распределения как случайный процесс. Сходимость к броуновскому мосту 35
1. Распределение процесса пРп(1) (35). 2. Предельное поведение процесса гсп(1) (39).
§ 7. Предельное распределение для статистик первого типа ... 41
§ 8*. Предельное распределение для статистик второго типа ... 46
§ 9*. Замечания о непараметрических статистиках 54
§ 10*. Сглаженные эмпирические распределения. Эмпирическио плотности ...... 55
Глава 2
Теория оценивания неизвестных параметров
§ 1. Предварительные замечания 61
§ 2. Некоторые параметрические семейства распределений и их свойства 63
1. Нормальное распределение на прямой (63). 2. Многомерное нормальное распределение (64). 3. Гамма-распределение (64). 4. Распределение ' «хи-квадрат» ГЦ с к степенями свободы (65). 5. Экспоненциальное распределение (66). 6. Распределение Фишера с числом степеней свободы к,, кг (66). 7. Распределение Стыодента с к степенями свободы (67). 8. Бэта-распределение (В-распределение) (69). 9. Равномерное распределение (69). 10. Распределение Коши Ка а с параметрами (а, а) (72). 11. Логнормальное распределение Ба,ца (72). 12. Вырожденное распределение (72), 13. Распределение Бернулли Вр (73). 14. Распределение Пуассона (73), 15. Полиномиальное распределение (73).
§ 3. Точечное оценивание. Основной метод получения оценок. Состоятельность, асимптотическая нормальность 74
1. Метод подстановки. Состоятельность (74). 2. Асимптотическая нормальность. Одномерный случай (78). 3. Асимптотическан нормальность. Случай многомерного параметра (78).
§ 4. Реализация метода подстановки в параметрическом случае. Метод моменто ... . . 79
1. Метод моментов. Одномерный случай (79). 2. Метод моментов. Многомерный случай (81), 3, Обобщенный метод моментов (82),
§ 5*. Метод минимального расстояния 83
§ 6. Метод максимального правдоподобия 85
§ 7. О сравнении оценок 93
1. Среднеквадратический подход.-Одномерный случай (93). 2. Асимптотический подход. Одномерный случай (96). 3. Среднеквадратичный и асимптотический подходы в многомерном случае (99).
§ 8. Сравнение оценок в параметрическом случае. Эффективные оценки 103
1. Одномерный случай (103). 2. Многомерный случай (109).
§ 9. Условные математические ожидания НО
1. Определение у. м. о. (НО). 2. Свойства у. м. о. (114).
§ 10. Условные распределения 116
§ 11. Байесовский и минимаксный подходы к оцениванию параметров 120
§ 12. Достаточные статистики 127
§ 13*. Минимальные достаточные статистики . . . . . . 133
§ 14. Построение эффективных оценок с помощью достаточных статистик. Полные статистики 140
1. Одномерный случай (140). 2. Многомерный случай (142). 3. Полные статистики и эффективные оценки (142).
§ 15. Экспоненциальное семейство 146
§ 16. Неравенство Рао — Крамера и //-эффективные оценки . . 140
1. Неравенство Рао — Крамера и его следствия (149). 2. К-эффек-тивные и асимптотически Н-эффективные оценки (154). 3. Неравенство Рао —Крамера в многомерном случае (157). 4. Некоторые выводы (163).
§ 17*. Свойства информации Фишера 164
1. Одномерный случай (164). 2. Многомерный случай (167). 3. Матрица Фишера и замена параметра (170)..
§ 18*. Оценки параметра сдвига и масштаба. Эффективные эквивариантиые оценки . . 170
1. Оценки параметров сдвига и масштаба (171). 2. Эффективная оценка параметра сдвига в классе эквивариантных оценок (172). 3. Минимаксность оценки Питмена (175). 4. Об оптимальных оцен-ках параметра масштаба (177).
§ 19*. Общая задача об эквивариантном оцепивапии 180
§ 20. Интегральное неравенство типа Рао — Крамера. Критерии
асимптотической байесовости и минимаксности оценок . . 183 1. Эффективные и сверхэффективные оценки (183). 2. Основные неравенства (185). 3. Неравенства в случае, когда функция д(9)/7(0) не дифференцируема (189). 4. Некоторые следствия. Критерии асим-птотической байесовости и минимаксности (191). 5. Многомерный случай (193).
§ 21. Расстояния Кульбака — Лейблера, Хеллпнгера и х2. Их свойства 194
1. Определения и основные свойства расстояний (194). 2. Связь расстояний Хеллингера и других с информацией Фишера (197). 3. Существование равномерных границ для г(Д)/Д! (199). 4. Многомерный случай (199). 5*. Связь рассматриваемых расстояний с оценками (202).
§ 22*. Разностное неравенство типа Рао — Крамера 203
§ 23. Вспомогательные неравенства для отношения правдоподобия.
Состоятельность оценок максимального правдоподобия . . . 203 1. Основные неравенства (209). 2. Оценки для распределения и моментов о. м. п. Состоятельность о. м. п. (211).
§ 24. Асимптотические свойства отношения правдоподобия . . . 212
§ 25. Свойства оценок максимального правдоподобия. Асимптотическая нормальность. Асимптотическая оптимальность 221
1. Асимптотическая нормальность о. м. п. (221). 2. Асимптотическая эффективность (222). 3. Асимптотическая байесовость о. м. п. (223),
4. Асимптотическая минимаксность о. м. п. (225).
§ 26*. Приближенное вычисление оценок максимального правдоподобия 225
§ 27*. Свойства оценок максимального правдоподобия при отсутствии условии регулярности. Состоятельность ....... 231
§ 28. Результаты §§ 23—27 для случая многомерного параметра . . 237
1. Неравенства для отношения правдоподобия (результаты § 23) (237). 2. Асимптотические свойства отношения правдоподобия (результаты § 24). (238). 3. Свойства о. м. п. (результаты § 25) (243). 4. Приближенное вычисление о. м. п. (246). 5. Свойства о. м. п. при отсутствии условий регулярности (результаты § 27). (246).
§ 29. Равномерность по 9 асимптотических свойств отношения правдоподобия и оценок максимального правдоподобия .... 246 1. Равномерные закон больших чисел и центральная предельная теорема (246). 2. Равномерные варианты теорем об асимптотических свойствах отношения правдоподобия и оценок максимального правдоподобия (248). 3. Некоторые следствия (252).
§ 30*. О статистических задачах, связанных с выборками случайного объема. Последовательное оценивание 253
§ 31. Интервальное оценивание 254
1. Определения (254). 2. Построение доверительных интервалов в байесовском случае (255). 3. Построение доверительных интервалов в общем случае. Асимптотические доверительные интервалы (256). 4. Построение точного доверительного интервала с помощью заданной статистики (259). 5. Другие методы построения доверительных интервалов (262). 6. Многомерный случай (264).
§ 32. Точные выборочные распределения и доверительные интервалы для нормальных совокупностей 265
1. Точные распределения статистик х, 5^ (265). 2. Построение точных доверительных интервалов для параметров нормального распределения (268).
Глава 3
Теория проверки гипотез
§ 1. Проверка конечного числа простых гипотез 270
1. Постановка задачи. Понятие статистического критерия. Наиболее мощный критерий (270). 2. Байесовский подход (272). 3. Минимаксный подход (278). 4. Наиболее мощные критерии (279).
§ 2. Проверка двух простых гипотез . . 280
§ 3*. Два асимптотических подхода к расчету критериев. Численное сравнение . 284
1. Предварительные замечания (284). 2. Фиксированные гипотезы (285). 3. Близкие гипотезы (290). 4. Сравнение асимптотических подходов. Числовой пример (293). 5. Связь н. м. к. с асимптотической эффективностью о. м. п. (298).
§ 4. Проверка сложных гипотез. Классы оптимальных критериев 299
1. Постановка задачи и основные понятия (299). 2. Равномерно наиболее мощные критерии (302). 3. Байесовские критерии (303). 4. Минимаксные критерии (304).
§ 5. Равномерно наиболее мощные критерии 304
1. Односторонние альтернативы. Монотонное отношение правдоподобия (304). 2. Двусторонняя основная гипотеза. Экспоненциальное семейство (307). 3. Другой подход к рассматриваемым задачам (312). 4. Байесовский подход и наименее благоприятные априорные распределения при построении н. м. к. и р. н. м. к. (313).
§ 6*. Несмещенные критерии 316
1. Определения. Несмещенные р. н. м. к. (316). 2. Двусторонние альтернативы. Экспоненциальное семейство (318).
§ 7*. Инвариантные критерии . ... 321
§ 8*. Связь с доверительными множествами 326
1. Связь статистических критериев и доверительных множеств. Связь свойств оптимальности (326). 2. Наиболее точные доверительные интервалы (328).. 3. Несмещенные доверительные множества (332), 4. Инвариантные доверительные множества (333).
§ 9. Байесовский и минимаксный подходы к проверке сложных гипотез 336
1. Байесовские и минимаксные критерии (336). 2. Минимаксные критерии для параметра а нормальных распределений (340). 3. Вырожденные наименее благоприятные распределения для односторонних гипотез (347),
§ 10. Критерий отношения правдоподобия 349
§ 11*. Последовательный анализ 352
1. Вводные замечания (352). 2. Байесовский последовательный критерий (353). 3. Последовательный критерий, минимизирующий среднее число испытаний (358). 4. Вычисление параметров наилучшего последовательного критерия (360).
§ 12. Проверка сложных гипотез в общем случае 363
§ 13. Асимптотически оптимальные критерии. Критерий отношения правдоподобия как асимптотически байесовский критерий для проверки простой гипотезы против сложной 373
1. Асимптотические свойства к. о. п.-и байесовского критерия (373). 2. Асимптотическая байесовость к. о. п. (375). 3. Асимптотическая несмещенность к. о. п. (379).
§ 14. Асимптотически оптимальные критерии для проверки близких сложных гипотез 380
1. Постановка задачи и определения (380). 2, Основные утверждения (384).
§ 15. Свойства асимптотической оптимальности критерия отношения правдоподобия, вытекающие из предельного признака оптимальности 388
1. А. р.л. м. к. для близких гипотез с односторонними альтернативами (388). 2. А. р. н. м. к. для двусторонних' альтернатив (390). 3. Асимптотически минимаксный критерий для близких гипотез, касающихся многомерного параметра (391). 4. Асимптотически минимаксный критерий о принадлежности выборки параметрическому подсемейству (394).
§ 16. Критерий %г. Проверка. гипотез по сгруппированным данным. 400
1. Критерий х2- Свойства асимптотической оптимальности. (400). 2. Применения критерия %2. Проверка гипотез по сгруппированным данным (404).
§ 17. Проверка гипотез о принадлежности выборки параметрическому семейству 408
1. Проверка гипотезы |х^=:Вв(о^}, Группировка данных (408). 2. Общий случай (412).
§ 18. -Устойчивость статистических решений 415
1. Оценка среднего для симметричных распределений (417). 2. Статистики Стыодента и 80 (418). 3. Критерий отношения правдоподобия (419).
Приложение I. Теоремы типа Гливенко — Кантелли .... 421
Приложение II. Функциональная предельная теорема для эмпирических процессов 423
Приложение III. Свойства условных математических ожиданий 428
Приложение IV. Факторизационная теорема Неймапа — Фишера 431
Приложение V. Закон больших чисел и центральная предельная теорема. Равномерные варианты. 434
Приложение VI. Некоторые утверждения, относящиеся к интегралам, зависящим от параметра 438
Приложение VII. Неравенства для распределения отношения правдоподобия в многомерном случае 443
Таблица I. Нормальное распределение Фол 448
Таблица II. Квантили нормального распределения 449
Таблица III. Распределение хи-квадрат Нк 450
Таблица IV. Распределение Стыодента Т ]С 454
Библиографические замечашгя . 457
Литература 462
Список основных обозначений 466
Предметный указатель 470
