Последовательное и полное изложение математической теории энтропии, написанное известными американскими математиками. Краткое содержание: введение, энтропия и информация, теорема Шеннона, связь с динамическими системами, применения в топологической динамике и в статистической механике. Книга удачно дополняет имеющуюся на русском языке литературу по данной тематике.
Для математиков-прикладников, физиков-теоретиков, аспирантов и студентов математических специальностей.
**
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие редактора перевода 5
От редактора энциклопедии 14
Предисловие редактора серии 15
Предисловие авторов 17
Указатель обозначений 19
Глава 1. Сведения из теории вероятностей 22
1.1. Вероятностные пространства 22
1.2. Измеримые разбиения и пространства Лебега 25
1.3. Решетка измеримых разбиений 35
1.4. Случайные величины 40
1.5. Условная вероятность и независимость 42
1.6. Условное математическое ожидание случайных величин 57
1.7. Случайные процессы и динамические системы 62
1.8. Эргодическая теорема и теорема о сходимости мартингалов 70
Глава 2. Энтропия и информация 83
2.1. Информация и неопределенность событий 83
2.2. Информационная функция испытания и энтропия 84
2.3. Пример . . 87
2.4. Условная информация и условная энтропия 91
2.5. Свойства энтропии и условной энтропии 92
2.6. Энтропия произвольных измеримых разбиений и теоремы о предельном переходе 99
2.7. Скорость создания информации 111
2.8. Энтропия динамических систем 118
2.9. Факторавтоморфизмы и факторсистемы 124
2.10. Теорема Шеннона и свойство равномерной распределенности 130
2.11. Энтропия как функция распределений 136
2.12. Примеры 140
2.12.1. Прямые произведения 140
2.12.2. Косые произведения 140
2.12.3. Степени эндоморфизмов 141
2.12.4. Потоки 141
2.12.5. Производные эндоморфизмы 142
2.12.6. Периодические автоморфизмы 142
2.12.7. Повороты окружности 143
2.12.8. Эргодические автоморфизмы компактных абелевых групп 143
2.12.9. Сдвиги Бернулли 145
2.12.10. Сдвиги Маркова 145
2.12.11. 5-автоморфизмы 146
2.12.12. Односторонние сдвиги 147
2.12.13. Преобразования непрерывных дробей 148
2.12.14. /-преобразования 148
2.13. Л-энтропия и г-энтропия 150
Глава 3. Теория информации 153
3.1. Модель системы передачи информации 153
3.2. Источник 155
3.3. Кодирование 158
3.4. Канал 159
3.5. Теорема кодирования для канала с шумом 166
3.6. Кодирование источника 168
Глава 4. Эргодическая теория 188
4.1. Введение 188
4.2. Унитарный оператор системы и сдвиги Бернулли 189
4.3. К-системы и К-автоморфизмы 192
4.4. Пространства упорядоченных разбиений, слабая независимость и слабая зависимость 208
4.5. Кодирование и основная лемма Орнстейна 218
4.6. Теорема об изоморфизме систем Бернулли 243
4.7. Характеризация систем Бернулли 247
4.8. Относительный изоморфизм 251
4.9. Специальные потоки и теория эквивалентности 256
Глава 5. Топологическая динамика 265
5.1. Введение 265
5.2. Определение и основные свойства топологической энтропии . . 267
5.3. Связь топологической и метрической энтропий 272
5.4. Другое определение топологической энтропии 277
Глава 6. Статистическая механика 285
6.1. Введение 285
6.2. Классические непрерывные системы 286
6.3. Классические решетчатые системы 291
6.4. Гиббсовские состояния для решетчатых систем 293
6.5. Равновесные состояния и понятия энтропии и давления .... 298
Литература 303
Именной указатель 338
Предметный указатель 341
