С. Г. Крейн  |  В. Н. Ушакова  (автори)

Мека корица, среден формат  |  184 стр. |  172 гр.

(неизползвана книга - леко захабен вид)

*

АНОТАЦИЯ

Целта на книгата е да помогне на изучаващите математика във висшите учебни заведения да преодолеят по-лесно някои трудности, срещани при усвояването на висшия анализ. Тези трудности отчасти се обясняват с из­вестно разкъсване между средношколския и висшия курс по математика. Авторите са се постарали максимално да стеснят това разкъсване.

Книгата е предназначена главно за студенти от долните курсове по всички специалности, в които се изучава висша математика, но ще бъде много полезна и за инженери, преподаватели и др.

**

ПРЕДГОВОР

Тази книга е написана въз основа на лекциите в курса по висша математика, четени от единия от авторите в продължение на редица години в Криворожкия минно-руден институт и във Воронежкия лесотехнически ин­ститут.

Общоизвестно е, че при изучаване на курса по висша математика се срещат редица трудности. Особено трудно се усвоява първата част на математическия анализ, която съдържа теорията за границите и диференциалното смя­тане. Трудностите се обясняват, от една страна, с многото нови понятия и методи, а от друга, според нашето мне­ние — с недостатъците в строежа на изложението на курса. От тях за главен недостатък смятаме липсата на ясносг по отношение на основния предмет на изследването. Съз­дава се впечатление, че най-важно е изучаването на ло­гичната взаимна връзка между различните нови понятия.

На нас ни се струва, че основното съдържание на всеки курс се определя не само от понятията и теоремите, които се въвеждат, но и от броя на примерите и прило­женията, които се разглеждат в самия курс, в практиче­ските занятия и в близките курсове. Може да се прилага все по-общ метод за излагане на понятията число, функ­ция, граница и други подобни, но ако не се промени кръгът на задачите, решавани на лекциите, практическите занятия и в близките курсове, това само ще доведе до несъответствие между метода на излагането и предмета на изследването.

Авторите смятат, че основен предмет на изследването в   курса  по математически анализ във ВТУЗ-овете са функционалните зависимости между величините, които се изразяват точно или приблизително с помощта на елемен­тарни функции. Малките отклонения извън рамките на класа на елементарните функции, които се срещат в теорията за интегралите, редовете и диференциалните уравнения, още повече подчертават основното съдържание на курса. Ако подготовката на инженера изисква повече, въвеждат се допълнителни раздели или курсове, като „Специални функ­ции", „Аналитични функции" и др. под.

Възгледът «а авторите е отразен в наименованието на книгата. В нея се излага не математическият анализ въобще, а математическият анализ на елементарните функции.

Изучаването на математическия анализ във ВУЗ-овете се усложнява е това, че абсолвентите от средното учи­лище имат извънредно оскъдни знания за елементарните функции. С цел да се попълни този запас в книгата е разработена обширна глава „Елементарни функции", в която с методи на „училищната математика" (даже без из­ползуването на бинома на Нютон) подробно се изследват основните елементарни функции. Освен това разглеждат се и всички основни характеристики на функциите и на графиките им, изучавани в курса по анализ (дефиниционна област, интервали на нарастване и намаляване, точки на екстремните стойности, интервали на изпъкналост и вдлъбнатост на графиките, инфлексни точки, асимптоти и т. н.). Всички свойства и съответните им понятия се въ­веждат не „за запас", а според откриването им при из­учаването на една или друга функция. В края на първата глава се засяга въпросът за линеаризирането на елемен. тарните алгебрични функции. На линеаризирането на функ­цията чрез пренебрегване на малки величини на степен над първа авторите придават важно значение, тъй като в повечето случаи в практическите задачи то се извършва по този начин.

Във втора глава са изложени основите на теорията за границите. Пресмятането на най-важните граници е свър­зано със задачата за намиране допирателната към графи­ките на основните елементарни функции. Така числото е се въвежда като основа на показателната функция, ъгло­вият коефициент на допирателната към чиято графика в пресечната точка с ординатната ос е равен на единица»

В трета глава („Линеаризиране на елементарните функ­ции") въз основа на пресметнатите граници се получават формулите за линеаризиране на основните елементарни функции близо до нулата, а след това и за линеаризиране близо до коя да е точка. Производните се получават като коефициенти пред Ах във формулите за линеаризиране. Извеждането на всички формули за производните е едно­типно и се извършва въз основа на прилагането на „тео­ремите за събирането" и на формулите за линеаризира­нето близо до нулата за съответната функция. Изпол­зуват се широко понятията за еквивалентните на безкрай­но малките и за реда на едно безкрайно малко спрямо друго безкрайно малко.

Четвърта глава — „Приложение на производните при изследването на функции" — е написана сбито. Основ­ните задачи по изследване на функциите са вече дадени в първата глава и се решават бързо с помощта на теоре­мата на Лагранж. Формулата на Тейлор се въвежда като по-нататъшно естествено развитие на формулите за ли­неаризиране и се прилага при разлагането на основните елементарни функции.

Изложението е онагледено с неголям брой примери от областта на физиката.

Строгостта на изложението е различна в отделните глави. Докато в първата глава се използува само интуи­тивното понятие за граница на функция, във втората глава то се въвежда строго. Свойствата на непрекъсна­тите функции и непрекъснатостта на основните елемен­тарни функции се използуват без доказателства.

Авторите още веднъж подчертават, че желанието им е било да построят изложението така, че максимално да намалят несвързаността между построението на апарата на математическия анализ и основния обект, към който той се прилага — елементарните функции. Доколко това им се е удало, ще прецени читателят.

С. Г. Крейн, В. Н. Ушакова