Анотация

Учебникът "Математически методи в икономиката" е предназначен за студентите от икономическите ВУЗ. Той е съобразен с учебната програма по тази дисциплина и може да се ползва и от всички специалисти и стопански ръководители, които се интересуват от тези проблеми и прилагат математически методи за планиране, анализ и ръководство на икономиката.

В учебника са изложени различни задачи на математическото програмиране и методи за тяхното решаване. При излагане на методите е спазван следният принцип: първо се дават теоретичните основи на метода, след това неговият алгоритъм, илюстриран със съответни числени примери. Търсено е възможното най-добро съотношение между математическото и илюстративното изложение с оглед изискванията при подготовката на студентите от икономическите институти.

*

Предговор

Една от най-характерните черти на съвременната наука е широкото използуване на математическите методи. Задачите, свързани с управлението на народното стопанство и проблемите на планирането на икономиката, изискват не само да се изучават качествените страни на явленията, но и да се изследват техните количествени характеристики. Това е свързано както с усъвършенствуването на организационните форми на управление на народното стопанство, така и с по-нататъшното развитие на икономическата наука.

Голямо значение за развитието и усъвършенствуването на икономическия анализ имат математическите методи на изследване и съвременната изчислителна техника.

Задачите за оптимално планиране и управление на икономиката са свързани с много фактори, връзките между които се моделират адекватно чрез линейни или нелинейни уравнения и неравенства. Всеки фактор количествено се характеризира чрез съответна променлива величина. Ако целта на задачата е ясно определена и може да се запише под формата на функция на същите променливи, чийто максимум (минимум) се търси в областта, дефинирана от съответните уравнения и неравенства, задачата е предмет на математическото програмиране.

Математическото програмиране е голям дял на съвременната наука. Негов обект са екстремалните задачи с много променливи, на които са наложени линейни или нелинейни ограничителнй условия. То се състои от различни раздели, във всеки от които се изучават определени класове задачи и методи за тяхното решаване. В този учебник са разгледани много от разделите на математическото програмиране, които намират по-широко приложение при изследване/ и анализ на икономическите процеси и явления.

Отделните глави на учебника са написани, както следва:
доц. Костадин Бонев— глави втора, седма, осма и девета;
доц. Неда Стойнова-Пенкова — глави първа, трета и четвърта;
доц. к. и. н. Стефка Борисова— глави пета, шеста и десета и
гл. ас. к. и. н. Петър Петров — глава единадесета.

*

Съдържание

ПРЕДГОВОР

ГЛАВА ПЪРВА. ИЗПЪКНАЛИ МНОЖЕСТВА. ИЗПЪКНАЛИ ФУНКЦИИ
1.1. Системи линейни неравенства. Дефиниции и геометрично тълкуване 5
1.2. Системи линейни неравенства и системи линейни уравнения 12
1.3. Изпъкнали множества 15
1.4. Изпъкнали функции 26

ГЛАВА ВТОРА. ОБЩА ЗАДАЧА НА ЛИНЕЙНОТО ПРОГРАМИРАНЕ

2.1. Въведение 36
2.2. Формулиране на общата задача на линейното програмиране 38
2.3. Свойства на решенията на общата задача на линейното програмиране 44
2.4. Геометрична интерпретация на задачите на линейното програмиране. Графичен метод 49 J
2.5. Матева ически модели на икономико-производствени задачи 58

ГЛАВА ТРЕТА. СИМПЛЕКС-МЕТОД

3.1. Уводни бележки 66
3.2. Теоретична обо:новка на симплекс-метода 67
3.3. Алгоритъм на симплекс-метода 77
3.4. M-метод 90
3.5. Метод на двете фази 97
3.6. Понятие за израждане при общата задача на линейното програмиране. Сходимост на симплексния алгоритъм 99
3.7. Модифицаран симплекс-метод 103

ГЛАВА ЧЕТВЪРТА. ДВОЙНСТВЕНОСТ В ЛИНЕЙНОТО ПРОГРАМИРАНЕ

4.1. Обща дефиниция на двойнствените (дуалните) задачи 122
4.2. Еквивалентни форми 125
4.3. Теоретични основи на проблема за двойнственост 127
4.4. Икономическа интерпретация 139
4.5. Двойнствен симплекс-метод 142

ГЛАВА ПЕТА. ЦЕЛОЧИСЛЕНО ЛИНЕЙНО ПРОГРАМИРАНЕ

5.1. Задача на целочисленото линейно програмиране 154
5.2. Метод за отсичане — основна идея 156
5.3. Метод на Гомори 162
5.4. Метод на Гомори за решаване на частично целочислени задачи 172

ГЛАВА ШЕСТА. ПАРАМЕТРИЧНО ПРОГРАМИРАНЕ

6.1. Случай, при който C=C'+tC" 180
6.2. Случай, при който B=B'+ tB" 193
6.3. Общ случай 200

ГЛАВА СЕДМА. ТРАНСПОРТНА ЗАДАЧА НА ЛИНЕЙНОТО ПРОГРАМИРАНЕ

7.1. Постановка и свойства на транспортната задача 208
7.2. Двойнствена транспортна задача 217
7.3. Построяване на начален опорен план 219
7.4. Метод на потенциалите 222
7.5. Израждане при транспортната задача 231
7.6. Разпределителен метод 234
7.7. Открита транспортна задача 236
7.8. Многоетапна транспортна задача 241

ГЛАВА ОСМА. НЕЛИНЕЙНО ПРОГРАМИРАШЕ

8.1. Постановка на задачите на нелинейното програмиране 247
8.2. Геометрична интерпретации на задачите на нелинейното прог;
8.3. Задача на изпъкналото програмиране 253
8.4. Метод на множителите на Лагранж. Теорема на Кун-Такър
8.5. Градиентни методи 259
8.6. Метод на възможните направления 267
8.7. Квадратично програмиране 275

ГЛАВА ДЕВЕТА. ДИНАМИЧНО ПРОГРАМИРАНЕ

9.1. Въведение 284
9.2. Принцип за оптималност 286
9.3. Многоетапен процес за разпределение на ресурсите 287
9.4. Метод на функционалните уравнения 288
9.5. Изчислителна схема 292
9.6. Обща формулировка на задачите на многоетапното планиране 295
9.7. Метод на последователните приближения 299
9.8. Някои елементарни задачи на динамичното програмиране 301

ГЛАВА ДЕСЕТА. ГЕОМЕТРИЧНО ПРОГРАМИРАНЕ

10.1. Пряка задача на геометричното програмиране 313
10.2. Двойнствена задача на геометричното програмиране 316
10.3. Основни теореми за двойнственост в теорията на геометричното програмиране 317
10.4. Основни процедури в геометричното програмиране 322
10.5. Степен на трудност на задачите на геометричното програмиране 328
10.6. Други подходи на геометричното програмиране 333

ГЛАВА ЕДИНАДЕСЕТА. ПАКЕТИ ПРИЛОЖНИ ПРОГРАМИ ЗА РЕШАВАНЕ НА ЗАДАЧИ НА ЛИНЕЙНОТО ПРОГРАМИРАНЕ

11.1. Пакет приложни програми "Линейно програмиране" 341
11.2. Пакет приложни програми "Смесено целочислено програмиране" 354
11.3. Пакет приложни програми "Транспортна задача" 362

ЛИТЕРАТУРА 368