ПРЕДИСЛОВИЕ

Эта книга написана по материалам одной из секций школь­ного математического кружка при Московском государствен­ном университете им. М. В. Ломоносова, работавшей в 1945/46 и 1946/47 учебных годах. Один из авторов был руково­дителем этой секции, другой — ее участником. Секция назы­валась секцией общего типа. На ее занятиях рассматривались вопросы из различных областей математики. Основной целью было не столько сообщить участникам новые сведения, сколько научить их активному, творческому отношению к математике. Наиболее удачные темы складывались в процессе самой ра­боты секции. В предлагаемую книгу вошли — в значительно переработанном и расширенном виде — три такие темы: за­дачи о многоцветной раскраске карт, задачи из теории чисел, решаемые с помощью арифметики вычетов, и задачи из тео­рии вероятностей, связанные с так называемыми случайными блужданиями.

Каждой из этих тем была посвящена целая серия после­довательных занятий секции. Она начиналась обычно с задач, которые не требовали никаких новых понятий по своей фор­мулировке, но решение которых должно было сразу ввести участников секции в новый круг вопросов. И в дальнейшем беседы руководителя тесно переплетались с задачами, кото­рые давались в ходе самой беседы, иногда решались на месте, а чаще оставлялись для домашнего решения до следующего занятия. Значительная часть всего материала темы предла­галась в виде циклов связанных между собой задач ¹). На каждом занятии секции определенное время отводилось разбору решений, которые служили затем материалом для обобщений и выводов, делавшихся руководителем. В своих беседах руководитель излагал также более трудные вопросы, менее поддающиеся расчленению на отдельные задачи.

Форма беседы, прерывающейся постановкой задач, реше­ние которых существенно для дальнейшего изложения, при­нята и в этой книге.

Для чтения первых двух разделов достаточно знания ма­тематики в объеме 7 классов средней школы; третий раздел требует несколько большей математической культуры. Книга рассчитана в основном на школьников старших классов, но может быть использована также в студенческих кружках на младших курсах.

Мы пользуемся случаем выразить нашу благодарность А. Н. Колмогорову, советы которого способствовали значи­тельному улучшению книги. Мы приносим также благодарность Э. Э. Балашу, задачи которого легли в основу §§ 2 и 3 главы IV второго раздела. Наконец, мы признательны М. А. Най-марку и И. М. Яглому, прочитавшим рукопись и сделавшим ряд замечаний. В заключение нам хотелось бы отметить тща­тельную работу нашего редактора А. 3. Рывкина.

Е. Дыншн В. Успенский

Март 1952 г.

УКАЗАНИЯ К ПОЛЬЗОВАНИЮ КНИГОЙ

Все три раздела независимы друг от друга, поэтому чи­тать их можно в любом порядке; однако при этом следует помнить, что первый раздел является наиболее легким, а тре­тий— наиболее трудным. Добавление к первому разделу со­держит решение одной задачи, примыкающей по своему ха­рактеру к тематике этого раздела; впрочем, добавление может читаться независимо от первого раздела, так как для его понимания не нужно ничего, кроме определения правильной раскраски.

Каждый раздел посвящен одной теме; отдельные его части тесно связаны между собой. Поэтому каждый раздел надо читать последовательно, от начала до конца. Исключение со­ставляют только главы II и IV второго раздела, отмеченные звездочками. Они несколько отступают от основного плана раздела и могут быть опущены при первом чтении без ущерба для понимания дальнейшего (глава II является по существу дополнением к главе I, а глава IV — дополнением к главе III).

Книга рассчитана на активную работу читателя. В каждый раздел входят в качестве его органической части задачи. Большая часть задач группируется в циклы. Каждый цикл составляет единое целое. Чаще всего отдельные задачи, опи­раясь одна на другую, ведут читателя к окончательному ре­зультату, который содержится в заключительной задаче цикла (см., например, задачи 21—27, 38—41 первого раздела, за­дачи 84—88, 127—131 второго раздела и др.). Иногда объе­диняющей целью является не получение какого-нибудь опре­деленного результата, а овладение новым методом (например, в задачах 11—14 первого раздела). Наконец, в небольшом числе случаев задачи носят характер тренировочных упражне­ний,  которые должны помочь читателю овладеть новыми понятиями (задачи 57—64 второго раздела, задачи 186—188 третьего раздела и др.).

Приступая к решению задач, полезно просмотреть форму­лировки всех задач данного цикла. Рекомендуем читателю не заглядывать в решения, помещенные в конце книги, до тех пор пока он не решит все задачи цикла: решения, ко­торые мы приводим, направят его на определенный путь, между тем, размышляя самостоятельно, он может притти к новым, оригинальным решениям. Практика школьного кружка показывает, что при этом иногда получаются более простые и изящные решения, нежели те, которые ожидались авторами задач. Различные циклы задач значительно отличаются друг от друга по своей трудности. Однако опыт университетского школьного кружка позволяет назвать неделю в качестве при­мерного среднего срока работы над одним-двумя циклами задач.

Вероятно, читателю не всегда удастся самостоятельно решить все задачи цикла. Если первые задачи решены, но в дальнейшем читатель наталкивается на трудности, которые ему никак не удается преодолеть, то полезно прочесть ре­шения первых, уже решенных задач. Иногда это окажется достаточным, чтобы натолкнуть на решение задачи, ранее не поддававшейся усилиям. Если же трудности окажутся не­преодолимыми, то следует ознакомиться с решением трудной задачи и после этого продолжать решение дальнейших задач.

Несмотря на фундаментальную роль задач, книга отнюдь не является задачником. Равноправную с задачами роль играет помещенный в ней теоретический материал. Взаимоотношение этого материала с задачами различно в различных главах книги. Иногда основное содержание составляют условия задач, и роль остального текста сводится лишь к тому, чтобы ввести необходимые понятия и подвести итоги (см., например, § 1 первого раздела, главу V второго раздела и др.). В других случаях (глава II второго раздела и почти весь третий раздел) ведущая роль принадлежит теоретическому материалу, зада­чам же отводится подчиненное место. Во всяком случае текст и задачи тесно связаны между собой и необходимо читать их подряд в том порядке, в каком они приведены в книге.

Существенную часть содержания книги составляют реше­ния задач, сопровождающиеся часто выводами и замечаниям принципиального характера. С решениями следует ознакомиться независимо от того, насколько удалось справиться с зада­чами самостоятельно.

В заключение посоветуем читателю не жалеть времени на решение задач. Каждый цикл задач, каждая задача, решенные самостоятельно, будут обогащать арсенал средств, которыми располагает читатель. Одна самостоятельно найденная идея стоит десятка идей, усвоенных с чужих слов. Даже в том случае, когда настойчивые попытки решить задачу не приве­дут к успеху, потраченное время не пропадет даром: основа­тельно поработав над задачей, вы будете читать ее решение совершенно другими глазами, будете искать причины своей неудачи и сумеете выделить среди рассуждений вспомога­тельного характера ту основную идею, которая обеспечивает успех.