Оригинално заглавие:
MATHEMATICAL METHODS OF PHYSICS BY JON MATHEWS AND R. U WALKER
CALIFORNIA INSTITUTE OF TECHNOLOGY W. A. BENJAMIN, INC. 1964 NEW YORK-AMSTERDAM
*
АННОТАЦИЯ
В книге излагаются математические методы, наиболее часто используемые при решении физических задач. В отличие от других учебников аналогичной тематики авторы делают ударение на обучение математическим методам посредством решения простых примеров. Во многих примерах содержатся нетривиальные трюки, дающие возможность быстро и красиво решить поставленную проблему. Научные сотрудники и аспиранты физических специальностей могут использовать эту книгу и как справочник, и как пособие для повторного изучения математических методов. Для студентов старших курсов инженерно-физических вузов книга может сложить пособием для самостоятельного изучения предмета.
Рис. 88. Табл. 21. Библ. 26 назв.
**
ПРЕДИСЛОВИЕ К ПЕРЕВОДУ
Можно назвать десятки книг, в которых достаточно полно излагаются математические методы, используемые в физике. Чем выделяется среди них книга Дж. Мэтьюза и Р. Уокера? В ней нет тяжеловесных математических теорем с дюжинами лемм и скучными доказательствами. Например, вместо громоздких и многочисленных условий, накладываемых обычно на функции, применяется простой термин «физически разумные функции». В то же время это и не сухой справочник для физика, а пособие, читая которое можно самостоятельно воспроизвести все выкладки, связанные с определенным методом, не обращаясь к другим источникам.
Педагогическая ценность книги состоит в том, что авторы особое внимание уделяют примерам. Научному сотруднику, желающему вспомнить математические методы, читать эту книгу легко и интересно, так как вместо единой теории в каждом методе для решения проблемы применяется тот или иной нетривиальный подход.
В. П. Крайнов
***
ПРЕДИСЛОВИЕ
Книга написана на основе курса лекций по математическим методам физики, который авторы в течение нескольких лет читали в Калифорнийском технологическом институте.
Основное внимание уделялось современному математическому аппарату, используемому для анализа физических задач. Предполагается, что читатель знаком с курсом общей физики: механики, электричества и магнетизма, основ квантовой механики и т. д. Из этих областей физики и подбирались примеры.
Кратко говоря, это книга о математике для физиков. Уровень строгости изложения отражает современные подходы в теоретической физике.
Предполагается, что читатель имеет также представление о следующих математических дисциплинах: 1) системах линейных уравнений и определителях; 2) векторном анализе, включающем операции дифференцирования в криволинейных координатах; 3) основных дифференциальных уравнениях; 4) комплексных переменных и теореме Коши.
Сделаем ряд замечаний о более или менее необычных аспектах книги. Во-первых, представленный материал не связан логической последовательностью. Время от времени вводится новый объект, причем читатель не подготавливается к нему. Это, конечно, происходит не из-за иррациональности или раздражительности авторов — просто таков путь физики. Студентам, специализирующимся по теоретической физике, часто требуется внутренняя уверенность, прежде чем они погрузятся в середину незнакомого объекта; этот курс предназначен дать опыт и смелость при изучении задач, для которых подготовка читателя недостаточна.
В связи с этим имеется существенная неоднородность в детальности рассмотрения. Некоторые вопросы изложены схематично, в то время как другие исследуются очень подробно. Тем не менее это учебник, а не справочник; материал рассчитан на изучение в течение одного года.
Курс, из которого возник этот учебник, первоначально основывался на лекциях профессора Р. П. Фейнмана в Корнелльском университете.
Дж. Мэтъюз, Р. Уокер
****
ОГЛАВЛЕНИЕ
Предисловие к переводу 5
Предисловие 6
Глава 1. Обыкновенные дифференциальные уравнения В
1.1. Решение в замкнутой форме 8
1.2. Решения в виде степенных рядов .... 18
1.3. Приближенные методы 26
1.4. Метод ВКБ 30
Глава 2. Бесконечные ряды ....... 42
2.1. Признаки сходимости 42
2.2. Общеизвестные ряды 44
2.3. Преобразование рядов 46
Глава 3. Вычисление интегралов 52
3.1. Элементарные методы 52
3.2. Вычисление интегралов с учетом симметрии 55
3.3. Интегрирование по контуру 58
3.4. Табулированные интегралы 65
3.5. Приближенные разложения 70
3.6. Методы седловой точки 73
Глава 4. Интегральные преобразования . . 81
4.1. Ряды Фурье 81
4.2. Преобразования Фурье 86
4.3. Преобразования Лапласа 92
4.4. Другие пары преобразований 95
4.5. Применения интегральных преобразований 95
Глава 5. Дальнейшие применения комплексных переменных 105
5.1. Конформные преобразования 105
5.2. Дисперсионные соотношения НО
Глава 6. Векторы и матрицы 118
6.1. Линейные векторные пространства .... 118
6.2. Линейные операторы 119
6.3. Матрицы 122
6.4. Преобразования координат 125
6.5. Задачи на собственные значения 128
6.6. Диагонализация матриц 136
6.7. Пространства бесконечной размерности . . 139
Глава 7. Специальные функции 143
7.1. Функции Лежандра 143
7.2. Функции Бесселя 153
7.3. Гипергеометрическая функция 161
7.4. Вырожденные гипергеометрические функции 168
7.5. Функции Матье 172
7.6. Эллиптические функции 177
Глава 8. Дифференциальные уравнения в частных производных 184
8.1. Примеры 184
8.2. Общее рассмотрение 185
8.3. Разделение переменных 192
8.4. Методы интегральных преобразований . . 202
8.5. Метод Винера — Хопфа 208
Глава 9. Собственные функции, собственные значения и функции Грина .... 216 .
9.1. Простые примеры задач на собственные значения 216
9.2. Общее рассмотрение 218
9.3. Решение краевых задач методом разложения по собственным функциям 221
9.4. Неоднородные задачи. Функции Грина . . 222
9.5. Функции Грина в электродинамике . . . 232
Глава 10. Теория возмущений 237
10.1. Обычная невырожденная теория 237
10.2. Преобразование рядов 241
10.3. Теория возмущений с вырождением . 243
Глава 11. Интегральные уравнения 247
11.1. Классификация 247
11.2. Вырожденные ядра 248
11.3. Ряды Неймана и Фредгольма 250
11.4. Теория Гильберта —* Шмидта 254
11.5. Метод Винера — Хопфа и интегральные уравнения . 259
11.6. Интегральные уравнения в дисперсионной теории 262
Глава 12. Вариационное исчисление 264
12.1. Уравнение Эйлера — Лагранжа . 264
12.2. Обобщение основной задачи 268
12.3. Решение задач на собственные значения с помощью вариационного исчисления 275
Глава 13. Численные методы 282
13.1. Интерполяция 282
13.2. Численное интегрирование .286
13.3. Численное решение дифференциальных уравнений 290
13.4. Корни уравнений . . . 293
13.5. Суммирование рядов 297
Глава 14. Вероятность и статистика 302
14.1. Введение 302
14.2. Основные законы теории вероятностей . . 302
14.3. Комбинации и перестановки 305
14.4 Биноминальное распределение, распределения Пуассона и Гаусса 306
14.5. Общие свойства распределений 310
14.6. Обработка экспериментальных данных . . 314
Глава 15. Тензорный анализ и дифференциальная геометрия 323
15.1. Декартовы тензоры в трехмерном пространстве 323
15.2. Кривые в трехмерном пространстве. Формулы Френе . 329
15.3. Общий тензорный анализ 330
Глава 16. Введение в группы и представления групп 342
16.1. Определения 342
16.2. Подгруппы и классы 344
16.3. Представления групп 346
16.4. Характеры 349
16.5. Физические применения 358
16.6. Бесконечные группы 367
16.7. Неприводимые представления N17(2), N77(3) и 0+(3) 376
Литература 387
Предметный указатель 389
